SYNTHESE : Mécanique Rationnelle Durée : 02 heures Important : Dans tout le problème, on prendra : L = 2 R = 4 r Partie I : Statique : 06 pts
Calculer :
1) Les réactions du plan horizontal sur les disques ( )S1 et (S2) . 2) Les actions de (S3) sur ( )S1 et de (S4) sur ( )S1 .
Un jouet d’enfant est constitué des quatre solides suivants :
- ( )S1 et (S2) deux disques identiques, de centres respectifs C1 et C2 , homogènes, de rayons r et de masses m.
- (S3) un disque homogène de centre C3 , de rayon R et de masse M .
- (S4) est une tige de longueur L, de centre C, de masse négligeable.
Le système est dans un plan vertical (x,y) et repose sur un plan matériel horizontal, voir figure I.
Les liaisons entre les divers éléments du système sont telles que :
( )S1 /(S4) et (S2)/(S4) : articulations cylindriques.
(S3)/( )S1 et (S3)/(S2) : appuis rouleau
( )S1 et (S2) s’appuient sans frottement sur le plan horizontal.
y
→
x
→
C1 C2
C3
r r
• C R
O A1 A2
Partie II : Cinématique : 08 pts
Partie III : Cinétique : 06 pts
1) Donner les tenseurs d’inertie de ( )S1 , (S2) , (S3) et (S4) par rapport à leur centres de masse respectifs, dans le repère( , ,O x y0,z0)
→ → →
.
2) En déduire le tenseur d’inertie du système au milieu C de la tige, en fonction de m,M ,R 3) Calculer les moments cinétiques de ( )S1 , (S2) , (S3) et (S4) par rapport à leurs centres de
masse respectifs .
4) Calculer l’énergie cinétique du système en fonction de m,M ,R et V0 .
y0
→
x0
→
C1 C2
C3
I1 I2
A1 A2
C
V0
→
Le système est mis en mouvement par l’intermédiaire d’un câble inextensible, de masse négligeable, dont l’une des extrémités est accrochée au point C2, tandis que l’autre est tirée avec une vitesse constante
V0 selon l’axe ( ,O x0)
→
( figure II ).
Soit ( , 0, 0, 0)
→
→
→
z y x
O le repère fixe.
1) Décrire le mouvement de chacun des éléments du système.
2) Calculer les vitesses absolues des points C1 , C2 et C3 .
3) En supposant que les solides ( )S1 ,(S2) et(S3) roulent sans glisser , calculer les vitesses instantanées de rotation de chacun des solides .
4) Montrer que le centre instantané de rotation I de (S3) est donné par : C Iuuur3 =R yuur0
.
Figure II
SOLUTION : Partie I : Statique
1) Système : ( )S1 + (S2)+ (S3)+ (S4) en équilibre statique :
∑
→ =→i
Fi 0 ⇔
→
→
→
→
→
→1+R 2+P1+P2+P3 =0
RA A (I)
∑
→ =→i i A
M / 1 0 ⇔
→
→
→
−−
→
→
−−
→
→
−−
→
→
−−1A2∧R 2+ A1C1∧P1+A1C2∧P2+A1C3∧P3 = 0
A A (II)
Equations scalaires : 3 2 2 cos /
3 1
1 =
= +
= r R
L C C
C
α C ;
3 sin 5
3 1
3 =
=C C α CC
3 0
2 1 2
1+R −P −P −P =
RA A
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎪ =
⎩
⎪⎨
⎧
−
⎪ ∧
⎩
⎪⎨
⎧
+ +
⎪ +
⎩
⎪⎨
⎧
−
⎪ ∧
⎩
⎪⎨
⎧
⎪ +
⎩
⎪⎨
⎧
−
⎪ ∧
⎩
⎪⎨
⎧
⎪ +
⎩
⎪⎨
⎧
⎪ ∧
⎩
⎪⎨
⎧
0 0 0
0 0
0
sin ) (
2 /
0 0
0 0 0
0 0
0 0
0
0 2 1 2 r r R P3
L P r
L P r
R L
A α
2 3 0
2
2 − − LP =
LP
LRA ⇒ M g
m
RA )
( 2
2 = +
M g m P P P R
RA A )
( 2
3 2 1 2
1 =− + + + = +
2) Système : ( )S1 (forces concourantes)
→
→
→
→
→1+R3/1+R4/1+P1 = 0
RA
Equations scalaires : 0 cos 4/1
1 /
3 + =
−R α R
0
1sin
/ 3 1
1−P −R α =
RA D’où :
5 2 3 sin 2 sin
1 1 1 / 3
Mg Mg
P
R RA − = =
= α α
2 5
1cos
/ 3 1 / 4
Mg tg
R Mg
R = = =
α α
y
→
x
→
C1 C2
C3
• C
O A1 A2
Partie II : Cinématique
1) Les solides ( )S1 , (S2)et (S3)ont un mouvement plan. Le mouvement du solide (S4)est une translation rectiligne.
2) Vitesses absolues des centres des disques : les centres des disques sont en mouvement de translation uniforme.
On a : V→0(C1)=V→0(C2)=V→0(C3)=V0 , nous avons aussi : On sait que
⎪⎩
⎪⎨
⎧
→=
−−
−
0 0 2 /
1
L C C
3) Les vitesses instantanées de rotation des disques sont perpendiculaires au plan de référence :
Pour (S1) :
Il n’y a pas glissement au point A1
→ →
=
⇒V0(A1) 0 ;A1 point fixe de (S1)
→
−
−
→ −
→
−
−
→ −
→
→0(C1)=V0(A1)+Ω10∧A1C1 =Ω10∧A1C1
V avec
⎪⎩
⎪⎨
⎧
= Ω→
1 0
1 0
0
ω
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎪ ∧
⎩
⎪⎨
⎧
⎪ =
⎩
⎪⎨
⎧
0 0 0 0
0 0
1 0
r V
ω
⇒
1 2
1 0
r R
V =−ω =−ω ⇒
R V0
1
−2
ω = donc :
→ →
−
=
Ω10 2 0 0 R z V
Pour (S2) :
Il n’y a pas glissement au point A2 ⇒
→ →
= 0 ) ( 2
0 A
V ; A2 point fixe de (S2)
→
−
−
→ −
→
−
−
→ −
→
→0(C2)=V0(A2)+Ω02∧A2C2 =Ω02∧A2C2
V avec
⎪⎩
⎪⎨
⎧
= Ω→
2 0
2 0
0
ω
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎪ ∧
⎩
⎪⎨
⎧
⎪ =
⎩
⎪⎨
⎧
0 0 0 0
0 0
2 0
r V
ω
⇒
2 2
2 0
r R
V =−ω =−ω ⇒
R V0
2
−2
ω = donc :
→ →
−
=
Ω02 2 0 0 R z V
Pour (S3) :
Il n’y a pas glissement entre (S1) et (S3) V→0(I1∈S1)=V→0(I1∈S3)
→
−
−
→ −
→
→0(I1∈S1)=V0(C1)+Ω10∧C1I1 V
→
−
−
→ −
→
→0(I1∈S3)=V0(C3)+Ω03∧C3I1 V
comme nous avons l’égalité des vitesses des deux points , alors :
→
−
−
→ −
→ →
−
−
→ −
→0(C1)+Ω10∧C1I1 =V0(C3)+Ω30∧C3I1
V et
→
−
−
→ −
→
−
−
→ −
∧ Ω
=
∧
Ω10 C1I1 03 C3I1
comme : ( 1 2, 1 3)
→
−
−
−
→
−
−
= C− C CC α
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−
−
⎪ ∧
⎩
⎪⎨
⎧
⎪ =
⎩
⎪⎨
⎧
∧
⎪⎪
⎩
⎪⎪⎨
⎧
− 0
sin cos 0
0 0
sin ) 2 / (
cos ) 2 / ( 20
0
3 0
α α ω
α α
R R R
R
R
V ⇒
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−
⎪ =
⎩
⎪⎨
⎧
−
0 cos sin
0 cos sin
3 3 0
0
α ω
α ω α
α
R R V
V
ce qui nous donne :
R V0
3 =
ω
⇒
Ω→ = →0 0 0
2 z
R V
4) I centre instantané de rotation de (S3) d’où : 2
0 3
3 0 0 3 3
) (
⎟⎟⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛Ω
∧
= Ω
→
→
→
→
−−
− V C
I C
On a
:
−−→ = →⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎪ =
⎩
⎪⎨
⎧
⎪ =
⎩
⎪⎨
⎧
∧
⎪⎪
⎩
⎪⎪⎨
⎧
⎟⎠
⎜ ⎞
⎝
= ⎛ 22 02 0
0
0 2 0 3
0 0 0 0 . 0
0 0 1 0
y R R R
V V V R R V R V I C
Partie III : Cinétique
1) Tenseurs d’inertie des solides :
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=
= =
=
2 / 0
0
0 4 / 0
0 0
4 / )
( ) (
2 2
2
2 2 1 1
mr mr
mr S
I S
IC C ;
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
= =
2 / 0
0
0 4 / 0
0 0
4 / )
(
2 2
2
31 3
MR MR
MR S
IC
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
= =
0 0 0
0 0 0
0 0 0 ) ( 0
4 S IC
2) Tenseurs d’inertie des solides au point C:
2
2
1 2
2
0 0
16
( ) 0 17 0 ( )
16
0 0 9
C C
mR
I S mR I S
mR
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
=⎢ ⎥=
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎦
2
2 3
2
3 0 0
2
( ) 0 0
4
0 0 7
4
C
MR I S MR
MR
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
= ⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎦
4
0 0 0
( ) 0 0 0
0 0 0
IC S
⎡ ⎤
⎢ ⎥
= ⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎦
D’où :
2 2
2 2
2 2
3 0 0
8 2
( ) 0 17 0
8 4
9 7
0 0
4 4
C
mR MR
mR MR I S
mR MR
⎡ ⎤
⎢ + ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
=⎢ + ⎥
⎢ ⎥
⎢ + ⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎦
3) Moments cinétiques des solides
0 0
0 2
2 2
0 1 1 1 2
4 /
2 0 0 8
/ 0
0
0 16 / 0
0 0
16 / )
( ) ( )
( 1 1
2
→ →
=
→
→ =−
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
⎥ −
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
= Ω
=
= mV R z
R V mR
mR mR
S I S
S C C
C σ
σ
0 0
0 2
2 2
0 3 3 3
4 /
0 0 2 / 0
0
0 4 / 0
0 0
4 / )
( )
( 3
3
→ →
=
→ =
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
= Ω
= MV R z
R V MR
MR MR
S I
S C
σC
→
→ ( 4)= 0
4 S σC
4) Energie cinétique du système
1 2 3 4
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
C C C C C
E S =E S +E S +E S +E S 4 3 2
1 2
) 1 ( )
(S1 E S2 mV02 2 02 mV02 EC = C = + C •Ω→ =
σ→
4 3 2
1 2
) 1
(S3 MV02 3 03 MV02 EC = + σ→C •Ω→ =
0 ) (S4 = EC
2 2
3 3
= +
