Durée : 4 heures
[ Baccalauréat STI Génie mécanique, civil Métropole juin 2006 \
L’utilisation d’une calculatrice est autorisée.
Du papier millimétré est mis à la disposition des candidats.
Le candidat doit traiter les deux exercices et le problème.
EXERCICE1 5 points
On note i le nombre complexe de module 1 et d’argumentπ 2. On considère les nombres complexes suivants :
zA=p 2+ip
6, zB=2−2i.
On posez=zA zB.
1. Écrirezsous forme algébrique.
2. a. Calculer le module et un argument dezAet dezB. b. En déduire le module et un argument dez. c. Écrirezsous forme trigonométrique.
3. Déduire des résultats obtenus aux questions précédentes les valeurs exactes de cos7π 12 et de sin7π
12
4. Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal³ O ;−→
u,−→ v´
d’unité graphique 2 cm.
a. Sur papier millimétré, construire les points A et B, images respectives dezAet dezB. b. Déterminer la nature du triangle OAB.
EXERCICE2 4 points
On donne ci-dessous la représentation graphiqueC, dans un repère orthonormal d’unité 2 cm, de la fonctionf définie sur [0 ; 2π] par :
f(x)=2−sinx 2 1. Vérifier, par le calcul, que :
a. la courbeC passe par le point S(π; 1).
b. la tangente à la courbeC au point S est parallèle à l’axe des abscisses.
c. la fonctionf est solution de l’équation différentielle : 4y′′+y−2=0.
2. On veut calculer la valeur exacte du volume du solide de révolution engendré par la courbeC lors de sa rotation autour de l’axe des abscisses. On rappelle que la valeur V de ce volume, en unités de volume, est donnée par la formule :
V=π Z2π
0 [f(x)]2dx.
Baccalauréat STI Génie mécanique, énergétique, civil A. P. M. E. P.
-1 0 1 2 3 4 5 6 7
-2 -1 0 1 2 3 4
1 1
S
O
a. On pose, pour tout nombre réelxappartenant à [0 ; 2π], g(x)=[f(x)]2. Démontrer que l’on a :g(x)=9
2−4sinx 2−1
2cosx.
b. Donner la valeur exacte de ce volume en cm3, puis sa valeur arrondie au mm3près.
PROBLÈME 11 points
Soitf la fonction définie sur l’intervalle ]−1 ;+∞[ par : f(x)= 2x
1+x−ln(1+x).
On noteC sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère orthogonal³ O ;−→
u,→− v´
d’unités graphiques 1 cm sur l’axe des abscisses et 2 cm sur l’axe des ordonnées.
Partie A
1. Calculer la limite def en+∞.
2. a. En remarquant que, pour tout nombre réelxappartenant à l’intervalle ]−1 ;+∞[ f(x)= 1
1+x[2x−(1+x)ln(1+x)], calculer la limite def en−1 (on pourra utiliser sans démonstration
X→0limXlnX=0).
b. En déduire une équation d’une droiteDasymptote àC.
3. Déterminer la dérivée f′def et montrer que, pour tout nombre réelxappartenant à l’inter- valle ]−1 ;+∞[,f′(x)= 1−x
(1+x)2. (1 + x)
Métropole 2 juin 2006
Baccalauréat STI Génie mécanique, énergétique, civil A. P. M. E. P.
4. a. Étudier le signe def′(x) sur l’intervalle ]−1 ;+∞[.
b. Calculer la valeur exacte def(1).
c. Dresser le tableau de variations def sur l’intervalle ]−1 ;+∞[.
Partie B
1. Déterminer une équation de la tangenteT à la courbeC au point d’abscisse 0.
2. a. Justifier que l’équationf(x)=0 a une seule solutionαdans l’intervalle [1; 5].
Démontrer que ln(1+α)= 2α 1+α.
b. Donner une valeur approchée deαà 10−2près.
3. Déterminer le signe def sur l’intervalle [0 ;α].
4. Tracer, dans le repère³ O ;→−
u,−→ v´
, la tangenteT, la droiteDpuis la courbeC.
Partie C
1. Démontrer que, sur l’intervalle ]−1 ;+∞[, la fonctionFdéfinie par F(x)=(−3−x)ln(1+x)+3x est une primitive de la fonctionf.
2. SoitHla partie du plan délimitée par la courbeC, l’axe des abscisses et les droites d’équations x=0 etx=α.
a. Hachurer la partieH sur le dessin.
b. Calculer, en unités d’aire et en fonction deα, l’aireA(α) de la partieH et démontrer que A(α)=2
µα2−3α 1+α
¶ cm2.
Métropole 3 juin 2006
