GENERALITES SUR LES FONCTIONS
I ) EXERCICE D'INTRODUCTION
Une machine à associer :
On considère l'algorithme suivant :
l Choisir un nombre dans l'intervalle [– 1;5] l Lui retrancher 4.
l Multiplier cette somme par le nombre choisi.
l Ajouter 2 à ce produit.
l Donner le résultat.
1) Montrer qu'à 1 cette machine associe -1.
Notons f cette machine : on dit que l'image de 1 par f est -1 et que 1 est un antécédent de -1 par f cela se note f(1) = -1 et on dit f est une fonction définie sur [– 1;5]
[– 1;5] est l'ensemble de définition de f.
2) Compléter le tableau suivant :
x -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5
f(x)
Vous venez de faire un tableau de valeurs de f
3) Dans un repère orthonormé placer tous les points M ( x ; f(x) ) que vous avez obtenus dans le tableau précèdent et les relier le plus harmonieusement possible (pas de segments).
Vous venez de tracer la courbe représentative de la fonction f et on dit que cette courbe a pour équation y = f(x).
4) En observant les résultats du tableau, émettre une conjecture sur la formule générale de f(x).
Démontrer cette conjecture.
On note : f : [– 1;5] ℝ x
II ) VOCABULAIRE DES FONCTIONS
Définition :
Soit D une partie de ℝ, lorsque à chaque x de D on associe un et un seul réel y, on définit une fonction f sur D.
on note f : D ℝ x f(x) Définitions :
D s’appelle l’ensemble de définition de f. x s’appelle la variable.
f (x) s’appelle l’image de x par f. x s’appelle un antécédent de f (x) par f.
3 manières de définir une fonction : Faire ex 1 Fp Une fonction f définie par un graphique.
L'ensemble de définition est [-3;2]
L'image de -3 est -1.
Un antécédent de 1 est est -2.
Remarque : seuls les points passant par les nœuds du quadrillage peuvent être utilisés
Définition :
Dans un repère, la courbe représentative C ( ou représentation graphique) de la fonction f l’ensemble des points M( x ; f (x)) où x décrit D. y = f (x) s’appelle l’équation de C.
Une fonction définie par un tableau de valeurs.
x -5 -2 5 7 8
g(x) 5 3 -2 5 10
L'ensemble de définition de g est I = {-5;-2;5;7;8}.
5 a pour image -2 par g et 5 a deux antécédents qui sont -5 et 7.
Une fonction définie par une formule.
h(x) = -2x+3 avec x D = [-6 ; 4] . ∈
Donner les images de -3 ; 0 ; 4 ; 5. Antécédents de 8 ; -3 ; 21
h(−3)=−2(−3)+3=9 h(0)=3 h(4)=−5 5∉ D donc pas d'image en résolvant -2x+3=8 on obtient x = −5
2 donc l’antécédent de 8 est −5
2 . De même celui de -3 est 3 mais la solution de l'équation -2x+3=21 qui est -9 n'est pas dans D donc 21 n'a pas d'antécédent par h.
Exercices : 2 Fp - 3 FP et 4 FP
Modélisation par une fonction : ex 6 p 189 - ex 1 p 190
III ) RESOLUTION GRAPHIQUE D'EQUATIONS ET D'INEQUATIONS Faire Ex à vous de jouer p 197 – 42 p 201
On appelle C la courbe représentative de f.
Equations :
- Résoudre graphiquement l’équation f (x) = k c’est trouver toutes les abscisses des points d’intersection de C et de la droite d’équation y = k.
Sur cette figure, l'équation f(x) = k a une seule solution le réel a
- Résoudre graphiquement l’équation f (x) = g (x) c’est trouver toutes les abscisses des points d’intersection de la courbe représentative de f et celle de g.
Sur cette figure, l'équation f(x) = g(x) a trois solutions a1; a2 et a3. Inéquations :
- Résoudre graphiquement l’inéquation f (x) > k c’est trouver toutes les abscisses des points de C qui sont au dessus de la droite d’équation y = k.
Sur cette figure l'inéquation f(x) > k a pour solution l'intervalle ] x1; x2 [
- Résoudre graphiquement l’inéquation f (x) < k c’est trouver toutes les abscisses des points de C qui sont en dessous de la droite d’équation y = k.
- Résoudre graphiquement l’inéquation f (x) > g (x) c’est trouver toutes les abscisses des points de C qui sont au dessus de la courbe représentative de g.
exercice :
IV ) VARIATION ET EXTREMUM Faire activité 4 p 219 – 1 p 218 ( découverte max et tableau var) Soit f une fonction définie sur I et a, b, c et e des réels de I.
1) Extremums
Définition :
f (a) est le maximum de f sur D si et seulement pour tout x de D on a f (x) f (a).
f (e) est le minimum de f sur D si et seulement pour tout x de D on a f (x) f (e).
Exercices : 35 p 228
o a
e
2) Variations
f est croissante sur I signifie que sur I si x augmente alors f(x) augmente.
f est décroissante sur I signifie que sur I si x augmente alors f(x) diminue.
Définition :
f est croissante sur I signifie que pour tout couple (a;b) de I avec a b on a f (a) f (b).
f est décroissante sur I signifie que pour tout couple (a;b) de I avec a b on a f (a) f (b)
Une fonction croissante conserve l'ordre :
Deux réels quelconques de I et leurs images sont rangés dans le même ordre.
Une fonction décroissante inverse l'ordre :
Deux réels quelconques de I et leurs images sont dans rangés dans des ordres contraires
Exemple :
Pour cette fonction on dit :
f est croissante sur [- 4;-1] et sur [4;8]
f est décroissante sur [-1;4]
et on a le tableau de variation suivant :
x –4 –1 4 8
f(x) –4
3
–2
2
EXERCICES : 2 p 223 (tableau de variation à partir de la courbe)- 37 p 228( max min à partir tab variations) + 42 p 229
59 – 60 - 61 p 231 ( manipulation des inégalités connaissant les variations) Exercices : 5 Fp (introduction produit remarquables) ???????
o a b
f(a) f(b)
o a b
f(a)
f(b)
EXERCICE 1 :
3 manières de définir une fonction : Une fonction f définie par un graphique.
Compléter les phrases suivantes : L'ensemble de définition est L'image de -3 est
Un antécédent de 1 est
Remarque : seuls les points passant par les nœuds du quadrillage peuvent être utilisés
Une fonction définie par un tableau de valeurs.
x -5 -2 5 7 8
g(x) 5 3 -2 5 10
Compléter les phrases suivantes : L'ensemble de définition de g est I = Par g, 5 a pour image
Par g, 5 a deux antécédents qui sont Une fonction définie par une formule.
h(x) = -2x+3 avec x [-6 ; 4] . ∈
Donner les images de -3 ; 0 ; 4 ; 5. et les antécédents de 8 ; -3 ; 21
EXERCICE 2 : Pour chacune des courbes suivantes, indiquer si c'est celle d'une fonction et dans ce cas donner son ensemble de définition.
EXERCICE 3 :
Traduire sous la forme f(a) = b les phrases suivantes :
a) 3 est l'image de 8 par f.
b) 5 a 2 pour image par f.
c) 6 est un antécédent de 4 par f.
d) 8 a pour antécédent 9 par f.
EXERCICE 5:
Soit la fonction définie sur ℝ par fx=x2– 8 x9 a) Calculer les images de - 3 ; 2 ; 4
3
b) Montrer que pour tout x on a fx=x – 42−7 c) En déduire les antécédents de – 3.
EXERCICE 4 :
Soit f la fonction définie sur [ -2 ; 3 ] par f(x)=2 x2+x et C sa courbe représentative.
Les points A (2;10) B(1;4) et D(-3;15) sont- ils des points de C ?
