Durée : 4 heures
[ Corrigé du baccalauréat Métropole 23 juin 2009 \ STI Génie mécanique, civil
EXERCICE1 6 points
1. a. On lit sur le graphique :
f(0)=3, f(8)=4, f′(0)=0, f′(8)=0 b. Sur [0 ; 8], f′(x)=3ax2+2bx+c.
c. On a :
f(0) = 3 f(8) = 4 f′(0) = 0 f′(8) = 0
⇐⇒
d = 3
512a+64b+8c+d = 4
c = 0
192a+16b = 0
d. Il reste à résoudre :
½ 512a+64b = 1
12a+b = 0 ⇐⇒
½ 512a+64b = 1
b = −12a ⇐⇒
a = − 1
256
b = 3
64 On a doncf(x)= − 1
256x3+ 3 64x2+3.
2. a. La surface dont on cherche l’aire se décompose en :
• un demi-disque de rayon 3 ;
• un demi-disque de rayon 4 ;
• la surface limitée par la courbeC l’axe des abscisses, la droite d’équationx=0 et la droite d’équationx=8 ;
• la surface symétrique de de la précédente autour de l’axe des abscisses.
b. L’aireA demandée est égale à : A=π×9
2 +π×16 2 +2
Z8 0
µ
− 1 256x3+ 1
64x3+3x
¶
=12, 5π+2
·
− 1
256×4x4+ 1 64x3+3x
¸8 0= 12, 5π−2× 1
256×4×84+2×83
64+2×3×8=12, 5π+56 ¡ m2¢
. La calculatrice donneA≈95, 269≈95, 3¡
m2¢ . 3. Le volumeVest égal à :
V=1, 6(12, 5π+56)=20π+89, 6 soitV ≈152, 4≈152¡ m3¢
.
EXERCICE2 5 points
1. a. On a de façon évidente|zA| =1 ;|zB|2= µ 1
p2
¶2
+ µ 1
p2
¶2
=1 2+1
2=1.
Donc|zB| =1.
Conclusion : les points A et B appartiennent au cercle centré en O de rayon 1.
A. P. M. E. P. Corrigé du baccalauréat STI Génie mécanique, énergétique, civil
b. zB= 1
p2(1+i)= 1 p2+i 1
p2= p2
2 +i p2
2 =cosπ4+i sinπ4. Un argument dezBest doncπ
4. c. Voir la figure
d. Le point I se place en construisant la médiatrice de [AB].
L’affixe de I est égale à la demi-somme des affixes de A et de B, soitzI= 1+
p2 2 +i
p2 2
2 =
2+p 2 4 +i
p2 4 . 2. a. On a|zI|2=
Ã2+p 2 4
!2
+ Ãp
2 4
!2
=(2+p 2)2+2
16 =4+2+4p 2+2
16 =8+4p 2
16 =2+p 2 4 . Finalement OI =|zI| =
s 2+p
2
4 =
p2+p 2
2 .
b. Dans le triangle isocèle OAB (puisque OA = OB = 1), la droite (OI) médiane est aussi bis- sectrice de l’angle³−−→
OA,−−→
OB´
, donc³−−→
OA,−→
OI´
=π8 c. zIa donc pour écriture trigonométrique :
zI= p2+p
2 2
¡cosπ8+i sinπ8¢
3. En identifiant les parties réelles dezIobtenues aux questions 1. d. et 2. c., on obtient :
cosπ 8 =
p2+p 2
2 .
−1 1
−1 1
b
b b
O
A B
I
−
→u
−
→v
PROBLÈME 9 points
Partie A : étude d’une fonction auxiliaire
Métropole 2 23 juin 2009
A. P. M. E. P. Corrigé du baccalauréat STI Génie mécanique, énergétique, civil
1. g′(x)= −1
x−2x= −1+2x2 x .
Sur ]0 ; + ∞[,x>0 et 1+2x2>1>0, doncg′(x)<0.
La fonctiongest donc décroissante sur ]0 ; + ∞[.
2. On ag(1)=1−0−1=0. La fonction étant décroissante :
• g(x)>0 si 0<x<1 ;
• g(1)=0 ;
• g(x)<0 six>1.
Partie B : étude de la fonctionf
1. a. Comme lim
x→0lnx= −∞et lim
x→0x=0, lim
x→0g(x)= −∞.
b. On sait que lim
x→+∞
lnx
x =0 et lim
x→+∞−x= −∞, on a limx
→+∞g(x)= −∞.
c. Soitd la fonction définie sur ]0 ; + ∞[ par : d(x)=g(x)−(−x+2)= lnx
x . On a vu que
x→+∞lim =0.
Ceci montre que la droiteDd’équationy= −x+2 est asymptote à la courbeC. d. Il faut étudier le signe ded(x)=lnx
x qui est celui de lnx. Donc :
• Si 0<x<1,C est au dessous deD.
• Six=1,C etDont un point commun de coordonnées (1 ; 1) ;
• Six>1,C est au dessus deD. 2. a. f est dérivable sur ]0 ; + ∞[ et
f′(x)=
1
x×x−lnx
x2 −1=1−lnx
x2 −1=1−lnx−x2 x2 =g(x)
x2 .
b. Commex2>0, le signe def′(x) est celui deg(x) vu en A. 2. D’où le tableau de variations def : (avecf(1)= −1+2=1.)
x 0 1 +∞
f′(x) + 0 −
f(x)
−∞
1
−∞
3. a. Le coefficient directeur deDest égal à−1. Il faut donc chercher pour quelle valeur dexle nombre dérivéf′(x) est égal à−1, soit :
1−lnx−x2
x2 = −1 ⇐⇒ 1−lnx−x2= −x2 ⇐⇒ 1−lnx=0 ⇐⇒ 1=lnx ⇐⇒ e=x. Et f(e=ln(e)
e −e+2=1 e+2−e.
On a donc A µ
e ; 1 e+2−e
¶ .
Métropole 3 23 juin 2009
A. P. M. E. P. Corrigé du baccalauréat STI Génie mécanique, énergétique, civil
b. La tangente cherchée est la tangente en A. Une de ses équations est donc y−f(e)= −1(x−e)⇐⇒ y= −x+e+f(e)⇐⇒ y= −x+e+1
e+2−e ⇐⇒ y= −x+1 e+2.
4. a. Sur [0 ; 1],f est croissante de moins l’infini à+1 ; comme elle est dérivable, il existe un nombre uniqueα∈]0 ; 1[ tel quef(α)=0.
b. La calculatrice donnef(0, 48)≈ −0, 091 etf(0, 49)≈0, 054, donc 0, 48<α<0, 49.
5.
1 2 3 4 5 6
−1
−2
−3
−4
−5 1 2
x y
O
b b
B A
C
D
Métropole 4 23 juin 2009
