UNIVERSITE PIERRE ET MARIE CURIE. Ann´ee 2009-2010.
LM 371. 22 janvier 2010. Dur´ee: 2h
Les documents, livres, notes, cours polycopi´es, les calculatrices et les t´el´ephones portables sont interdits. Soyez concis !
Exercice 1.
On consid`ere l’action du groupe S4 sur lui-mˆeme par conjugaison.
1) D´ecrivez les orbites de S4 pour cette action et donnez le cardinal de chaque orbite.
2) En utilisant la question 1), d´ecrivez les sous-groupes distingu´es de S4 et donnez le cardinal de chacun d’entre eux.
Exercice 2.
Soit (G, ., e) un groupe commutatif. Sin est un entier positif et g ∈G, on note fn(g) =gn. 1) Montrez que l’application fn :G→ G est un endomorphisme de G (un morphisme de G dans lui-mˆeme).
On suppose dans la suite queG est fini de cardinall.
2) Montrez quel etn sont premiers entre eux si et seulement sifnest un automorphisme de G(isomorphisme de G avec lui-mˆeme).
3) Montrez que si n divisel et si n et l/n sont premiers entre eux, alors - (kerfn)∩(fn(G)) ={e} et
-G est le produit direct de ses sous-groupes kerfn et fn(G)
4) On suppose que le cardinal de G est 196. Montrez que f14(G) est de cardinal 14 si et seulement si G est cyclique (cette question est ind´ependante des pr´ec´edentes).
Exercice 3.
1) Montrez qu’un groupe de cardinal 15 est cyclique.
2) Montrez qu’un groupe de cardinal 30 n’est pas simple. On pourra compter les ´el´ements d’ordre 3 et 5.
3) Montrez qu’un groupe de cardinal 36 n’est pas simple (vous pouvez par exemple faire agir le groupe sur l’ensemble de ses 3-sous-groupes de Sylow).
1
