Recueil d’examens de Mécanique rationnelle de 1999 à 2009 :A.KADI ; A.HADI
Année 20003-2004
EMD2 : Mécanique Rationnelle Durée : 1h 30 mn
Exercice 01 : (06 points)
Figure 01 :
Exercice 02 : (14 points)
Un système de ventilation automatisé est composé de deux barres identiques et homogènes, soudées entre elles au point A et d’une hélice de rayon R et de masse M.
(S1) : Barre : OA = L de masse m ; (S2) : Barre : AB = L de masse m ;
(S3) : Hélice : BM = BN = R de masse M .
Le système est en mouvement comme le montre la figure (2).
Le tenseur d’inertie en B de l’hélice dans le repère R2 est donné par :
2 2
3
0 0
0 0
0 0 )
(
A R B A S R
IB
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=
Le repère 1( , 1, 1, 1)
→
→
→
z y x O
R est en rotation par rapport à R0 autour de l’axe
→
→
→0 ≡ z1 ≡z2
z sens positif Le repère 2( , 2, 2, 2)
→
→
→
z y x A
R de centre A est tel que
→
→ 2 1//y y Le repère 3( , 3, 3, 3)
→
→
→
z y x B
R est en rotation par rapport à R2 autour de l’axe
→
→2 ≡ y3
y sens négatif.
R2 : est le repère de projection
On considère que : ψ• =Cte et ϕ• =Cte
Soit le solide homogène suivant formé d’un cône plein de masse M de hauteur h et de rayon R et d’une demi sphère pleine de masse m de même rayon R , soudés entre eux comme indiqué sur la figure 01.
1) Déterminer le tenseur d’inertie du solide au point O ; dans le repère ( , , , )
→
→
→
z y x O R On donne :
→
→
−− = R z AG 8
3
→
y
→
z
→
x
R
h
G A
Recueil d’examens de Mécanique rationnelle de 1999 à 2009 :A.KADI ; A.HADI
Déterminer :
1) Le centre d’inertie du système dans le repère R2 ;
2) Le tenseur d’inertie du système au point A dans le repère R2 ; 3) La matrice de passage de R0 vers R1 et de R3 vers R2 ;
4) La vitesse de rotation instantanée du repère R3 par rapport à R0 ; 5) La vitesse et l’accélération absolues du point B par dérivation ;
6) La vitesse et l’accélération absolues du point M par la cinématique du solide ;
7) La vitesse et l’accélération absolues du point N par composition de mouvement, R2 étant le repère relatif ;
8) Le moment cinétique du solide S3 au point A dans le repère R2; 9) Le moment dynamique du solide S3 au point A dans le repère R2; 10) L’énergie cinétique du système
(S3)
(S2)
(S1)
B
N → →
≡ 3
2 y
y
O ψ
ψ
→
y0
→
y1
→
x1
→
→
→0 ≡ z1 = z2 z
→
x0
M L
A
L
N
B
ϕ ϕ
→
z3
→
x2
→
z2
→
x3
M
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SOLUTION :
Exercice N°01 :
Moment d’inertie du système au point O : IO(syst)=IO(S1)+IO(S2) Cône : (S1) ; Demi sphère : (S2)
1) Cône : Deux plans de symétrie (xoz) et (yoz) ⇒ Ixy =Ixz =Iyz =0 Les axes ox et oy jouent le même rôle : Ixx =Iyy
Nous avons : x2 + y2 =r2 et l’élément de volume est égal à : dm= ρdv=ρ2πrdrdz Dans les triangles OAB et OCD , nous avons
OA OC AB
CD = ⇔ h z R
r = ⇒ z
h r = R h z
r< R
<
0 et 0<z<h
.10 4 2
2 )
( 2 .
2 . )
(
2 2 0
4 4 4
0
0 3 2
2 2
1 1
h R R dz
h z dz R
dr r dz
rdr r
dm y x I
h
h z
h R
S S
zz =
∫
+ =∫
ρ π = ρ π∫ ∫
= ρ π∫
=ρ πor nous avons la masse d’un cône est donnée par : m R2h 3
1ρπ
= alors ρπR2h=3m
d’où : 2
10 3 mR Izz =
Nous pouvons aussi écrire :
2
) (
) (
) (
2
1 1
1 1
2 2
2 2
2 2
2
∫ ∫
∫
+ +∫
+ = + += +
=
S S
S S
yy xx
xx I I y z dm x z dm x y dm z dm
I
∫
+
=
1
2 2
2
S zz
xx I z dm
I ⇒ I z dm mR z rdrdz
I
S S
zz
xx 2 .
20 3
2 1 1
2 2
2
∫
ρ π∫
= ++
=
5 20
3 20
) 3 (
20 2
3 5
2 2 2
0 4 2 2 2
0
0
2 h
h mR R
dz h z
mR R dz
rdr mR
I
h
h z
h R
xx = +ρ π
∫ ∫
= +ρπ∫
= +ρπ4 ) 5( 3 5
3 20
3 . 5
20
3 2
2 2
2 2
2
2 mR mh
mh h mR
h R mR
Ixx = +ρπ = + = +
→
y
→
z
→
x
G R A
dz rdr
dv=2π dz
A R B
o
r D C
z h
A
dr d r d r
dv= θ cosϕ ϕ
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⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
+ +
=
22 2
2 2
2
1 0
10 0 3
0
5 0 3 20
0 3
0 5 0
3 20
3 ) (
mR mh
mR mh
mR S
I
2) Demi sphère pleine : Deux plans de symétrie (xAz) et (yAz) ⇒ Ixy =Ixz =Iyz =0
C’est la moitié d’une sphère de centre A. dans une symétrie sphérique nous avons Ixx =Iyy =Izz Avec : x2 +y2 +z2 =r2 et l’élément de volume est égal à : dm= ρdv= ρrdθrcosϕdϕdr Nous avons alors :
∫
+ +∫
+ +∫
+ =∫
+ += + +
=
1 1 1 1
) (
2 )
( )
( )
(
3 2 2 2 2 2 2 2 2 2
S S S S
zz yy xx
xx I I I y z dm x z dm x y dm x y z dm
I
. 5 4 1 . 5 2 2 cos
2 cos
2 3
2 3 2 5
/
0 2
0 0
4 2
1
R R d R
r d dr r dr
d r rd r I
R
S
xx =
∫
ρ θ ϕ ϕ = ρ∫ ∫
π θ π∫
ϕ ϕ = ρ π = πcomme la masse de la demi sphère est égale à : 3 3 2 R M = ρ π
2 2
3
5 2 5 .2 3
2 R MR
R
Ixx =ρ π = , nous avons donc le tenseur d’inertie de la demi-sphère au point A :
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=
A A A
MR MR
MR S
IA
0 0
0 0
0 0 5
/ 2 0
0
0 5
/ 2 0
0 0
5 / 2 ) (
2 2
2
2
Pour déterminer le tenseur d’inertie au point O nous devons passer la le centre d’inertie en utilisant le théorème de Huygens deux fois : on passe de A vers G puis de G vers O.
[ ]
23
3) ( )
(S I S Md
IA = G + ⇒ IG(S3)=IA(S3)−
[ ]
Md2 avec : G ayant pour coordonnées )8 ,3 0 , 0
( R
dans le repère R(Ax,y,z)
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
=
A R
M A R
M A S
IG
0 0
0 ) 8 / 3 ( 0
0 0
) 8 / 3 ( )
( 2
2
2
Par la suite :
[
2]
3
3) ( ) '
(S I S Md
IO = G + , avec : G ayant pour coordonnées )
8 ,3 0 , 0
( R h
+ dans le repère R(Ox,y,z)
( )
( )
⎥⎥⎤
⎢⎢
⎡
+ +
− +
+
−
= A M R M R h
h R M R
M A S
IO 0 (3 /8) 3 /8 0
0 0
8 / 3 )
8 / 3 ( )
( 2 2
2 2
2
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Exercice 02 :
1) Centre d’inertie du système :
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−
→=
−
−
2 / 0 0
2 1
R L
AG ;
⎪⎩
⎪⎨
⎧
→ =
−
−
0 2 / 0
2
2 L
R
AG ;
⎪⎩
⎪⎨
⎧
→=
−
−
0 0
2
3 L
R
AG
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
+
− +
= +
→
−
−
M m
mL M m
L M L
m
R AG
2 2 / 2
. ) 2 / .(
0
2
2) Tenseur d’inertie du système:
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=
0 0 0
0 3 / 0
0 0 3 / )
( 2
2
1 mL
mL S
IA et
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=
3 / 0
0
0 0 0
0 0 3 / )
(
2 2
2
mL mL
S IA
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=
A B A S
IB
0 0
0 0
0 0 )
( 3 ; Huygens ⇒
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
+ +
=
2 2
3
0 0
0 0
0 0
) (
ML A B ML A S
IA
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
+ + +
+ +
=
3 / 0
0
0 3
/ 0
0 0
3 / 2 )
(
2 2 2
2 2
mL ML A mL
B mL
ML A Système IA
3) Matrices de passage :
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡ −
→ =
1 0 0
0 cos sin
0 sin cos
1
0 ψ ψ
ψ ψ
R
PR et
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
→ =
ϕ ϕ
ϕ ϕ
cos 0 sin
0 1 0
sin 0 cos
2
3 R
PR
4) Vitesse de rotation instantanée du repère R3 par rapport au repère R0
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−
= + +
−
= Ω + Ω + Ω
= Ω
•
•
→
•
→
→
→ •
→
→
→
ψ ϕ ψ
ϕ
0 0
2 2 2
0 1 1 2 2 3 0 3
R z y
5) V0(B)
→
et 0(B)
γ→ par dérivation
⎪⎩
⎪⎨
⎧
= +
= +
=−−→ −−→ → →
→
−
−
L L y L z L AB OA OB
0
2
2 ;
⎪⎪
⎩
⎪⎪⎨
⎧−
⎪ =
⎩
⎪⎨
⎧
⎪ ∧
⎩
⎪⎨
⎧
=
∧ Ω +
=
=
•
•
→
−
→ −
→
−
−
→
−
→ −
0 0 0
0 0 )
(
2 2
2 0
2 2
0 0
ψ ψ
L
R L L R R
dt OB OB d dt
OB B d
V ; avec
→ →
−−
=0
2
dt OB d
Recueil d’examens de Mécanique rationnelle de 1999 à 2009 :A.KADI ; A.HADI
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−
=
⎪⎪
⎩
⎪⎪⎨
⎧−
⎪ ∧
⎩
⎪⎨
⎧
=
∧ Ω +
=
= •
•
•
→
→ →
→ →
0 0
0 0 0
0 )
) ( ( )
) (
( 2
2 2 2
0 0 2
0 2
0 0
0 ψ
ψ ψ
γ L
R L
R R B dt V
B V d dt
B V
B d ; avec
→
→
=0 ) (
0 2
dt B V d
6) V0(M)
→
et 0(M)
γ→ par la cinématique du solide
→
→ −−
→
→ M =V B +Ω ∧BM
V0( ) 0( ) 03 avec :
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎪ =
⎩
⎪⎨
⎧
→=
−
−
ϕ ϕ sin
0 cos
0 0
2 3
R R
R R
R
BM
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧− −
⎪ =
⎩
⎪⎨
⎧
⎪ ∧
⎩
⎪⎨
⎧
− +
⎪⎪
⎩
⎪⎪⎨
⎧−
=
•
•
•
•
•
•
•
→
ϕ ϕ
ϕ ψ
ϕ ϕ ψ ϕ
ϕ ψ
ϕ ψ
cos cos
sin
sin 0 cos 0
0 0 )
(
2 2 2
2 0
R R
R L
R R
R
R R L
R B V
) (
) ( )
( 03 03
0 3 0 0
0 −−→ → → −−→
→ →
→ Ω ∧ +Ω ∧ Ω ∧
+
= BM BM
dt B d
M γ
γ )
0( B
γ→ : déjà calculée
⎪⎪
⎩
⎪⎪⎨
⎧
⎪ =
⎩
⎪⎨
⎧
−
⎪ ∧
⎩
⎪⎨
⎧
= Ω
∧ Ω Ω + Ω =
•
•
•
•
•
→
→ →
→
0 0 0
0 0
2 2 2
0 3 0 2 0 3 2 0 3
0 ψϕ
ψ ϕ ψ
R R R
dt d dt
d avec
→
→
Ω = 0
0 3 2
dt
d (
•
• ϕ
ψ et sont constantes)
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−
⎪ =
⎩
⎪⎨
⎧
∧
⎪⎪
⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
Ω ∧ • •
•
•
→
−
−
→
0 sin 0
sin 0 cos
0 0
2 2
2 0
3
0 ψϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ
ψ
R R R
R
R R dt BM
d
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧−
⎪ ∧
⎩
⎪⎨
⎧
−
⎪ =
⎩
⎪⎨
⎧
⎪ ∧
⎩
⎪⎨
⎧
−
⎪ ∧
⎩
⎪⎨
⎧
−
=
∧ Ω
∧ Ω
•
•
•
•
•
•
•
•
•
→
−
→ −
→
ϕ ϕ
ϕ ψ
ϕ ϕ ψ
ϕ ϕ
ϕ ψ
ϕ ψ
ϕ
cos cos 0 sin
sin 0 cos 0
0 )
(
2 2 2
2 2
0 3 0 3
R R R
R R R
R
R R R
BM
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
−
−
−
−
=
∧ Ω
∧ Ω
•
•
•
•
•
→
−
→ −
→
ϕ ϕ
ϕ ϕ ψ
ϕ ψ
ϕ ϕ
sin sin
cos cos
) (
2 2 2
2 0
3 0 3
R R
R R
R BM
d’où :
⎪⎪
⎪⎪
⎨
⎧
−
−
−
−
−
=
•
•
• •
•
•
→
sin
sin 2
cos cos
) (
2 2
2 2
0
ϕ ϕ
ϕ ϕ ψ ψ
ϕ ψ ϕ ϕ γ
R
R L
R R
M
Recueil d’examens de Mécanique rationnelle de 1999 à 2009 :A.KADI ; A.HADI
7) V0(N)
→
et 0(N)
γ→ par composition de mouvement
) ( ) ( )
( 2 20
0 N V N V N
V
→
→
→ = + , avec
⎪⎩
⎪⎨
⎧−
= +
= +
=−−→ −−→ → →
→
−
−
ϕ ϕ cos
sin
3 2
R L R z
R y L BN AB AN
sin 0
cos )
(
2 2
2
⎪⎪
⎩
⎪⎪⎨
⎧
−
−
=
= •
•
→
−
→ −
ϕ ϕ
ϕ ϕ R R
R dt
AN N d
V
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
−
−
⎪ =
⎩
⎪⎨
⎧−
⎪ ∧
⎩
⎪⎨
⎧
=
∧ Ω +
= •
•
•
→
−
→ −
→
→
0 cos cos
sin 0
0 )
( ) (
2 2
2 0
2 0
0
2 ψ ϕ
ψ ϕ
ϕ ψ
R L
R R
L R
R R
AN A
V N V
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
−
−
−
−
=
•
•
•
•
→
sin
cos
cos )
(
2 0
ϕ ϕ
ϕ ψ
ϕ ϕ ψ
R R
R L
R N V
) ( ) ( ) ( )
( 2 20
0 N N N c N
→ →
→
→ =γ +γ +γ
γ
cos 0 ) sin
) ( (
2 2
2 2
2 2
⎪⎪
⎩
⎪⎪⎨
⎧
−
=
= •
•
→ →
ϕ ϕ
ϕ ϕ γ
R R
R dt
N V N d
⎪⎩
⎪⎨
⎧−
⎪ ∧
⎩
⎪⎨
⎧
⎪ ∧
⎩
⎪⎨
⎧
=
∧ Ω
∧ Ω + Ω ∧
+
= • •
→
−
→ −
→ →
−
−
→ →
→
ϕ ϕ ψ
ψ γ
γ
cos sin 0
0 0
0 )
( )
( ) (
2 2
2 0
2 0 2 0
2 0 0
0 2
R L R
R R
R AN dt AN
A d N
0
sin )
( 2
2
2 0
2
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
−
= •
•
→ ψ
ϕ ψ
γ L
R
R N
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−
=
⎪⎪
⎩
⎪⎪⎨
⎧
−
−
⎪ ∧
⎩
⎪⎨
⎧
=
∧ Ω
= • •
•
•
•
→
→ →
0 cos 2
0
sin 0
cos 0
0 2 ) ( 2
) (
2 2
2 2
0
2 ϕψ ϕ
ϕ ϕ
ϕ ϕ ψ
γ R
R R R
R R N V
c N
Recueil d’examens de Mécanique rationnelle de 1999 à 2009 :A.KADI ; A.HADI
cos
cos 2
sin sin
) (
2 2
2 2
2 0
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
−
−
−
+
=
•
•
• •
•
•
→
ϕ ϕ
ϕ ψ ϕ ψ
ϕ ψ ϕ ϕ γ
R R L
R R
R N
8) Moment cinétique du solide (S3) au point A
) ( )
( )
( )
( 0 0 03 0
0 A B AB MV B IB AB MV B
→ →
→ −−
→ →
→ −−
→ =σ + ∧ = Ω + ∧
σ
→
•
→
•
•
•
→ •
+ +
−
=
⎟⎟
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎝
⎛ −
⎟ ∧
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛ +
⎟⎟
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎝
⎛
−
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
= 2 2 2
2 2 2
2
0 ( )
0 0 0
0
0
0 0
0 0
0 0 )
( B y A ML z
R L M R L R A R
B A
A ϕ ψ
ψ ψ
ϕ σ
9) Moment dynamique du solide (S3) au point A
) ( )
) ( ) (
( 0 0
0 0
0 V A MV B
dt A A d
→
→ →
→ = σ + ∧
δ or
→ →
=0 )
0( A
V alors :
) ) (
( )
) (
( 02 0
0 2 0
0
0 A
dt A d
dt A A d
→
→ →
→ →
∧ Ω +
=
= σ σ σ
δ avec
→
→
= 0 )
0(
2
dt A d σ
car
•
• ϕ
ψ, : sont constantes
→
•
•
•
•
•
→ =
⎟⎟
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎝
⎛ +
−
⎟ ∧
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
= 2
2 2 2
0
) (
0
0 0 )
( B x
ML R A
B R
A ψϕ
ψ ϕ ψ
δ
10) Energie cinétique du système au point A
solide (S1) : Ec1 =0 ;
→ →
=0 ) ( 1
0 G
V et Izz =0 dans R2
solide (S2) :
6 3
2 0 1 0 3 / 0
0
0 0 0
0 0 3 / ) , 0 , 0 2( 1 2
1 2 2 2 2
2 2
0 2 0 2 2
•
•
•
→ •
→ = =
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
= Ω Ω
= ψ ψ
ψ
ψ mL mL
mL mL
I
Ec A
solide (S3) :
⎟⎟
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎝
⎛
−
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
⎟ +
⎠
⎜ ⎞
⎝
= ⎛ Ω Ω
⎟⎟ +
⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
= ⎛
•
•
•
•
→ •
→
→
ψ ϕ ψ
ϕ ψ
0 0
0
0 0
0 0 ) , , 0 2( 1 2
1 2
) 1 2 (
1 0 2
3 0 3 2
0 3
A B A L
M I
B V M
Ec B
•
•
• + +
= 2 2 2 2
3 2
1 2
1 2
1ML ψ Bϕ Aψ
Ec
Energie cinétique du système : Ec = Ec1 + Ec2 +Ec3
•
•
⎞ •
⎛ 2
