Durée : 4 heures
[ Baccalauréat STI Métropole septembre 2006 \ Génie mécanique, civil
L’utilisation d’une calculatrice est autorisée.
Du papier millimétré est mis la disposition des candidats.
Le candidat doit traiter les deux exercices et le problème.
EXERCICE1 4 points
On note i le nombre complexe de module 1 et d’argumentπ 2.
1. Résoudre dans l’ensembleCdes nombres complexes l’équation
¡z2+9¢ ¡
z2−9z+27¢
=0.
2. Dans le plan muni d’un repère orthonormal³ O ;−→
u,→− v´
, d’unité graphique 1 cm, on considère les points A, B et C d’affixes respectives :
zA=3i ; zB=9 2+3p
3
2 i etzC=9 2−3p
3 2 i.
a. Écrire chacun des nombres complexeszA,zBetzCsous la formereiθoùrest un nombre, réel positif etθun nombre réel.
b. Soit I le point d’affixezI=2. Calculer les distances AI, BI et CI.
En déduire que les points A, B et C sont sur un même cercle dont on précisera le centre et le rayon.
c. À l’aide d’une règle et d’un compas, construire les points I, A, B et C. On utilisera une feuille de papier millimétré et on laissera apparents les traits de construction pour les points B et C.
EXERCICE2 4 points
1. Résoudre l’équation différentielle :y′′+16y =0, ydésignant une fonction numérique d’une variable réelle définie et deux fois dérivable sur l’ensembleRdes nombres réels.
2. Déterminer la solutionf de cette équation différentielle vérifiant :
f(0)= 1
10 etf′(0)= −2p 3 5 . 3. Démontrer que, pour tout nombre réelx, on a :f(x)=1
5cos³ 4x+
π 3
´. 4. a. Résoudre, dans l’ensembleRdes nombres réels, l’équationf(x)=1
5. b. Déterminer les solutions de l’équationf(x)=1
5qui appartiennent à l’intervalle [0 ; 2π[.
Représenter ces solutions sur un cercle trigonométrique.
Baccalauréat STI Génie mécanique, énergétique, civil A. P. M. E. P.
PROBLÈME 12 points
Partie A : étude d’une fonction auxiliaire
Soitgla fonction définie sur l’intervalle ]0 ;+∞[ par
g(x)=2x2−4lnx+4.
1. Déterminer la fonction dérivéeg′de la fonctiong et prouver que, pour tout nombre réelx strictement positif :
g′(x)=4x2−4 x .
2. Étudier le sens de variation de la fonctiong sur l’intervalle ]0 ;+∞[ puis dresser son tableau de variations (on ne demande pas le calcul des limites).
3. Déterminer le signe de la fonctiongsur l’intervalle ]0 ;+∞[.
Partie B
Dans toute la suite du problème, on étudie la fonctionf définie sur l’intervalle ]0 ;+∞[ par f(x)=2x−3+4lnx
x .
On noteC sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère orthonormal³ O ;−→
u,−→ v´
d’unité graphique 1 cm.
1. a. Déterminer la limite def en 0.
b. Interpréter graphiquement le résultat précédent.
2. a. Déterminer la limite def en+∞.
b. Démontrer que la droiteDd’équationy=2x−3 est asymptote à la courbeC en+∞. c. Étudier la position de la courbeCpar rapport à la droiteD.
3. Déterminer la dérivéef′de la fonctionf et prouver que, pour tout nombre réelxstrictement positif :
f′(x)=g(x) x2 .
4. À l’aide des résultats de la partie A, indiquer le signe de f′(x) sur l’intervalle ]0 ; +∞[, puis dresser le tableau de variations de la fonctionf.
5. a. Montrer que l’équationf(x)=0 admet une solution uniqueαdans l’intervalle [1; 2].
b. Donner un encadrement d’amplitude 10−4deα.
6. Pour quelle valeur dexla courbeC admet-elle, au point d’abscissex, une tangente parallèle àD?
7. Construire avec soin la droiteDet la courbeC (on utilisera une feuille de papier millimétré).
Partie C
Dans cette partie, on souhaite calculer l’aireA, en cm2, du domaineE situé entre les droites d’équa- tionsx=1 etx=5, la courbeC et la droiteD.
1. Hachurer le domaineEsur le graphique réalisé à la partie B.
Métropole 2 septembre 2006
Baccalauréat STI Génie mécanique, énergétique, civil A. P. M. E. P.
2. Montrer queA= Z5
1 4lnx x dx.
3. a. On pose, pour tout nombre réelxstrictement positif,H(x)=(lnx)2. Déterminer la dérivée de la fonctionH.
b. Calculer la valeur exacte deA, puis en donner une valeur approchée au mm2près.
Métropole 3 septembre 2006
