Durée : 4 heures
[ Baccalauréat STI Métropole septembre 2005 \ Génie mécanique, civil, énergétique
L’utilisation d’une calculatrice est autorisée.
Une feuille de papier millimétré est mis à la disposition des candidats.
EXERCICE1 4 points
1. Soit (E) l’équation différentielle
y′= −1 ay
oùyest une fonction de la variablexdéfinie et dérivable surRetaune constante réelle non nulle. Résoudre cette équation.
2. Déterminer la solutionpde (E) qui vérifiep(0)=1.
3. La pression atmosphérique de l’air (en bar) à l’altitudex(en mètre) au-dessus du niveau de la mer est donnée par
p(x)=e−xa.
a. Déterminer la constanteasachant que la pression au sommet de l’Éverest à l’altitude x=8848 est de 0,331 bars.
On arrondiraaà l’entier le plus proche.
b. On prenda=8003. On mesure, en un lieu, une pression atmosphérique de 0,548 bars, Calculer l’altitude du lieu.
EXERCICE2 5 points
On désigne pat i le nombre complexe de module 1 et d’argumentπ 2. Le planP est rapporté à un repère orthonormal³
O ;→− u,−→
v´
d’unité graphique 1 cm.
On considère les points A, B et C d’affixes respectives zA= −1−i, zB=3p
2eiπ4 et zC=7−i.
1. a. ÉcrirezBsous forme algébrique.
b. Placer les points A, B et C dans le planP.
2. Déterminer les longueurs AB, AC, BC et en déduire la nature du triangle ABC.
3. Déterminer l’affixe du point D tel que le quadrilatère ABCD soit un carré.
4. Soit I le point d’affixezI=3−i.
On considère l’ensemble (E) des pointsMdeP dont l’affixezvérifie
|z−(3−i)[=4.
a. Les points A, B, C et D appartiennent-ils à (E) ? b. Quelle est la nature de (E) ?
c. Tracer l’ensemble (E).
Baccalauréat STI Génie mécanique, énergétique, civil A. P. M. E. P.
PROBLÈME 11 points
Partie A
Soitgla fonction définie sur l’intervalle ]0 ;+∞[ par g(x)=lnx− 1
x2+1.
1. a. Montrer que la dérivéeg′de la fonctiongest définie sur ]0 ;+∞[ par
g′(x)=x2+2 x3 .
b. Montrer que la fonctiongest strictement croissante sur ]0 ;+∞[.
2. a. Calculerg(1).
b. En déduire que
½ g(x)>0 pour x>1 g(x)<0 pour 0<x<1.
Partie B
On considère la fonctionf définie sur l’intervalle ]0 ;+∞[ par f(x)=xlnx+1
x.
On appelleΓ sa courbe représentative dans un repère orthonormal³ O ;→−
ı,−→
´d’unité graphique 2 cm.
1. a. On admet que lim
x→0xln(x)=0; déterminer la limite def(x) lorsquextend vers 0; en déduire queΓadmet une asymptote verticale que l’on précisera.
b. Déterminer la limite def(x) lorsquextend vers+∞.
2. a. Montrer que la fonction dérivéef′de la fonctionf est définie sur l’intervalle ]0 ;+∞[ par f′(x)=g(x).
b. À partir des résultats de lapartie Adresser le tableau de variations def. 3. Tracer la courbeΓ.
Partie C
SoitHla fonction définie sur l’intervalle ]0 ;+∞[ par H(x)=x2
2 lnx+lnx−x2 4 .
1. ComparerH′(x) etf(x). En déduire une primitive de la fonctionf sur ]0 ;+∞[.
2. Montrer que Ze
1 f(x) dx=e2+5 4 .
3. Calculer l’aire exprimée en cm2de la partie du plan délimitée par la courbeΓ, l’axe des abs- cisses et les droites d’équationx=1 et=e.
On donnera la valeur exacte, puis approchée à 1 mm2près par excès.
Métropole 2 septembre 2005
