[ Baccalauréat STI Métropole juin 2006 \ Génie des matériaux, mécanique B, C, D, E
EXERCICE1 5 points
1. Résoudre dans l’ensembleCdes nombres complexes, l’équation (z−4)¡
z2+4z+16¢
=0.
2. Soient les nombres complexes suivants : z1=4 z2= −2−2ip
3 z3= −2+2ip
3 z4=8eiπ3 z5=2eiπ3 a. Donner le module et un argument de chacun des nombres complexesz1,z2,z3. b. Donner les formes algébriques dez4et dez5.
3. Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal¡
O ;−→u,→−v¢
d’unité graphique 1 cm. Soient les points A, B, C, D et E d’affixes respectivesz1,z2,z3,z4etz5.
a. Placer les points A , B , C , D et E dans le repère indiqué.
b. Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ? Justifier la réponse.
EXERCICE2 5 points
On considère l’équation différentielle (E) suivante :
π2y+9y′′=0,
oùyest une fonction de la variable réellexety′′sa dérivée seconde.
1. Soitgla fonction numérique définie pour tout nombre réelxpar : g(x)=2cos³π
3x´
+4sin³π 3x´
.
Vérifier que la fonctiongest une solution de l’équation différentielle (E).
2. a. Donner la forme générale des solutions de l’équation différentielle (E).
b. Déterminer la solution particulièref de l’équation différentielle (E) qui vérifie : f(0)=1 et f′(0)=π
3.
c. Montrer que, pour tout nombre réelx, f(x) peut s’écrire sous la forme f(x)=p
2cos³π 3x−π
4
´. d. Résoudre dans l’intervalle [0; 3] l’équationf(x)=1.
PROBLÈME 10 points
Partie A
1. Résoudre dans l’ensembleRdes nombres réels l’équation 2X2−5X+2=0.
Baccalauréat STI Génie des matériaux, mécanique A. P. M. E. P.
2. En déduire les solutions, sur l’intervalle ]0 ;+∞[, de l’équation 2(lnx)2−5lnx+2=0.
On pourra poserX=lnx.
Partie B
Soit la fonctionf définie sur l’intervalle ]0 ;+∞[ par
f(x)=2(lnx)2−5lnx+2.
SoitCla courbe représentative de la fonctionf dans le plan muni du repère orthonormal¡
O ;→−ı,−→¢ d’unité graphique 1 cm.
1. Limites aux bornes
a. Étudier la limite def en 0. Quelle conséquence graphique peut-on en tirer ? b. Déterminer la limite def en+∞(on pourra factoriser par lnx).
2. Variations
a. On notef′la fonction dérivée de la fonctionf sur l’intervalle ]0 ;+∞[.
Vérifier que, pour tout nombre réelxde l’intervalle ]0 ;+∞[, f′(x)=4lnx−5
x .
b. Étudier les variations de la fonctionf sur l’intervalle ]0 ;+∞[.
c. En déduire le signe def(x) sur l’intervalle ]0 ;+∞[. On pourra remarquer que la fonction f s’annule enp
e et en e2.
3. Donner une équation de la tangente T à la courbeC au point d’abscissep e.
4. Tracer la courbeCet la tangente T dans le repère orthonormal¡
O ;−→ı ,→−¢ . 5. Calcul d’une aire
a. Hachurer le domaineA du plan situé en dessous de l’axe (Ox) et compris entre la courbe C et l’axe (Ox).
b. Vérifier que la fonctionFdéfinie sur l’intervalle ]0 ;+∞[ par F(x)=x£
2(lnx)2−9lnx+11¤
est une primitive de la fonctionf sur l’intervalle ]0 ;+∞[.
c. Calculer en cm2l’aire du domaineA. En donner l’arrondi à 10−2.
Métropole 2 juin 2006
