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Contrôle de Mathématiques de Terminales
19/05/2021
EXERCICE 1
Résoudre les inéquations suivantes dans ] − 𝜋; 𝜋].
1) 2 co s 𝑥 + √3 ≥ 0 2) √2 si n 𝑥 − 1 < 0
EXERCICE 2
Soit la fonction 𝑓 définie sur ℝ par : 𝑓(𝑥) = cos(2𝑥) + 2 cos 𝑥.
1) a) Montrer que la fonction 𝑓 est 2 𝜋 – périodique.
b) Étudier la parité de la fonction 𝑓.
c) Sur quel intervalle le plus petit possible, peut-on étudier la fonction 𝑓 ? 2) Montrer que la fonction dérivée peut se mettre sous la forme :
𝑓′(𝑥) = −2 sin 𝑥 (2 cos 𝑥 + 1).
3) a) Résoudre l’équation 𝑓′(𝑥) = 0 sur l’intervalle [0 ; 𝜋].
b) Étudier le signe de la dérivée 𝑓′ sur [0 ; 𝜋]. On fera un tableau de signes.
4) Dresser le tableau de variation de la fonction 𝑓 sur [−𝜋 ; 𝜋].
EXERCICE 3
1) Déterminer une primitive des fonctions suivantes, sur l’intervalle donné : 𝒂) 𝑓 est définie sur ℝ par : 𝑓(𝑥) = 3 𝑒− 12 𝑥+ 14𝑥 − 1 𝒃) 𝑔 est définie sur ℝ par ∶ 𝑔(𝑥) = −3𝑥2𝑒−𝑥3
𝒄) ℎ est définie sur ]0 ; +∞[ par ∶ ℎ(𝑥) = 𝑒−𝑥− 5 𝑒−𝑥+ 5𝑥 𝒅) 𝑖 est définie sur ℝ par ∶ 𝑖(𝑥) = 1
𝑒2𝑥(𝑒−2𝑥 + 5)3 𝒆) 𝑗 est définie sur ]0 ; +∞[ par ∶ 𝑗(𝑥) = 1
𝑥− 4
√𝑥 𝒇) 𝑘 est définie sur ]0 ; +∞[ par ∶ 𝑘(𝑥) =ln(𝑥) − 7
2𝑥
2) 𝑚 est définie sur ]0 ; +∞[ par : 𝑚(𝑥) = 𝑥2(3 ln(𝑥) + 1).
Démontrer que la fonction 𝑝 définie sur ]0 ; +∞[ par : 𝑝(𝑥) = 𝑥3ln(𝑥) est une primitive de 𝑚 sur cet intervalle.
EXERCICE 4
1) a) Résoudre sur ℝ l’équation différentielle 𝑦′= 10𝑦.
b) En déduire la fonction 𝑔 solution de cette équation différentielle et telle que 𝑔(2) = 3.
2) Montrer que la fonction 𝑓 définie sur ]1 ; +∞[ par : 𝑓(𝑥) = 𝑥2
𝑥 − 1
est solution sur cet intervalle de l’équation différentielle : (𝑥 − 1)𝑦′+ 𝑦 = 2𝑥.
EXERCICE 5
On note 𝑁(𝑡) le nombre de noyaux radioactifs d’un corps à l’instant 𝑡, où 𝑡 est exprimé en jours.
On admet que la fonction 𝑁 est solution sur [0 ; +∞[ de l’équation différentielle suivante, notée (𝐸) : 𝑦′= 𝑎𝑦, où 𝑎 est une constante réelle.
1) Résoudre (𝐸) sur [0 ; +∞[.
2) Déterminer alors 𝑁(𝑡) en fonction de 𝑎, sachant qu’à l’instant initial 𝑡 = 0, le corps est formé d’un milliard de noyaux radioactifs.
3) Au bout de 18 jours, le nombre de noyaux radioactifs a diminué de moitié.
Déterminer la valeur exacte de 𝑎, puis en déduire le sens de variation de 𝑁 sur [0 ; ∞[.
4) Déterminer la limite de la fonction 𝑁 en +∞.
5) Le corps n’est plus considéré comme radioactif lorsqu’il contient moins de 100 noyaux radioactifs.
Quelle sera la durée nécessaire, exprimée en jours, afin qu’il ne soit plus considéré comme radioactif ? Justifier votre réponse.
BON COURAGE A VOUS ET AMUSEZ-VOUS BIEN !!!
