[ Baccalauréat STI Métropole septembre 2009 \ Génie des matériaux, mécanique
EXERCICE1
1. Soit (E) l’équation différentielle :y′+y=0 , oùy est une fonction numérique définie et déri- vable surR.
a. Résoudre l’équation (E).
b. Montrer que la solutionf de (E) telle quef(0)=1 est la fonctionf définie parf(x)=e−x. 2. a. Calculer la valeur moyenne def sur [2; 3].
b. Déterminer, en fonction den, la valeur moyenne def sur l’intervalle [n;n+1].
3. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fruc- tueuse sera prise en compte dans l’évaluation.
Soit (un) la suite définie par :un=¡ 1−e−1¢
e−n, pour toutnentier positif ou nul.
Quelle est la nature de cette suite ?
EXERCICE2
Le plan complexe est rapporté à un repère¡
O ;→−u,−→v¢
orthonormal direct.
On note i le nombre complexe de module 1 et d’argumentπ 2. 1. Résoudre dans l’ensemble des nombres complexes l’équation
z3−12z2+48z=0.
2. Soient A et B les points du plan d’affixes respectiveszAetzBtelles que zA=6+2ip
3,zB=6−2ip 3.
a. En prenant comme unité graphique 1 cm, placer les points A et B dans le repère¡
O ;−→u,→−v¢ . (On utilisera une feuille de papier millimétré fournie avec le sujet)
b. Calculer le module et un argument dezA. c. Démontrer que le triangle OAB est équilatéral.
d. SoitΩle point d’affixe 4. Démontrer que le points O, A et B se trouvent sur un cercleC de centreΩdont on précisera le rayon en cm.
PROBLÈME
Partie A
Soitgla fonction définie sur l’intervalle I=]0 ;+∞[ par
g(x)=x2−2ln(x)+4 et dont la représentation graphique est donnée ci-après.
1. Soitg′la dérivée degsur l’intervalle I. Montrer queg′(x)=2x2−1 x . 2. Dresser le tableau de variations degsur I
3. En déduire le signe deg(x) sur I.
Baccalauréat STI Génie mécanique, génie des matériaux textbfA. P. M. E. P.
0 1 2 3
4 5 6 7 8
x y
Partie B
Soitf la fonction définie sur l’intervalle I, par
f(x)=1 2x+1
2+ln(x)−1
x .
On noteC la courbe représentative de la fonction f dans le plan muni d’un repère orthonormal
¡O ;−→ı,−→¢ .
1. a. Étudier la limite def en 0 et en déduire l’existence d’une asymptote à la courbeC. b. Étudier la limite def en+∞en remarquant quef(x)=1
2x+1 2−1
x+ln(x) x . 2. On notef′la dérivée def.
a. Montrer que pour tout nombre réelxde l’intervalle I,f′(x)=g(x) 2x2.
b. En utilisant la partie A donner le signe def′(x). En déduire que la fonctionf est croissante sur I.
c. Calculerf(1) et en déduire le signe def(x) sur I.
3. Construire sur une feuille de papier millimétré, la courbeC dans le repère¡
O ;−→ı ,→−¢ en pre- nant comme unité graphique 2 cm.
Partie C
On considère la fonctionF, définie et dérivable sur l’intervalle I, d’expression :
F(x)=1 4x2+1
2x+1
2[ln(x)−1]2.
1. Vérifier que la fonctionFest une primitive de la fonctionf définie à la partie B.
2. Dans le repère¡
O ;→−ı,−→¢
, tracer la droiteDd’équationx=e.
Hachurer la partie du plan située au dessus de l’axe des abscisses et délimitée parC etD. 3. Que représente le nombreA=4[F(e)−F(1)].
Calculer la valeur exacte deA, puis sa valeur arrondie au centième .
Métropole 2 septembre 2009
