Année 2002-2003
EMD 01 : Mécanique rationnelle Durée : 01h30mn
Exercice 01 : ( 06 points )
On considère, dans un repère orthonormé ( , , , )
→
→
→
k j i
O , un système de deux forces (
→
F1,
→
F2) , avec )
( 200 100 200
2
1 F N
F ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
=
−
= →
→
, appliquées aux points A1(−5,0,6) (m) et A2(−7,1,8) (m)
respectivement. Calculer :
1) Le moment du système de forces par rapport au point O.
2) Le moment du système de forces par rapport au pointA . 1 3) Les torseurs des forces au points A1et O. Conclure.
4) Le module du moment du couple.
5) La distance séparant les droites d’action des deux forces.
Exercice 02 : ( 06 points)
1) En utilisant le théorème de Guldin calculer la surface de révolution d’un cône de hauteur b et de rayon de base a.
2) Déterminer le centre d’inertie du système ci-dessous par le théorème de Guldin.
y
a b
O x R
Exercice03 : (08 points)
Un arbre de machine, ayant une partie coudée (DF) en forme de U servant à actionner un piston, est disposé horizontalement. Il est lié en A par une articulation sphérique et au point B par une articulation cylindrique. L’arbre est muni de deux roues, l’une de centre C et de rayon R , est soumise à sa périphérie au point E dans le plan (xAy) à trois forces : une charge P verticale, une force horizontale 0,2 P selon l’axe X et 0,4 P selon l’axe Y. Au point F, extrémité du coude est appliquée une force Q = 3 P dans le plan XOZ et faisant un angle de 30° avec l’axe X . L’autre roue de rayon r et de centre G est soumise à un moment inconnu M qui équilibre le système et agissant dans le sens indiqué sur la figure.
1) Etablir les équations scalaires d’équilibres
2) Déterminer, en fonction de P et a , les réactions aux appuis ainsi que le moment M
Remarque : les masses des deux roues et de l’arbre sont négligeables.
30°
0,4P P A
F
B z
a
a
a
a
y
DF=a
x C
M
D
G Q=3P
0,2P
Solution :
Exercice 01 : (06 pts) 1)
) . ( 400 800
0 200
100 200 2
1 2
) ( )
(
1 1 2
1 2 1 1 2 2 1 1 /
2 /
1
/
m N F
A A
F OA F OA F OA F OA F
M F
M
M O O O
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−
⎟=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
⎟∧
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
=
∧
=
∧
−
∧
=
∧ +
∧
= +
=
→
→
−
−
→
→
−
→
→
−
→
→
−
→
→
−
→
→
−
→
→
−
→
−
M O 800 j 400k N.m
/
→
→
→
− = −
2)
→
→
−
→
→
−
→
→
−
→
→
−
→
→
−
→
→
−
→
− / 1 =M(F1)/ 1+M(F2)/ 2 = A1A1∧F1+A1A2∧F2 =−A1A2∧F1 = A2A1∧F1
M A A A
M A 800 j 400k N.m
1 /
→
→
→
− = −
3) Torseurs des forces aux points A1 et O
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−
= +
=
=
−
= +
= =
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
→
→
→
→
−
→
→
−
→
−
→
→
→
→
→
→ →
m N k j
F M F
M M
N F
F F F T R
A A
A A ( ) ( ) 800 400 .
0
2 / 2 1
/ 1
1 /
1 1 2 1 1
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−
= +
=
=
−
= +
= =
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
→
→
→
→
−
→
→
−
→
−
→
→
→
→
→
→ →
m N k j
F M F
M M
N F
F F F T R
O O
O O ( ) ( ) 800 400 .
0
/ 2 /
1
/
1 1 2 1
1 A O
T T ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
⎥⎦ =
⎢⎣ ⎤
⎡→ →
; le torseur d’un couple de force est indépendant du repère dans lequel on le mesure.
4) Module du moment couple en A1 et O
m N M
MA1 = O = (800)2 +(400)2 =400 22+12 =400 5 . 5) Composantes de
→
−−
2 1A
A sur la droite portant
→
F 1
3 1 200 100 200 2
1 2 . 200 100
200 1
2 2
2 1
1 2 1 1
3 =
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
⎟•
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
− + −
= +
•
=
→ →
−−
−
F A F A A A
°
=
⇒ + =
= +
= 6,38
9 1 3
/
sinα 3 1 1 α
A A
A A
La distance séparant les lignes d’action des deux forces est égale à : A2A3 m
A A A
A2 3 = 2 1 cosα =3cos(6,38°)=2,98
Exercice 02 : (06 pts)
1) Le centre d’inertie de la droite AB est en son milieu C(b/2 , a/2) . Le segment AB est en rotation autour de l’axe y décrira une surface conique de hauteur b et de rayon a . Application du premier théorème de Guldin : . 2 2
.2 2 2.
.
2 a a b
a AB
S = π = π +
2) Centre d’inertie du système
) (
3 4 2 )
.( 2 2
3 . 4 3. 1 2 ) .( 2
. 2
2 2
3 2
2 3 2
2 /
R ab
R b a R
ab R b a R
ab V V S
x V cone sphère
tot y tot
G π π π
π π
π π
π −
= −
−
−
=
−
= −
=
) (
3 3 2 )
.( 2 2
. 2 . 2 . 3. 1 2 ) .( 2
. 2
2 2
3 2
2 2 2
2 /
R ab
R a b R
ab R R a
b R
ab V V S
y V cone demittorre
tot x tot
G π
π π π
π π π
π π
π −
= −
−
−
=
−
= −
=
Exercice 03 : (08 pts)
1) Le système est en équilibre statique : a)
→
→ =
∑
Fext 0 ⇔ R→ A+R→B +P→E +→Q =→0 ⇒⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
° +
− +
= +
+
=
°
−
− +
(3) 0 30 sin 3 R
(2) 0 4 , 0 0
(1) 0 30 cos 3 2 , 0
Az R P P
P R
P P R
R
Bz Ay
Bx Ax
b)
→
→
→ =
∑
M(Fext )/A 0 ⇔ AB−→∧R→B +AE−→∧P→E +AF−→∧→Q +M−→=→0
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎪⎩
⎪⎨
⎧
0 4
0
; 0 2
; 0
; 0 0 0
a B a a F a R E A
A1
A3
A2
→
F2
→
F1
α
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎪ =
⎩
⎪⎨
⎧
⎪ +
⎩
⎪⎨
⎧
⎪ ∧
⎩
⎪⎨
⎧
⎪ +
⎩
⎪⎨
⎧
°
°
−
⎪ ∧
⎩
⎪⎨
⎧
⎪ +
⎩
⎪⎨
⎧
−
−
⎪ ∧
⎩
⎪⎨
⎧
0 0 0 0
0 0 0
4 0 30
sin 3
0 30 cos 3 0
2 4
, 0
2 , 0 0
M R
R a
P P a
a
P P
P a
R
Bz Bx
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
−
° +
+
= +
°
−
= +
° +
−
(6) 0 4
30 cos 6 2 , 0 4 , 0
(5) 0 30
sin 3
(4) 0 4
30 sin 6
Bx BZ
aR aP
aP RP
M aP
RP
aR aP
aP
(2) ===> RAy =−0,4P ; (4) ===>
2
RBz =−P ; (5) ===> M a R .P 2
3 ⎟
⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛ −
=
(6) ===> P
a P R
a a a
RBx R 1,35 .
. 10 ) 30 cos 6 2 , 0 4 , 0
( ⎟
⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛ +
° = +
= +
(4) ===> RAz =0
(4) ===> P
a R R
P P
RAx Bx 1,45 .
30 10 cos 3 2 ,
0 ⎟
⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛− +
=
−
° +
=
