[ Corrigé du baccalauréat STI Métropole septembre 2006 \ Génie des matériaux, mécanique B, C, D, E
EXERCICE1 5 points
1. ∆=¡ 2p
3¢2
−4×4=12−16= −4=(2i)2. L’équation a donc deux solutions complexes conju- guées :
z1=−2p 3+2i
2 = −p
3+i et z2= −p 3−i.
2. a. |z1| =p
3+1=p
4=2. On peut alors écrirez1=2 Ã
− p3
2 +i1 2
!
= 2
µ cos5π
6 +i sin5π 6
¶
. Un argument dez1est donc5π 6 . Il suit pourz2conjugué dez1,|z2| =2 et arg(z2)= −5π
6 . b. Le module du carré est égal au carré du module, donc¯
¯z21¯
¯=4 et arg¡ z21¢
=2arg (z1)=2× 5π
6 =5π 3 ou−π
3. De même on obtient¯
¯z22¯
¯=4 et arg¡ z22¢
= −5π 3 ouπ
3. c. On a vu quez1=2
Ã
− p3
2 +i1 2
!
= −p
3+i etz2=2 Ã
− p3
2 −i1 2
!
= −p 3−i.
3. a. Voir à la fin de l’exercice.
b. A et B ont la même abscisse : la droite (AB) est donc parallèle à l’axe des ordonnées ; C et D ont la même abscisse : la droite (CD) est donc parallèle à l’axe des ordonnées ; Donc (AB) et (CD) sont parallèles ; le quadrilatère (ABCD) est donc un trapèze.
1 2 3
−1
−2
−1
−2 1 2 3 4
−
→u
−
→v
bb bb
A
B
C D
EXERCICE2 5 points
Corrigé du baccalauréat STI Génie des matériaux, mécanique A. P. M. E. P.
1.
Avec le défaut de diamètre
Sans le défaut de diamètre
Total Avec le défaut
d’épaisseur
5 % 3 % 8 %
Sans le défaut d’épaisseur
1 % 91 % 92 %
Total 6 % 94 % 100 %
2. Dans le tableau première ligne, deuxième colonne de nombres, on constate qu’il y a 8 - 5 = 3 pièces sur 100 qui présentent un défaut d’épaisseur et pas de défaut de diamètre. Doncp1=
3
100=0, 03.
3. Sur 6 pièces présentant un défaut de diamètre, 5 présentent le défaut d’épaisseur. La probabi- litép2=5
6.
4. a. Il peut y avoir 0, 1 ou 2 défauts.
b.
xi 0 1 2
p(X=xi) 0,91 0,04 0,05
c. E(X)=0×0, 91+1×0, 04+2×0, 05=0, 14.
PROBLÈME 10 points
Partie I :étude de la fonctionf
1. Quel que soit le réelx,f(x)=ex+e−x
2 , doncf(−x)=e−x+ex
2 =f(x) : la fonction est paire.
DoncC a pour axe de symétrie l’axe des ordonnées.
2. On sait que lim
x→+∞ex= +∞et que lim
x→−∞ex=0.
Donc lim
x→+∞f(x)= +∞et lim
x→−∞f(x)= +∞.
3. f est une somme de fonctions dérivables surR. Sur cet intervallef′(x)=ex−e−x
2 .
4. ex−e−x>0⇐⇒ ex>e−x⇒ par croissance de la fonction ln x> −x ⇐⇒2x>0⇐⇒
x>0. Donc six>0,f′(x)>0.
On trouve de même que six<0,f′(x)<0.
5. On en déduit que pourx>0, f est croissante, d’où le tableau de variations :
x −∞ 0 +∞
f(x)
+∞ +∞
1
6. Voir la figure à la fin de l’exercice.
Partie II :étude de la longueur d’un arc de la courbe 1. On af(0)=1+1
2 =1. E(0 ; 1).
Métropole 2 septembre 2006
Corrigé du baccalauréat STI Génie des matériaux, mécanique A. P. M. E. P.
2. A
³ 1 ; e+2e−1
´ et B
³
−1 ; e+2e−1
´ . Donc AE2=12+
h 1−e+2e−1
i2
=1+ h
1−e+2e−1 i2
. AE =
r 1+
h 1−e+2e−1
i2
. Par symétrie : AE = BE.
Donc AE + BE=2 Ãr
1+ h
1−e+2e−1 i2!
et comme l’unité de longueur est égale à 5 cm : AE + EB≈11, 379≈11, 38 cm
3. a. 1+[f′(x)]2=1+
·ex+e−1 2
¸2
=1+ex 4 +e−x
4 −1 2=ex
4 +e−x 4 +2
4=
µex+e−x 2
¶2
.
b.
Z1
−1
q
1+[f′(x)]2dx= Z1
−1
s
µex+e−x 2
¶2
dx= Z1
−1
ex+e−x 2 dx=
·ex−e−x 2
¸
−1
1=e1−e−1
2 −
µe−1−e1 2
¶
=e−e−1. c. Doncℓ=5¡
e−e−1¢ . On aℓ≈11, 75.
L’erreur commise en prenant comme longueur AE + EB est donc à peu près : 11, 75−11, 38= 0, 37 (cm).
−1 →− 1
ı
b b
A B
1 E
Métropole 3 septembre 2006
