Année 20003-2004
RATTRAPAGE : Mécanique Rationnelle Durée : 02 heures Exercice 01 : (7 points)
Exercice 02 : (13 points)
Soit le système constitué, des trois solides suivants : (S0) : un axe fixe vertical ;
(S1) : un cadre de forme carrée, constitué de barres rigides soudées, dont l’une est suivant la diagonale OB;
(S2) : un disque homogène de centre G de masse M, de rayon R, situé au milieu de la diagonale et pouvant tourner autour d’elle.
Liaisons (S1)/ (S0) : sphérique au point O et cylindrique au point C Liaison (S2) / (diagonale du cadre) : cylindrique au point G Le système est en mouvement tel que :
0 1
(OX OX, )
ψ = −−→ −−→ décrit la rotation de (S1) par rapport à (S0) ;
2 3
(GY GY, )
ϕ= −−→ −−→ décrit la rotation de (S2) par rapport à la diagonale du cadre
2 OG a X
−−→ →
= avec a = Cte On définit les repères suivants :
0 ( , 0, 0, 0)
R O X Y Z
→ → →
= repère fixe lié à (S0) ;
1 ( , 1, ,1 1) R O X Y Z
→ → →
= repère lié à (S1) ;
2 ( , 2, 2, 2)
R O X Y Z
→ → →
= repère lié à la diagonale du cadre ; Une plaque triangulaire, homogène, de poids P, est maintenue en équilibre statique dans la position horizontale, par une corde inextensible CD, de masse négligeable, comme indiqué sur la figure 01.
- Déterminer la tension dans la corde et les réactions aux points A et B sachant que la liaison en A est sphérique et en B cylindrique.
On donne: AB = AC = AD = a,
Le centre de masse de la plaque est le point G de coordonnées ( a/3, 0 , a/3)
D
A B y
x
z C
Figure 01 :
On choisit R comme repère de projection. 1 Déterminer :
1. Le tenseur d’inertie du disque en son centre G dans la base (X Y Z2, 2, 2)
→ → →
; 2. Le tenseur d’inertie du disque en son centre G dans la base (X Y Z1, ,1 1)
→ → →
; 3. La vitesse instantanée de rotation du disque ;
4. La vitesse du point G par rapport au repère R0 par dérivation ;
5. La vitesse du point P du disque par rapport au repère R0 par la cinématique du solide ; 6. L’accélération du point G par composition de mouvement avecR1 comme repère relatif ; 7. Le moment cinétique du disque par rapport au point O ;
8. L’énergie cinétique du disque.
→
Z 2
→
→ 1 0 ,Z Z
→
X 1
→
X0
O C
B
A G
ψ
→
→ 2 1 ,Y Y
→
X 2
→
Y0
P
→
Z 2
G
→
Z3
→
Y 2
→
Y3
ϕ ϕ
SOLUTION :
Exercice N°1 :
∑
→ =→i
Fi 0 ⇒
→
→
→
→
→ +R +T+P= 0
RA B ⇔
∑
−→ =→i A
Mi 0
/ ⇒
→
→
→
−
→
→
−
→
→
− ∧R + AC∧T+AG∧P=0 AB B
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
⎟=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−
⎟∧
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
⎟+
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−
⎟∧
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
⎟+
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
⎟∧
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
0 0 0
0 0
3 / 0 3 /
2 / 2
2 / 2 0 0
0 0
0
0 P
a a
T T a
R R a
Bz By
3 0 2
2 + =
− aP
aT (4) ⇒
3 P 2 T =
=0
−aRBz (5) ⇒ RBz =0 3 =0
−aP
aRBy (6) ⇒
3 RBy = P (3) ⇒
3 2
2 3
2 P
P
RAz = =
(2) ⇒
3 3 2
2 3
2 2
2 P P
P P R T
P
RAy = − − By = − − =
(1) ⇒ RAx =0
2 2
2
2 + + =
= 2 2 2 P
= + +
= Nous avons : AB =AC =AD = a
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
3 / 0 3 /
a a G ;
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
0 0 0 A ;
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
0 0 a B ;
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
a C 0 0
; ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
0 0 a D
→
→ =−P j
P et
→
→=TuCD
T avec
) 2 (
2
2 2
→ → → → →
→ = −
+
= −
= j k
a a
k a j a CD uCD CD
2 ) 2 2
2→ →
→=T j−T k T
En A liaison sphérique : RAx , RAy, RAz En B liaison cylindrique : RBx =0 , RBy , RBz La plaque est en équilibre statique :
∑
→ =→i
Fi 0 et
∑
−→ =→i A
Mi 0
/ RAx =0 (1) 2 0
2 − =
+
+R T P
RAy By (2) 2 0
2 =
− +R T
RAz Bz (3)
→
T
D
A B y
x
z C
Figure 01 :
→
P G
Exercice N°02 : (13 pts)
1) Tenseur d’inertie du disque en G dans le repère R2
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
= =
4 / 0
0
0 4 / 0
0 0
2 /
2 2
2
2 / 2
MR MR
MR
R IG R
2) Tenseur d’inertie du disque en G dans le repère R1 Les moments d’inertie sont donnés par :
→
→ =
= 1 / 2 1 1
1 X I X
I T G R
X
X or nous avons :
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−
→ =
2 / 1
0 2 / 1
2 1
R
X d’où :
8
3 2
1 1
IX X = MR
→
→ =
= 1 / 2 1 1
1 Y I Y
I T G R Y
Y or nous avons :
⎪⎩
⎪⎨
⎧
→=
0 1 0
2 1
R
Y d’où :
4
2
1 1
IYY = MR
→
→ =
= 1 / 2 1 1
1 Z I Z
I T G R
Z
Z or nous avons :
⎪⎩
⎪⎨
⎧
→=
2 / 1
0 2 / 1
2 1
R
Z d’où :
8
3 2
1 1
IZZ = MR
Les produits d’inertie sont donnés par :
→
→ =
−
= 1 / 2 1 1
1 X I Z
I T G R
Z
X ⇒
2 8 / 1
0 2 / 1 4 / 0
0
0 4 / 0
0 0
2 / )
2 , 1 0 , 2 ( 1
2
2 2
2
1 1
MR MR
MR MR
IXZ =−
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
=
1 0
1 / 2
1
1 =−X→ I= Y→ =
I T G R
Y X
1 0
1 / 2
1
1 =−Y→ I= Z→ =
I T G R
Z
Y d’où :
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
= =
8 / 3 0 8
/
0 4
/ 0
8 / 0
8 / 3
2 2
2
2 2
1 / 1
MR MR
MR
MR MR
R IG R
3) La vitesse instantanée de rotation du disque
→
•
→
→ •
→
→
→ =Ω +Ω +Ω =− +
Ω 30 32 12 10 ϕ X2 ψ Z1 car
→ →
=
Ω 0
1 2
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
−
−
⎟⎟ =
⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −
−
=
⎟⎟+
⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +
−
= Ω
•
•
•
→
•
•
→
•
→
•
→
→
→ •
2 2 0
2 2 2
2 2
2 2
2 2
2
1 1 1
1 1
1
0 3
ϕ ψ
ϕ ϕ
ψ ϕ
ψ ϕ
R Z X
Z Z
X
4) La vitesse du point G par rapport à R0 et exprimé dans R1
Nous avons : ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +
=
= → → →
→
−
−
1 1
2 2
2 2
2 X Z
a X a
OG alors :
→ →
−−
=0
1
dt OG d
→
•
•
•
→
−
→ −
→
−
−
→
−
→ −
⎪ =
⎩
⎪⎨
⎧
⎪ =
⎩
⎪⎨
⎧
⎪ ∧
⎩
⎪⎨
⎧
=
∧ Ω +
=
= 1
1 1 0
1 1
0 0
2 2 0
2 / 2 0
2 / 2 0
2 / 2 0
0 )
( a a Y
a a
R R dt OG
OG d dt
OG G d
V ψ ψ
ψ
5) La vitesse du point P par rapport à R0 et exprimé dansR1 par la cinématique du solide
→
→ −−
→
→ P =V G +Ω ∧GP
V0( ) 0( ) 03 or nous avons :
⎪⎩
⎪⎨
⎧−
=
= →
→
−
−
/2 2 cos
sin
2 / 2 cos
3
ϕ ϕ
ϕ R
R R Z
R GP
⎪⎩
⎪⎨
⎧−
∧
⎪⎪
⎩
⎪⎪⎨
⎧
−
−
⎪ +
⎩
⎪⎨
⎧
= • •
•
→ •
/2 2 cos
sin
2 / 2 cos
2 / 2 0
2 / 2
0 2 / 2 0 )
(
1 1 1
0
ϕ ϕ
ϕ ϕ
ψ ϕ ψ
R R
R
R R a
R P V
2 / 2 sin
cos 2
/ 2 cos 2
/ 2
sin
2 / 2 )
(
1 0
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
−
+
−
⎟⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛ −
=
•
•
•
•
•
•
→
ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ
ψ ψ
ϕ ψ
ϕ
R
R R
a
R
R P V
6) L’accélération absolue du point G et exprimé dans R1 par composition de mouvement
) ( )
( ) ( )
0(
G G
G
G r ent coriolis
→
→
→ →
+ +
=γ γ γ
γ
on a : Nous avons : ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +
=
= → → →
→
−
−
1 1
2 2
2 2
2 X Z
a X a
OG ⇒
→ →
−−
=0
1
dt OG
d
→
→ →
=
= ( ) 0 )
1(
G V G
V r
alors :
→
→ →
=
= ( ) 0 )
1(
G G γr γ
⎟⎟⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛Ω ∧
∧ Ω + Ω ∧
+
= −−→ → → −−→
→ →
→
OG dt OG
O d
ent G
0 1 0 1 0
1 1 0( ) )
( γ
γ
⎪⎪
⎪⎪
⎨
⎧−
⎪ =
⎩
⎪⎨
⎧
⎪ ∧
⎩
⎪⎨
⎧
⎪ ∧
⎩
⎪⎨
⎧
⎪ +
⎩
⎪⎨
⎧
⎪ ∧
⎩
⎪⎨
⎧
= ••
•
•
•
•
•
→
0 2 / 2
2 / 2 2
/ 2 0
2 / 2 0
0 0
0 2 / 2 0
2 / 2 0
0 ) (
2
ψ ψ ψ
ψ ψ
γ a
a
a a
R R a R
a
R R
ent G
=
∧ Ω
=2 ( ) 0
)
(G 10 Vr G
coriolis
γ
L’accélération du point G est égale à l’accélération d’entraînement.
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧−
=
= ••
•
→ →
0 2 / 2
2 / 2 )
( )
(
2
1
0 ψ
ψ γ
γ a
a
R G G ent
7) Le moment cinétique du disque au point O exprimé dans R1
0 / 3
0 /
0 1 ( ) 1
= →
→ →
−−
→R =OG∧MV G +IG R Ω σ
⎪⎪
⎩
⎪⎪⎨
⎧
−
−
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
⎪ +
⎩
⎪⎨
⎧
⎪ ∧
⎩
⎪⎨
⎧
= • •
•
•
→
2 / 2 0
2 / 2 8
/ 3 0 8
/
0 4
/ 0
8 / 0
8 / 3 0
2 / 2 0 2
/ 2 0
2 / 2
1 2 2
2
2 2
1 1 1
/ 0 1
ϕ ψ
ϕ ψ
σ
R MR MR
MR
MR MR
R a
R M a
a
R
R
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
+
−
+
−
−
= • • •
•
•
•
→
ψ ϕ
ψ
ψ ϕ
ψ σ
8 2 3 4
4
0
2 8 4
4
2 2
2
2 2
2
/ 0 1
MR MR
Ma
MR MR
Ma
R
8) L’énergie cinétique du disque
0 3
0 3 2
0
2 ) 1 2 (
1 →
•
=
•
→
→ ⎟⎟⎠ + Ω Ω
⎜⎜ ⎞
⎝
= ⎛ G
C M V G I
E avec
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧− +
= Ω
•
•
•
→
2 2 0
2 2
2 0 3
ψ ψ ϕ
R
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧− +
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛− −
⎟⎟ +
⎠
⎞
⎜⎜⎝
= ⎛
•
•
•
•
•
•
•
2 2
0 2
2
4 2 0
0
4 0 0
0 2 0
2 / 2 0, , 2 / 2 2
2 2
1
2 2
2
2 2
ψ ψ ϕ ψ
ψ ϕ ψ
R MR MR
MR
R a
M EC
2
4 1 4
1 16
3 4
1 2 •2 2 •2 2 •2 2 • •
− +
+
= Ma ψ MR ψ Ra ϕ Ra ϕψ
EC
