Durée : 4 heures
[ Corrigé du baccalauréat STI Génie mécanique, civil \ Métropole septembre 2009
EXERCICE1 4 points
1. f(x)=2cosx 3cosπ
3+2sinx 3sinπ
3=cosx 3+p
3sinx
3 :réponse D.
2. On peut penser que la seule réponse est la réponse B. Vérification : f′(x)= −2
3sin³x 3−
π 3
´
etf′′(x)= −2 9cos³x
3− π 3
´ . On a effectivement 9f′′(x)+f(x)=0.
3. La valeur moyenne est égale àVm= 1 π−0
Zπ
0
h 2cos³x
3− π 3
´i dx= 1
π h
6sin³x 3−
π 3
´iπ
0=6 π h
sin 0−sinπ 3 i
=6 π×
p3 2 =3p
3
π . Réponse a.
4. f(x)=0 ⇐⇒ cos
³x 3−
π 3
´
=0 ⇐⇒ cos
³x 3−
π 3
´
=cosπ 2 ou cos
³x 3−
π 3
´
=cos−π 2 soitx
3− π 3 = π
2+2kπou x 3−
π 3=−π
2 +2kπet finalementx=3³π 3+
π 2
´
+6kπ=5π
2 +6kπou x=3³π
3− π 2
´
+6kπ= − π 2+6kπ.
Donc la seule solution dans l’intervalle [−π;+π] est− π
2. Réponse D.
EXERCICE2 4 points
1. a. On a 2069−2056=13 ; 2082−2069=13 et 2095−2082=13.
La suite est donc une suite arithmétique de raison 13.
b. On trouve de même que la suite est donc une suite arithmétique de raison 35.
2. Siu1=1770, on sait queun=u1+35(n−1).
Donc 2050=1770+35n−35 ⇐⇒ 35n=315⇐⇒n=9.
2 050 est donc le 9eterme de la suite.
3. a. Le premier terme étant A1, on a An=A1+13(n−1)=2056+13n−13=2043+13n.
b. De même Bn=B1+35(n−1)=1770+35n−35=1735+35n.
c. Il faut résoudre dansN, l’inéquation 1735+35n>2043+13n ⇐⇒ 22n>308⇐⇒
11n>154⇐⇒ n>14.
La production de la chaîne B sera supérieure à celle de la chaîne A à partir de 14 ans soit en février 2010.
Corrigé du baccalauréat STI Génie mécanique, énergétique, civil A. P. M. E. P.
PROBLÈME 12 points
Partie A
1. f′(x)=e−x−(x+k)e−x+2x−1=(1−k−x)e−x+2x−1
2. On calculef′(x)+f(x)=(1−k−x)e−x+2x−1+(x+k)e−x+x2−x+1= e−x+x2+x.
Donc la fonctionf est bien une solution de (E).
3. f(0)=1⇐⇒ke0+1=1 ⇐⇒k+1=1 ⇐⇒k=0.
Partie B
1. a. On sait que lim
x→+∞e−x=0, donc lim
x→+∞f(x)= −∞. On ag(x)=x2
µ 1−1
x+ 1 x2
¶
. On sait que lim
x→+∞
1
xn =0 (n∈N), donc lim
x→+∞1−1 x+ 1
x2 =1, donc par produit de limites lim
x→+∞g(x)= +∞.
b. f(x)−g(x)=xe−x= x ex. Or lim
x→+∞
x ex =0.
Ceci signifie que la courbeP est asymptote à la courbeC au voisinage de plus l’infini.
c. f(x)−g(x)=xe−xqui est du signe dexcar e−x>0 quel que soit le réelx.
Doncx<0⇒f(x)−g(x)<0, ce qui signifie queC est au dessous deP; x>0⇒f(x)−g(x)>0, ce qui signifie queC est au dessus deP. 2. a. Le calcul a déjà été fait au dessus : il suffit de remplacerkpar 0.
b. Le coefficient directeur de la tangente à la courbeC au point d’abscisse 0 est égal à f′(0)=1+0−1=0, ce qui signifie que la tangente est horizontale.
3. Sur la feuille annexe : a. Voir plus bas.
b. Voir plus bas.
Partie C
1. On aH′(x)= −e−x−(−x−1)e−x=xe−x=f(x).
Ceci montre que la fonctionHest une primitive de la fonctionf surR.
2. a. Voir la figure
b. On aα>2>0 ; on sait donc que sur l’intervalle [0 ;α[ la différencef(x)−g(x) est positive ; donc l’aire de la partie A est égale en unité d’aire à :
A(A)= Zα
0
£f(x)−g(x)¤ dx=
Zα
0
xe−xdx= Zα
0
h(x) dx=[H(x)]α0=H(α)−H(0)= (−α−1)e−α+1=1−(α+1)e−α.
c. Commeαe−α= α
eα et on a vu que lim
α→+∞
α eα =0.
On a aussi lim
α→+∞e−α=0, donc lim
α→+∞
¡−αe−α−e−α+1¢
=1.
d. L’unité d’aire est égale à 1×2=2¡ cm2¢
.
Conclusion la limite de l’aire de A est égale à 2 cm2.
Métropole 2 septembre 2009
Corrigé du baccalauréat STI Génie mécanique, énergétique, civil A. P. M. E. P.
FEUILLE ANNEXE À RENDRE OBLIGATOIREMENT AVEC LA COPIE
x −2 −1, 5 −1, 1 −1 −0, 5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3
f(x) −7, 78 −1, 97 0, 01 0,28 0,93 1 1,05 1,37 2,08 3,27 4,96 7,15
Métropole 3 septembre 2009
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1 2 3
−1
−2
−1
−2
−3
−4
−5
−6
−7
−8 1 2 3 4 5 6 7 8 9
O
C P
Métropole 4 septembre 2009
