[ Baccalauréat STI Métropole septembre 2011 \ Génie mécanique, des matériaux
EXERCICE1 5 points
1. a. P(2)=23+2×22−16=8+8−16=0. 2 est donc une racine deP.
b. (z−2)¡
az2+bz+c¢
=az3+bz2+cz−2az2−2bz−2c=az3+(b−2a)z2(c− 2b)z−2c=0. Ce polynôme est égal àP(z) si :
a = 1
b−2a = 2 c−2b = 0
−2c = −16 ou
a = 1
b−2 = 2 c−2b = 0
c = 8
et enfin
a = 1
b = 4
c = 8
c = 8
Conclusion :P(z)=(z−2)¡
z2+4z+8¢ . c. D’après le résultat précédent :
P(z)=0 revient à
½ z−2 = 0 ou z2+4z+8 = 0
La première équation a pour solution 2 (trouvée à la question 1.) L’équation du second degré :z2+4z+8=0.
∆=42−4×8=16−32= −16=(4i)2<0 : l’équation a donc deux solutions complexes :
z2=−4+4i
2 = −2+2i etz3= −2−2i.
Les solutions de l’équationP(z)=0 sont donc : z1=2, z2= −2+2i, z3= −2−2i.
2. a. Voir la figure à la fin de l’exercice.
b. |zB|2=(−2)2+22=4×2, donc|zB| =2p
2 ; on peut donc écrire en factori- sant ce module :
zB=2p 2
Ã
− p2
2 +i p2
2
! . Or cos34π= −
p2
2 et sin34π=
p2 2 . Donc un argument dezBest3π
4 .
|zC|2=(−2)2+(−2)2=4×2, donc|zC| =2p 2.
DonczC=2p 2
"
− p2
2 +i Ã
− p2
2
!#
. Or cos−34π= −p22et sin−34π= −p22. Donc un argument dezCest−3π
4 . 3. On a IA2=
µ 2+1
2
¶2
= µ5
2
¶2
=25 4. IB2=
µ
−2+1 2
¶2
+22=9
4+4=25 4. IC2=
µ
−2+1 2
¶2
+(−2)2=9
4+4=25 4 . On a donc IA = IB = IC=5
2: les trois points A, B et C appartiennent au cercle de centre I de rayon5
2.
Baccalauréat STI Génie mécanique, des matériaux A. P. M. E. P.
1 2
−1
−2
−3
1 2
−1
−2
−3 −→
u
−
→v
b
bb b A
B
C
I O
EXERCICE2 5 points
1.
Une pièce sur 20, soit 5 sur 100 n’ont pas la dimension voulue ; 95 ont une dimension correcte.
100−5=95 ont la dimension correcte.
Comme 88 pièces n’ont pas de défaut, il y a 95−88=7 pièces qui ont un problème de résistance et une dimension correcte ; il y a 90−88=2 pièces qui ont une résistance correcte et un problème de dimension.
Problème de dimension Dimension correcte Total
Problème de résistance 3 7 10
Résistance correcte 2 88 90
Total 5 95 100
2. Il y a 3 pièces sur 100 qui ont les deux défauts ; la probabilité est donc égale à 3
100=0, 03.
3. a. Il y a 88 pièces sans défaut qui rapportent chacune 5 euros. La probabilité est donc égale à 88
100=0, 88.
b.
X= 0 3 5
p(X=xi) 0,1 0,02 0,88
c. On a E(X)=0×0, 1+3×0, 02+5×0, 88=0, 06+4, 4=4, 46.
Ce nombre représente le bénéfice moyen espéré par pièce.
L’entreprise Anatoly rapportera en moyenne par jour : 1500×4, 46=6690€; L’entreprise Basilia rapportera en moyenne par jour : 1800×4=7200€. Le bénéfice de l’entreprise Basilia sera supérieur à celui de l’entreprise Ana- toly.
PROBLÈME 10 points
Partie A. Étude des limites et des variations de la fonction f 1. On a lim
x→+∞e−x=0 et lim
x→+∞
1
x=0, donc par somme de limites lim
x→+∞f(x)=0.
Géométriquement ce résultat signifie que l’axe des abscisses d’équationy=0 est asymptote àC au voisinage de plus l’infini ;
Métropole 2 septembre 2011
Baccalauréat STI Génie mécanique, des matériaux A. P. M. E. P.
xlim→0e−x=1 et lim
x→0
1
x= +∞, donc par somme de limites lim
x→0f(x)= +∞.
Géométriquement ce résultat signifie que l’axe des ordonnées d’équationx= 0 est asymptote àCau voisinage de zéro.
2. f somme de deux fonctions dérivables sur ]0 ;+∞[ est dérivable sur ]0 ;+∞[
et :
f′(x)= −e−x− 1 x2. 3. f′(x)= −
· e−x+ 1
x2
¸
; or e−x>quel que soit le réelxet 1
x2>0 quel que soit le réel de ]0 ;+∞[ ; le crochet est positif et finalementf′(x)<0 sur ]0 ;+∞[.
La fonctionf est donc décroissante sur ]0 ;+∞[.
4. Des questions précédentes, on déduit le tableau de variation suivant :
x 0 +∞
f
+∞
0
Partie B. Étude de propriétés de la courbe C
1. a. Soitdla fonction définie sur ]0 ;+∞[ pard(x)=f(x)−1
x=e−x+1 x−1
x= e−x.
On sait que e−x>0 quel que soit le réelx, doncd(x)>0 sur ]0 ;+∞[.
b. Le résultat précédent signifie géométriquement que la courbeC est au dessus de la courbeH.
2. Le coefficient directeur de la tangenteT à la courbeC au point d’abscisse 1 est égal àf′(1)= −
· e−1+ 1
12
¸
= − µ1
e+1
¶
≈1, 367≈1, 37 au centième près.
3.
Partie C. Calcul d’aire
1. Une primitive sur ]0 ;+∞[ de la fonction e−xest la fonction−e−x; Une primitive sur ]0 ;+∞[ de la fonction 1
xest la fonction ln|x| =lnxpuisque x>0 ;
Une primitive sur ]0 ;+∞[ de la fonctionf est la fonctionF(x)= −e−x+lnx.
2.
Z2
1 f(x) dx=[F(x)]21=F(2)−F(1)= −e−2+ln 2−¡
−e−1+ln 1¢
=e−1−e−2+ ln 2=e1
e2− 1
e2+ln 2=e−1 e2 +ln(2).
3. a. Voir la figure à la fin.
b. On a vu que la courbeC est au dessus de la courbeH, donc l’aire de la partie du plan limitée par la courbeC, la courbeH et les droites d’équa- tionsx=1 etx=2 est égale à l’intégrale :
E= Z2
1 e−xdx=£
−e−x¤2
1=e−1−e−2.
c. On aE=e−1−e−2≈0,2325≈0, 23 (unité d’aire).
Métropole 3 septembre 2011
Baccalauréat STI Génie mécanique, des matériaux A. P. M. E. P.
Annexe à rendre avec la copie (problème)
1 2 3 4
1 2 3
H y
C
T
Métropole 4 septembre 2011
