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MT09-A2005- Examen partiel- Questions de cours
Dur´ee : 30mn. Sans document ni machine `a calculer. Vous devez r´epondre sur l’´enonc´e
Exercice 1 (bar`eme approximatif : 1.5 points) Soit A∈ Mnn(IR) une matrice inversible.
1. Rappeler l’expression du conditionnement deA.
2. Soitxla solution du syst`eme d’´equationsAx=b, avecbdonn´e dans IRn. Soitx+δxla solution deA(x+δx) =b+δb. Donner en la d´emontrant une majoration de l’erreurkδxk/kxk.
Exercice 2 (bar`eme approximatif : 1.5 points)
Soit A∈ Mpn(IR), avecp≥n, une matrice de rangn.
1. Montrer queATA est sym´etrique d´efinie positive.
2. Soitb∈IRp. On cherche ˆx∈IRnqui minimisekAx−bk2. Donner le syst`eme d’´equations lin´eaires satisfait par ˆx. Montrer que ce syst`eme admet une solution unique.
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Exercice 3 (bar`eme approximatif : 2 points)
Soient A∈ Mnn(IR) etb∈IRn. On veut r´esoudreAx=ben utilisant la m´ethode de Jacobi, que l’on ´ecrit sous la formex(k+1)=Cx(k)+d.
1. Donner l’expression deC etd.
2. On choisitn= 5, on d´efinit
A=
2 1 0 0 0 1 4 1 0 0 0 1 4 1 0 0 0 1 4 1 0 0 0 1 2
et b=
3 6 6 6 3
(a) Que valentC etddans ce cas ?
(b) Utiliser la matriceC pour montrer que la m´ethode converge.
(c) Quelle propri´et´e de Apermettait de pr´evoir imm´ediatement la convergence de la m´ethode de Jacobi ?
MT09-A2005- Examen partiel Dur´ee : 1h30. Polycopi´es de cours autoris´es
Question de cours d´ej`a trait´ee : 5 points
R´edigez les exercices 1 et 2 sur des copies s´epar´ees
Exercice 1: (bar`eme approximatif : 4 points ) CHANGER DE COPIE.
Soit l’´equation
x2−5x+ 6 = 0 (1)
1. On se propose de calculer une valeur approch´ee des racines de (1) en utilisant la m´ethode de point fixe d´efinie par : x0 donn´e,xk+1=g(xk) pour k= 0,1, . . . avec :
g(x) =x2−4x+ 6.
En supposant que cette suite converge, quelles sont les limites possibles ? 2. Faire le tableau de variations deg.
3. On noter1 etr2 les deux racines de l’´equation (1), avec r1 < r2.
(a) On part d’un pointx0 tr`es proche der1. La m´ethode de point fixe converge-t-elle versr1 ? Justifier la r´eponse.
(b) On part d’un point x0 tr`es proche de r2, mais distinct de r2. La m´ethode de point fixe est-elle bien choisie pour calculerr2 ? Justifier la r´eponse.
4. On suppose quex0 ∈]3/2,5/2[. Montrer que,∀k, xk∈]3/2,5/2[. Que peut-on en conclure quant
`
a la convergence de cette suite ?
Exercice 2: (bar`eme approximatif : 11 points ) CHANGER DE COPIE.
1. Soit M appartenant `a Mnn(IR) inversible , N appartenant `a Mnn(IR), Z appartenant `a IRn. On veut calculerNb =M−1N,Zb =M−1Z.
On rappelle que :
• la factorisationLU d’une matrice appartenant `aMnn(IR) n´ecessite de l’ordre de n33 multi- plications,
• la r´esolution d’un syst`eme dont la matrice est triangulaire sup´erieure n´ecessite de l’ordre de n22 multiplications,
• la r´esolution d’un syst`eme dont la matrice est triangulaire inf´erieure n´ecessite de l’ordre de
n2
2 multiplications.
(a) i. Montrer que le nombre de multiplications n´ecessaires pour calculerM−1 est de l’ordre de αn3 o`u α est une constante que l’on d´eterminera.
ii. En d´eduire que le nombre de multiplications n´ecessaires pour calculer Nb et Zb est de l’ordre de βn3 o`uβ est une constante que l’on d´eterminera.
(b) i. Montrer que le calcul de Zb se ram`ene `a la r´esolution d’un syst`eme lin´eaire dont on pr´ecisera la matrice et le second membre.
ii. Montrer que le calcul de Nb se ram`ene `a la r´esolution de syst`emes lin´eaires dont on pr´ecisera pour chacun d’eux la matrice, le vecteur inconnu et le second membre.
iii. Evaluer le nombre de multiplications n´ecessaires pour calculerNb etZbpar cette m´ethode.
Comparer avec ce qui a ´et´e obtenu en (a).
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(c) On va calculer Nb etZb par la m´ethode d´ecrite en (b).
On suppose que l’on dispose des fonctions scilab suivantes :
• function [L,U]=lu(M)
qui ´etant donn´e la matriceM, calcule la factorisationLU de cette matrice.
• function [x]=solinf(A,b)
qui ´etant donn´e la matrice triangulaire inf´erieure A, et le vecteur b, calcule le vecteur x solution de Ax=b.
• function [x]=solsup(A,b)
qui ´etant donn´e la matrice triangulaire sup´erieureA, et le vecteurb, calcule le vecteur x solution de Ax=b.
Utiliser les fonctions pr´ec´edentes pour ´ecrire une fonction scilab function [N,b Z]=calcul(M,N,Z)b
qui ´etant donn´e les matricesM,N et le vecteur Z, calcule la matrice Nb =M−1N et le vecteur Zb =M−1Z.
2. SoitP une matrice appartenant `a Mn2n2(IR) d´efinie par blocs de la fa¸con suivante :
P =
B1 C1 0 ... ... 0 A2 B2 C2 0 ... 0 ... ... ... ... ... ...
... ... ... ... ... ...
0 ... 0 An−1 Bn−1 Cn−1
0 ... ... 0 An Bn
, o`uAi, Bi, Ci∈ Mnn(IR),0∈ Mnn est la matrice nulle
SoitU un vecteur appartenant `a IRn2 d´efini par blocs de la fa¸con suivante :
U =
U1 U2
...
Un
, o`u Ui ∈IRn
On veut calculer le vecteurX solution de P X =U,X est d´efini par blocs :
X=
X1 X2 ...
Xn
, o`u Xi ∈IRn
On suppose, quand c’est n´ecessaire, que les matrices sont inversibles.
(a) Montrer, en donnant leur expression, qu’il existe une matriceE1 et un vecteurF1 tels que X1 =E1X2+F1
(b) Montrer par r´ecurrence qu’il existe des matricesEi et des vecteursFi tels que Xi =EiXi+1+Fi pour i= 2, ..., n−1.
(c) En d´eduire l’expression de Xn.
(d) D´ecrire les grandes ´etapes d’un algorithme utilisant ce qui pr´ec`ede afin de r´esoudreP X =U, on pr´ecisera en particulier comment utiliser la fonction ”calcul” pr´ec´edente, comment on choisit successivement les matricesM,N et le vecteur Z.
