Chapitre 4 2nde
GENERALITES SUR LES FONCTIONS
1. Définition D est une partie de .
Définir une fonction sur D, c'est associer à chaque réel x de D, un réel et un seul appelé image de x.
D est appelé l'ensemble de définition de la fonction.
Notations :
On utilise généralement les lettres f, g, h pour désigner une fonction.
L'image d'un réel x par f est notée f(x) (on lit : "f de x").
On écrira indifféremment f : D ou plus simplement f : x f (x)
pour dire que : f est la fonction de D dans qui à tout x de D associe le réel f (x).
Exemple 1 : Un appareil a permis de relever la température, de façon continue, de 6 heures à 22 heures pendant la même journée.
A chaque instant x de l'intervalle [6 ; 22], on associe un unique résultat y (= la température à cet instant).
S'il fait -3° C à 8 heures, alors f (8) = -3 ; on dit que -3 est l'image de 8 par f . Compléter : f(10) = _ _ _ _ f(17) = _ _ _ _ _ _ f(22) = _ _ _ _ _ _
Quel est l'ensemble de définition de f ? _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
Vocabulaire :
x est appelé la variable. Dans l'exemple précédent la variable est _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Si y est l'image de x par f , alors _ _ _ _ _ _ _ _ _
On dit que x est un antécédent de y par f .
Dans l'exemple cité plus haut, à quelle(s) heure(s) la température est–elle de 3°C ? _ _ _ _ _ de –2°C ? _ _ _
On dit que 3 a pour antécédents _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ et que –2 a pour antécédents _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
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O I J
t e mp é r a t u r e ( e n ° C )
t e mp s ( e n h )
6 8 1 2 2 0 2 2
3 6
C
y
x
Chapitre 4 2nde
Exemple 2 : On considère f : x x² + 2 x – 3
L'image de 1 par f est le nombre f (1) = 1² + 2´1 – 3 = 0 L'image de 2 par f est le nombre f (2) =
L'image de – 10 par f est le nombre f ( – 10) =
Le (ou les) antécédent(s) de – 3 par f est (sont) le (les) nombre(s) x tel(s) que f (x)= – 3. Pour les déterminer, il faut donc résoudre l'équation x² + 2x – 3 = – 3.
Les antécédents de – 3 par f sont donc les nombres . Exercices:12,14,16,18 page 93,23,24 page 94,30p95
2. Représentations graphiques (ou courbes représentatives).
A chaque fonction f, on peut associer sa représentation graphique C (ou courbe représentative) dans un repère orthogonal (O; I, J).
C est l'ensemble des points M de coordonnées (x ; f(x)), où x est un réel de l'ensemble de définition de f.
L'abscisse x décrit l'ensemble de définition D de f et l'ordonnée y est l'image de x par f.
Propriété
Soit f une fonction définie sur un intervalle I et C sa courbe représentative.
Exemple 3 : Soit f la fonction définie sur [–4 ; 7] par f(x) = . On veut tracer point par point la courbe représentative de f .
Pour cela, compléter le tableau de valeur suivant en utilisant la calculatrice.
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Chapitre 4 2nde
x –4 –3 –2 –1 –0,5 0 0,5 1 1,5 2 4 6 7
f(x)
3. Sens de variation d'une fonction.
définition
f est une fonction définie sur un intervalle I.
Dire que f est croissante sur I signifie que pour tous réels a et b de I :
si a < b alors f (a) ≤ f (b)
Dire que f est décroissante sur I signifie que pour tous réels a et b de I:
si a < b alors f (a) ≥ f (b) Conséquences
Une fonction croissante conserve l'ordre : pour tous réels a et b de I, f(a) et f(b) sont rangés dans le même ordre que a et b.
o a b
Une fonction décroissante "inverse" l'ordre : pour tous réels a et b de I, f(a) et f(b) sont rangés dans l'ordre contraire de a et b.
o a b
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Remarque :
Si, dans la définition, on remplace l'inégalité f(a) ≤ f(b) (resp. f(a) ≥ f(b)) par f (a) < f (b) (resp. f(a) > f(b)), on dit que f est strictement croissante sur I (resp. strictement décroissante sur I).
Exemple 4 : On reprend la fonction de l'exemple 3.
A l'aide du graphique, dire sur quel intervalle f est croissante. Sur quel intervalle f est décroissante.
On résume ces propriétés dans un tableau appelé tableau de variation de f.
x
f
Exercices: 37 page96,40p97
Notion de minimum et de maximum.
définition
Soit f une fonction définie sur D son ensemble de définition.
I est un intervalle contenu dans D et x0 est un réel de I.
Dire que f (x0) est le maximum de f sur I signifie que pour tout x de I, f (x) £ f (x0).
Dire que f (x0) est le minimum de f sur I signifie que pour tout x de I, f (x) ³ f (x0)
Exemple : Sur les graphiques ci-dessous, on donne la représentation graphique des fonctions f et g.
Compléter les phrases suivantes :
Le maximum de la fonction f sur [ -6; 7 ] est ...; il est atteint pour x = ...
Le minimum de la fonction f sur [ -6; 7 ] est ...; il est atteint pour x = ...
Le maximum de la fonction g sur [ – 5 ; 4] est ...; il est atteint pour x = ...
Le minimum de la fonction g sur [ 2; 7 ] est ...; il est atteint pour x = ...
Le maximum de la fonction f sur [ 0 ; 5 ] est ....; il est atteint pour x = ...
Le minimum de f sur [0; 5] est ...il est atteint pour x =
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Exercices: 42, 42, 44 page 97, 53,56 page 98 5.
Résolution d’inéquation et signe d’une fonction.
5.1 résolution d’inéquation
Exemple :
exercice 71p101
5.2 signe d’une fonction
Une fonction f est positive sur une intervalle I lorsque pour tout réel x de I, on a f(x)……0.
Une fonction f est négative sur une intervalle I lorsque pour tout réel x de I, on a f(x)……0.
Exercices :83 et 85 p104
