Recueil d’examens de Mécanique rationnelle de 1999 à 2009 :A.KADI ; A.HADI
Année 2002-2003
Rattrapage : Mécanique Rationnelle Durée : 02 heures Exercice 01 : (10 pts)
1) Déterminer par le théorème de Guldin la surface latérale de l’enveloppe cônique mince obtenue par la rotation autour de l’axe (Oz) de la barre AB de longueur L (voir figure 01). Retrouver cette valeur par intégration.
2) Déterminer le tenseur d’inertie en O du corps homogène obtenu par la rotation autour de l’axe Oz de la barre coudée OAB de la figure 2.
On posera : m1 = masse du disque
m2 = masse de l’enveloppe conique
Exercice 02: (10 pts) Simulateur de vol
Pour simuler les conditions de vol des avions, les ingénieurs ont conçu un appareil spécial pour l’entraînement des pilotes qui consiste en un bras (1) en rotation dans le plan horizontal tel que : 0( , 0, 0, 0)
→
→
→
z y x O
R : repère fixe ;
) , , ,
( 1 1 1
1
→
→
→
z y x O
R :repère mobile lié au bras, avec
→
→0 ≡ z1
z et (x→0,x→1)=(y→0,y→1)=ψ sens positif ; Un cockpit (2) en rotation autour de l’axe
→
x1 tel que
→
→1 ≡ x2
x et (y→1,y→2)=(z→1,z→2)=θ sens positif ; 2( , 2, 2, 2)
→
→
→
z y x B
R : repère lié au cockpit avec OB = R.
z
R L
A B
O x
Figure :01
z
R L
A B
O x
Figure :02
Un siège-pilote (3) en rotation autour de l’axe
→
y2 tel que :
→
→2 ≡ y3
y et (x→2,x→3)=(z→2,z→3)=ϕ sens positif. 3( , 3, 3, 3)
→
→
→
z y x B
R : repère lié au siège-pilote. Le pilote est lié au siège, sa tête est repéré par le vecteur position
→
→
−− =Lz3
BT .
Tous ces éléments sont en rotation contrôlée par l’ordinateur pour simuler les différentes manœuvres. Il a fallu faire des calculs pour déterminer les paramètres cinématiques afin de les varier de façon sensée pour savoir à quelles accélérations seront soumis les pilotes.
Vous êtes l’ingénieur responsable de ces calculs, il vous est demandé de :
1) Etablir les figures planes représentatives des trois rotations et les matrices de passages correspondantes ;
2) Trouver le vecteur position du point T, ainsi que le vecteur rotation du siège pilote par rapport à R0;
3) Déterminer le vecteur vitesse absolue du point T par composition de mouvement et par la cinématique du solide.
4) Déterminer l’accélération absolue du point T par composition de mouvement.
On prendra R2 comme repère de projection
ϕ θ ψ•
O
1
2 3
B
→
y0
→
z0
→
x1
→
x0
ψ
R
Recueil d’examens de Mécanique rationnelle de 1999 à 2009 :A.KADI ; A.HADI
Solution :
Exercice 01 : (10 pts) 1) Surface Latérale :
a) par le théorème de Guldin
S =2π.RG.L ;
2
→
−−
→
→ −−
−
− +
=OA OB
OG ;
⎩⎨
=⎧
→
−
−
2 /
2 / h
OG R avec
2 CG R RG = =
Alors : R L RL
S . . .
. 2
2π =π
=
b) par intégration
L’élément d’intégration est donné par : ds=2π.r.dL
Les triangles OAB et CGB sont semblables, nous avons :
h z h R
r OB
CB OA
CG −
=
⇒
=
Nous avons aussi : dz
h dL L L
h dL
dz = ⇒ = et h2 +R2 =L2
hdz L h
z h rdL R
ds ( ).
2 .
2 −
=
= π π ⇒ S = hRL
∫
h h−z dz0
2. ( )
. 2π
L h R
h h L
S R . .
2 .
.
2 2 2
2 π
π =
⎟⎟⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛ −
=
2) Tenseur d’inertie :
La rotation de la barre OA autour de l’axe Oz donne un disque de masse m1 de rayon R, et la barre AB donne une enveloppe conique de masse m2 . Le moment d’inertie du système est la somme des moments d’inertie des deux solides : IO(Syst) = IO(disque) +IO(cône)
Pour le disque :
(xoz) et (yoz) sont des plans de symétrie : Ixy =Ixz =Iyz =0
Les axes Ox et Oy jouent le même rôle alors : Ixx = Iyy ; de plus nous avons un solide plan alors : Ixx +Iyy = Izz ⇒
2
zz yy xx
I I
I = =
r dz dL z
R G
A B
O x
Figure :01 h - z
z h x
) 2 (
2 2 1
2 m R
dm y x I
S
zz =
∫
+ = ⇒Ixx =Iyy = m14R2 ;⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=
0 2 0
4 0 0
0 4 0
2 1 2 1 2 1
) (
R m R m R m
IOdisque
Pour l’enveloppe conique : (Oz) est un axe de révolution
Les plans (xoz) et (yoz) sont des plans de symétrie : Ixy =Ixz =Iyz =0 Les axes Ox et Oy jouent le même rôle alors : Ixx =Iyy
∫
∫
∫
+ = ==
S S
S
zz x y dm r dm r ds
I ( 2 2) 2 2σ. ; on a déjà h z dz
h L rdL R
ds 2 . . ( )
.
2 = 2 −
= π π
2 . 2
. . . )
. ( . .2 ) ( )
. ( . .2
2 2 2 2
2 2
2 2
2 R m R
L R dz
z h h
L z R
h h dz R
z h h
L r R
I
S S
zz =
∫
σ π − =σ∫
− π − =σπ =∫
+
=
=
S zz yy
xx I z dm
I
I 2
2 ; on calcul seulement l’intégrale:
∫
S
dm z2
6 .12
. . .2 )
. ( . .2 .
2 2 4 2 2
2
2 h m h
h L dz R
z h h
L z R
dm z
S S
=
=
−
=
∫
∫
σ π σ π6 4
2 2 2
2R m h
I m
Ixx = yy = +
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
+ +
=
0 2 0
6 0 0 4
0 6 0
4
2 2 2 2 2 1 2 2 2 2
) (
R m h m R m h m R m
IOcône ; avec : h2 =L2 −R2
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
+ +
+ +
+
=
) 2 (
0 0
6 0 ) 4
( 0
0 6 0
) 4 (
2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1
) (
m R m h R m
m m h R m
m m IOsystème
Recueil d’examens de Mécanique rationnelle de 1999 à 2009 :A.KADI ; A.HADI
Exercice 02 : (10 pts)
1. Figures planes des trois rotations et les matrices de passages correspondantes ; a) Rotation du bras
Nous avons : OB =R et 0( 0, 0, 0)
→
→
→
z y x
R un repère fixe. R2 : étant le repère de projection on exprimera toute les données dans ce repère.
) , , ( 1 1 1
1
→
→
→
z y x
R : en rotation / à R0 tel que :
→
→0 ≡ z1
z et (x→0,x→1)=(y→0,y→1)=ψ sens positif
a) Rotation du cockpit
) , , ,
( 2 2 2
2
→
→
→
z y x B
R : en rotation / R1 tel que
→
→1 ≡x2
x et (y→1,y→2)=(z→1,z→2)=θ sens positif ;
a) Rotation du siège pilote
) , , ,
( 3 3 3
3
→
→
→
z y x B
R en rotation / tel que :
→
→2 ≡ y3
y et (x→2,x→3)=(z→2,z→3)=ϕ sens positif.
Matrice de passage de R0 vers R1
⎟⎟
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛ −
=
⎟⎟
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
→
→
→
→
→
→
1 1 1
0 0 0
1 0 0
0 cos sin
0 sin cos
z y x
z y x
ψ ψ
ψ ψ
1
0 R
PR→
O
→
x1
→
x0
→
→0 ≡ z1 z
ψ
→
y0
ψ
→
y1
Matrice de passage de R1 vers R2
⎟⎟
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−
=
⎟⎟
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
→
→
→
→
→
→
2 2 2
1 1 1
cos sin
0
sin cos
0
0 0
1
z y x
z y x
θ θ
θ θ
2
1 R
PR→
→
→1 ≡ x2
x B →
z1
→
z2
θ
→
y2
θ
→
y1
Matrice de passage de R3 vers R2
⎟⎟
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛ −
=
⎟⎟
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
→
→
→
→
→
→
2 2 2
3 3 3
cos 0 sin
0 1 0
sin 0
cos
z y x
z y x
ϕ ϕ
ϕ ϕ
R PR→
→
→2 ≡ y3
y B →
x2
→
x3
ϕ
→
z ϕ
→
2. Vecteur position du point T par rapport à R exprimé dans 0 R2 Nous avons :
→
−
→
−
→
− =OB+BT
OT , sachant que
→
→
− = Lz3 BT R
R R
OB ⎪
⎩
⎪⎨
⎧
→=
−
0 0 , 2
1
; ⎪
⎩
⎪⎨
⎧
⎪ =
⎩
⎪⎨
⎧
→=
−
ϕ ϕ cos
0 sin 0
0
2 3
L L
R R L
BT d’où :
⎪⎩
⎪⎨
⎧ +
→=
−
ϕ ϕ cos
0 sin
2
L L R
R OT
Vecteur rotation du siège pilote :
→
•
→
•
→
→ •
→
→
→ =Ω +Ω +Ω = + +
Ω03 23 12 10 ϕ y2 θ x2 ψ z1 ;
Par la matrice de passage de R1 vers R2 le vecteur
→
z1 ‘écrit :
→
→
→1 =sin y2+cos z2
z θ θ
→
•
→
•
•
→
•
→
→
•
→
•
→
→ •
⎟ +
⎠
⎜ ⎞
⎝⎛ + +
⎟=
⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛ +
+ +
=
Ω03 ϕ y2 θ x2 ψ sinθ y2 cosθ z2 θ x2 ϕ ψsinθ y2 ψ cosθ z2
⎪⎪
⎩
⎪⎪⎨
⎧ +
= Ω
•
•
•
•
→
R ψ θ
θ ψ ϕ
θ cos
sin
2 0 3
3. Vecteur vitesse du point T 3.1. Par composition de mouvement
ent rel
abs V V
V
→
→
→ = + ⇔ V0(T) V2(T) V20(T)
→ →
→ = +
La vitesse relative est donnée par :
⎪⎪
⎩
⎪⎪⎨
⎧
−
= •
•
→
→ −
ϕ ϕ
ϕ ϕ
sin 0 cos )
(
2 2 2
L L
R dt
BT T d
V
La vitesse relative s’écrit :
→
→ −
→
→ T =V O +Ω ∧OT V
0 2 0
0
2 ( ) ( )
( )
( )
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
+
−
+ +
−
⎪ =
⎩
⎪⎨
⎧ +
∧
⎪⎪
⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
•
•
•
•
•
•
•
→
ϕ θ
ψ
ϕ θ
ψ ϕ θ
ϕ θ ψ ϕ
ϕ θ
ψ θ ψ
θ
sin sin
sin cos
cos
cos sin cos
0 sin cos
sin )
(
2 2
2 0
2
L R
L R L
L
R L
L R
R
R T V
En faisant la somme on obtient :
Recueil d’examens de Mécanique rationnelle de 1999 à 2009 :A.KADI ; A.HADI
( )
( )
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
+
−
−
+ +
−
+
=
•
•
•
•
•
•
→
ϕ θ
ψ ϕ ϕ
ϕ θ
ψ ϕ θ
ϕ θ ψ ϕ ϕ
sin sin
sin
sin cos
cos
cos sin cos
) (
2 0
L R L
L R L
L
L
R T V
3.2. Par la cinématique du solide
La vitesse relative s’écrit :
→
→ −
→
→ T =V B +Ω ∧BT V
0 3 0
0( ) ( )
Nous avons :
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−
⎪ =
⎩
⎪⎨
⎧
∧
⎪⎪
⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
∧ Ω +
=
•
•
•
•
•
→
→ −
→
→
R
R
R R
R
R OB O
V B V
θ ψ
θ ψ θ
ψ θ ψ
θ
sin cos 0
0 0 cos
sin )
( ) (
2 2 2
0 2 0
0
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
−
−
+
−
+
⎪ =
⎩
⎪⎨
⎧
∧
⎪⎪
⎩
⎪⎪⎨
⎧ +
=
∧ Ω
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
→
→ −
ϕ θ ψ ϕ ϕ
ϕ θ ψ ϕ θ
ϕ θ ψ ϕ ϕ ϕ
ϕ θ
ψ θ ψ ϕ
θ
sin sin sin
sin cos cos
cos sin cos
cos 0 sin
cos sin
2 2
2 0
3
L
L L
L
L
R L L
R
R BT
La somme des deux expressions donne :
( )
( )
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
+
−
−
+ +
−
+
=
•
•
•
•
•
•
→
ϕ θ
ψ ϕ ϕ
ϕ θ
ψ ϕ θ
ϕ θ ψ ϕ ϕ
sin sin
sin
sin cos
cos
cos sin cos
) (
2 0
L R L
L R L
L
L
R T V
4. Accélération absolue du point T par composition de mouvement
Son expression est donnée par la relation suivante : (T) (T) (T) (T)
coriolis
ent
rel
abs
→
→
→
→ =γ +γ +γ
γ )
( ) ( ) ( )
( 2 20
0 T T T T
c
→ → →
→γ = γ +γ + γ
Explicitons chacun du terme de cette relation :
(1) :
⎪⎪
⎩
⎪⎪⎨
⎧
−
−
−
== •• •
• •
•
→ →
ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ γ
cos sin
0
sin cos
) ) (
(
2 2
2 2 2 2
L L
L L
R dt
T V T d
⎟⎟⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛Ω ∧
∧ Ω + Ω ∧
+
= −→ → → −→
→ →
→
OT dt OT
O d T
0 2 0 2 0
2 0 0
0
2 ( ) γ ( )
γ
⎪⎩
⎪⎨
⎧ +
∧
⎪⎪
⎩
⎪⎪⎨
⎧
− +
= Ω ∧
= Ω ∧
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
→
−
→
→
−
→
ϕ ϕ θ
θ ψ θ ψ
θ θ ψ θ ψ θ
cos 0
sin
sin cos
cos sin
2 2
0 2 2 0
2 0
L L R
R
R dt OT
OT d dt
d
(2) :
( )
( )
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
⎟⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛ +
+
−
⎟⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛ −
+ +
⎟⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛ +
= Ω ∧
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
→
−
→
L
R
L R L
L
R dt OT
d
θ θ ψ θ ψ ϕ
θ θ ψ θ ψ ϕ ϕ
θ
θ θ ψ θ ψ ϕ
cos sin
sin
sin cos
sin cos
cos sin
cos
2 0
2 0
⎪⎩
⎪⎨
⎧ +
∧
⎪⎪
⎩
⎪⎪⎨
⎧
∧
⎪⎪
⎩
⎪⎪⎨
⎧
⎟⎟=
⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛Ω ∧
∧ Ω
•
•
•
•
•
•
→
→ −
→
ϕ ϕ θ
ψ θ ψ
θ θ
ψ θ ψ
θ
cos 0
sin
cos sin cos
sin
2 2
2 0
2 0 2
L L R
R
R
R OT
( )
( )
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
+
−
+ +
−
∧
⎪⎪
⎩
⎪⎪⎨
⎧
⎟⎟=
⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛Ω ∧
∧ Ω
•
•
•
•
•
•
•
→
→ −
→
L
R
L R L
L
R
R OT
ϕ θ
ψ
ϕ θ
ψ ϕ θ
θ ϕ ψ θ
ψ θ ψ
θ
sin sin
sin cos
cos sin cos
cos sin
2 2 0
2 0 2
(3) :
( )
( )
( )
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
− +
+
−
+ +
+ +
−
⎟⎟=
⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛Ω ∧
∧ Ω
• •
• •
• •
•
•
• •
→
→ −
→
L
L R L
L
L R
L
L R
R OT
θ ϕ ψ ϕ θ
θ ψ ϕ θ
θ θ ϕ ψ ϕ θ
θ ψ
θ ϕ θ ψ ϕ ψ
2 2
2
2 2
2 0
2 0 2
sin cos sin
cos cos
sin cos cos sin
sin
cos cos sin
⎟⎟⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛Ω ∧
= → →
→
) ( 2
)
(T 02 V2 T
γc
(4) :
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
− +
−
=
⎪⎪
⎩
⎪⎪⎨
⎧
−
∧
⎪⎪
⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
→
L L
L
R L
L
R
R T
c
ϕ θ ϕ ψ
ϕ θ ϕ ψ ϕ
θ ϕ
ϕ θ ϕ ψ ϕ
ϕ ϕ ϕ θ
ψ θ ψ
θ γ
cos sin 2
cos cos 2
sin 2
sin sin 2
sin 0 cos
cos sin 2
) (
2 2 2
La somme de ces expressions donne l’accélération absolue du point T →0 (T)=
γ (1) +(2) +(3) + (4)
