Durée : 4 heures
[ Baccalauréat STI Génie mécanique, civil Métropole \ juin 2007
L’utilisation d’une calculatrice est autorisée.
Du papier millimétré est mis la disposition des candidats.
Le candidat doit traiter les deux exercices et le problème.
EXERCICE1 4 points
On considère l’équation différentielle (E) : 4y′′+π2y=0 oùy est une fonction nu- mérique deux fois dérivable de la variable réellex.
1. Résoudre l’équation (E).
2. Déterminer la fonctiong, solution de cette équation, dont la courbe repré- sentative dans un repère du plan passe par le point N de coordonnées
Ã1 2 ;
p2 2
!
et qui, en ce point, admet une tangente parallèle à l’axe des abscisses.
3. Vérifier que, pour tout nombre réelx,g(x)= p2
2 cos³π 2x−π
4
´. 4. Calculer la valeur moyenne de la fonctiongsur l’intervalle [0 ; 1].
EXERCICE2 5 points
i désigne le nombre complexe de module 1 et d’argumentπ 2. 1. Résoudre dans l’ensemble des nombres complexes l’équation
z2+2z+10=0.
2. Déterminer les nombres complexescetdvérifiant le système :
½ −2c+d = 1+13i
−c+d = 4+8i 3. Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal³
O,−→ u,−→
v´
d’unité gra- phique 1 cm.
a. Placer sur une figure les points A, B, C et D dont les affixes respectives sont :
−1+3i,−1−3i, 3−5i et 7+3i.
b. Démontrer que le triangle BAD est rectangle en A.
c. Démontrer que le triangle BCD est rectangle en C.
d. En déduire que les quatre points A, B, C et D sont sur un même cercle dont on déterminera le centreΩet le rayon. Tracer le cercle sur la figure.
PROBLÈME 11 points
Soitf la fonction définie sur l’intervalle ]0 ;+∞[ par
f(x)=exlnx+ex x.
Baccalauréat STI Génie mécanique, énergétique, civil A. P. M. E. P.
On appelleC la courbe représentative de la fonctionf dans un repère orthogonal
³O,−→ ı ,→−
´d’unités graphiques 4 cm sur l’axe des abscisses et 1 cm sur l’axe des ordonnées.
Partie A
L’objet de cette première partie est l’étude des limites de la fonctionf aux bornes de son ensemble de définition.
1. Déterminer la limite def en+∞.
2. a. Montrer que, pour tout nombre réel strictement positifx, f(x)=ex
x(xlnx+1).
On rappelle que lim
x→0xlnx=0. En déduire la limite def en 0.
b. Montrer que la courbeC admet une asymptoteDdont on donnera une équation.
Partie B : étude d’une fonction intermédiaire Soitgla fonction définie sur l’intervalle ]0 ;+∞[ par
g(x)=lnx+2 x− 1
x2 1. a. On désigne parg′la dérivée de la fonctiong.
Montrer que, pour tout nombre réel strictement positifx, g′(x)=x2−2x+2
x3 .
b. Étudier le signe deg′(x). En déduire que la fonctiong est strictement croissante sur l’intervalle ]0 ;+∞[. L’étude des limites n’est pas deman- dée.
2. a. Démontrer que l’équationg(x)=0 admet une solution uniqueαdans l’intervalle
·1 2; 1
¸ .
b. Donner un encadrement d’amplitude 10−2deα.
3. Déduire des questions B 1 et B 2 le signe deg(x), pourxappartenant à l’in- tervalle ]0 ;+∞[.
Partie C : étude des variations de la fonctionf et construction de la courbe asso- ciée
1. a. f′désignant la dérivée def, calculerf′(x) et montrer quef′(x)=exg(x), pour tout nombrexappartenant à l’intervalle ]0 ;+∞[.
b. En déduire le signe def′(x) sur l’intervalle ]0 ;+∞[.
2. a. Dresser le tableau de variations de la fonctionf.
b. Calculer une valeur approchée à 10−1près def(α), en prenant 0,6 pour valeur approchée deα.
3. a. Reproduire et compléter le tableau ci-dessous.
x 0,25 0,5 0,75 1 1,25 1,5 1,75 2 2,25 2,5
f(x) à 10−1près
b. Construire l’asymptoteDet la courbeC pourxappartenant à l’intervalle ]0 ; 2,5].
Métropole 2 juin 2007
Baccalauréat STI Génie mécanique, énergétique, civil A. P. M. E. P.
Partie D : calcul d’aire
1. Montrer que la fonctionF, définie sur l’intervalle ]0 ;+∞[ parF(x)=exlnx est une primitive def.
2. On désire calculer l’aire de la partieE du plan comprise entre la courbeC, l’axe des abscisses et les droites d’équations respectivesx=1 etx=2.
a. Hachurer la partieE sur le dessin.
b. Déterminer la valeur exacte de l’aire deE en unités d’aires, puis en cm2.
Métropole 3 juin 2007
