[ Baccalauréat STI Métropole septembre 2005 \ Génie des matériaux, mécanique B, C, D, E
EXERCICE1 4 points
1. Résoudre dans l’ensemble des nombres réels l’équation suivante : 2x2−3x−2=0.
2. En déduire les solutions dans l’ensemble des nombres réels des équations suivantes : a. 2sinx2−3sinx−2=0.
b. 2e2x−3êx−2=0.
c. lnx+ln µ
x−3 2
¶
=0 où ln désigne la fonction logarithme népérien.
EXERCICE2 6 points
On désigne par I l’intervalleh
−π 6 ; π
6 i.
SoitΓla représentation graphique dans un repère orthonormal¡ O ;→−
ı,−→
¢
(unité graphique : 6 cm), de la fonctionf définie, pour tout nombre réel de I, par :
f(x)=cos3x.
1. a. Calculerf′(x) oùf′désigne la fonction dérivée def. b. Déterminer le tableau de variations def sur I.
2. a. Calculer le coefficient directeur de chacune des tangentes àΓaux points d’abscisses−π 6et π
6.
b. Dans le repère¡ O ;−→
ı,−→
¢
, tracer les tangentes àΓaux points d’abscisses−π 6 et π
6, puis tracerΓ.
3. Déterminer l’aire de la partie (S) du plan comprise entreΓet l’axe des abscisses.
PROBLÈME 10 points
A.
Soitf la fonction numérique définie, pour tout nombre réelxde
¸1 2;+∞
·
, tel, par : f(x)=ln[h(x)]=ln
µ2x−1 2x+1
¶
où ln désigne la fonction logarithme népérien.
SoitC la représentation graphique de f dans un repère orthonormal¡ O ;−→
ı,−→
¢
(unité graphique : 2 cm).
1. Étude du comportement def en1 2. a. Calculerh
µ1 2
¶ .
b. Déterminer la limite def en1 2.
Baccalauréat STI Génie des matériaux, mécanique A. P. M. E. P.
c. En déduire queC admet une asymptote∆dont on donnera une équation.
2. étude du comportement def en+∞: a. Calculer la limite de la fonctionhen∞ b. Déterminer la limite def en+∞.
c. En déduire queC admet une asymptote dont on donnera une équation.
3. Étude des variations def :
a. Montrer que, pour tout nombre réelxde
¸1 2;+∞
·
f(x)=ln(2x−1)−ln(2x+1).
b. En déduire la fonction dérivéef′def. c. Étudier le signe def′sur
¸1 2;+∞
· . d. Établir le tableau de variations def sur
¸1 2;+∞
· . 4. Dans le repère¡
O ;→− ı,−→
¢
, tracer∆, puis la courbeC sur
¸1 2;+∞
·
. On placera l’origine du repère au centre de la feuille).
B.
SoitGla fonction numérique définie, pour tout nombre réelxde
¸1 2;+∞
· par : G(x)=(2x−1)ln(2x−1)−(2x+1)ln(2x+1).
1. Déterminer la fonction dérivéeG′deG, pour tout nombre réelxde
¸1 2;+∞
· . 2. En déduire une primitiveFde la fonctionf, pour tout nombre réelxde
¸1 2 ;+∞
· .
3. Calculer, en unités d’aires, l’aire de la partie du plan limitée parC, l’axe des abscisses, les droites d’équationsx=1 etx=3.
Donner la valeur exacte de cette aire en cm2, puis sa valeur décimale arrondie au mm2près.
Métropole 2 septembre 2005
