1 Variétés différentiables

(1)

Géométrie différentielle appliquée

Table des matières

1 Variétés différentiables 1

1.1 Variétés différentiable . . . 1

1.2 Applications différentiables . . . 1

1.3 Sous-variétés. . . 2

1.3.1 Sous-variétés deRⁿ . . . 2

1.3.2 Sous-variétés de variétés . . . 3

2 Espaces tangent et cotangent 3 2.1 Vecteurs tangents . . . 3

2.2 Dérivations . . . 4

2.3 Différentielle d’un application . . . 5

2.4 Coordonnées sur l’espace tangent . . . 6

2.5 Caractérisation de l’espace tangent dansRⁿ . . . 7

3 Champ de vecteur 7 3.1 Fibrés tangent et cotangent . . . 7

3.2 Champs de vecteurs. . . 8

3.3 Équations différentielles . . . 8

3.4 Flots et groupes de difféomorphismes. . . 9

4 Familles de champs de vecteurs 9 4.1 Systèmes commandés . . . 9

4.2 Crochets et algèbre de LIE . . . 10

4.2.1 Dérivée de LIE. . . 11

4.3 Orbite d’une famille de champs de vecteurs . . . 12

4.4 Espace tangent à une orbite. . . 12

1 Variétés différentiables

1.1 Variétés différentiable

On considère un espace topologiqueM qu’on suppose : Ê à base dénombrable ;

Ë séparé.

Définition : Homéomorphisme

Ð Un homéomorphisme est une application continue et inversible dont l’inverse est continue.

Définition : Carte

Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð

Unecarte de dimension nsurM est un couple(U,φ)formé de Ê unouvert U⊂M;

Ë unhoméomorphismeφ : U−→φ(U)⊂Rⁿ.

L’ouvertUest le domaine de la carte etφest ce que l’on appelle une fonctioncoordonnée.

(2)

Définition :

Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð

Deux cartes 5u,φ)et(V,ψ)surMsontcompatiblessi U∩V=;

ou siψ◦φ⁻¹est undifféomorphismeentre les ouvert deRⁿque sontψ(U∩V)etφ(U∩V). Le fait que ψ◦φ⁻¹soit undifféomorphismeimplique que les deux cartes soient de même dimension.

On rappelle qu’un application f : U⊂E−→F, oùEetF sont des espaces vectoriels normés etUun ouvert de E, est un difféomorphisme deU dans f(U)si elle est de classeC^∞, inversible et si son inverse estC^∞. Une condition nécessaire et suffisante est que f soit injective et que sa différentielle soit un isomorphisme

Définition : Atlas

Un atlas de dimensionndeMest un ensembleA=(U_α,φ_α) de cartes de dimensionntel que Ê les ouvertsU_αrecouvrentM;

Ë toutes les cartes deAsont compatibles deux à deux.

Deux altlas sont équivalents si leur union est encore un atlas.

Définition : Structure différentiable

Ð Ð Ð

Une structure différentiable de dimensionnsurM est une classe d’équivalence d’atlas de dimensionn de M.

Définition : Variété différentiable

Ð Ð Ð

Une variété différentiable de dimensionnest un espace topologiqueM séparé et à base dénombrable muni d’une structure différentiable de dimensionn.

1.2 Applications différentiables

Définition : Application différentiable

Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð

SoitM etN deux variétés différentiables de dimensionnetketF : M−→N une application.

L’applicationFestdifférentiable(ou de classeC^∞) enp∈Ms’il existe une carte(U,φ)deMcontenant pet une carte(V,ψ)deNcontenantF(p), avecF(U)⊂V, telles que

F^φψ=ψ◦F◦φ⁻¹ : φ(U)⊂Rⁿ−→ψ(V)⊂R^k soit de classeC^∞.

On dit queF est une applicationdifférentiabledeM dansN si elle est différentiable en tout point de M.

On remarque que la notion de différentiabilité ne dépend pas des cartes choisies dans les variétés. Si on choisit deux systèmes de coordonnées locales différents,φ1etφ2(resp.ψ1etψ2) surM (resp. surN), on a

ψ2◦F◦φ₂⁻¹=ψ2◦ψ⁻¹₁ ◦(ψ1◦F◦φ₁⁻¹)◦φ1◦φ₂⁻¹

Propriété :

Ê Toute application différentiable est continue ; Ë SoitS

i∈IU_iun recouvrement ouvert de M. Alors F est différentiable si et seulement si chaque restriction F|U_i,i∈I, l’est ;

Ì La composition d’applications différentiables est différentiable.

Définition : Difféomorphisme

Ð

Ð Une applicationF : M−→Nest undifféomorphismedeMsurN siF est une bijection et siF estF⁻¹

(3)

Propriété : et définition

Le rang de F^φψ en φ(p) ne dépend pas des cartes(U,φ) de M et(V,ψ)de N telles que p ∈U et F(p)∈V. Cette quantité est appelée lerangdeF enpet est notée rg_pF.

Propriété :

Une application de M dansN est un difféomorphisme si et seulement si elle est bijective et de rang n=dimM=dimN en tout point deM.

Définition : Immersion – Submersion

Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð

Ê F : M −→N est une immersionsi F est différentiable et rgF = dimM en tout point de M, autrement dit, en coordonnées locales,DF^φψ(x)est injective pour toutxdeM.

Dans ce cas, on a nécessairement dimM¶dimN.

Ë F : M −→N est une submersionsiF est différentiable et rgF = dimN en tout point de M, autrement dit, en coordonnées locales,DF^φψ(x)est surjective pour toutxdeM.

Dans ce cas, on a nécessairement dimM¾dimN.

Définition : Plongement

Ð Ð Ð

On dit que F : M −→N est unplongementsiF est une immersion injective et un homéomorphisme deM dansF(m)pour la topologie induite.

1.3 Sous-variétés

1.3.1 Sous-variétés de Rⁿ

Définition : Sous-variétés

Un sous-ensembleN⊂Rⁿest unesous-variétédeRⁿde dimensionk¶nsi, pour tout pointx deN, il existe un ouvertU_x⊂Rⁿcontenantx et un difféomorphismeφ : U_x−→φ(U_x)⊂Rⁿtel que

φ(U_x∩N) =φ(U_x)∩R^k.

Autrement dit, une sous-variété de Rⁿ est un sous ensemble que l’on peut redresser localement en sous-espace vectorielR^k.

Il est clair qu’une sous-variété est une variété.

Propriété :

SoitU⊂R^k un ouvert etf : U−→Rⁿun plongement. AlorsN= f(U)est une sous-variété deRⁿde dimensionk.

Propriété :

SoitF : Rⁿ−→R^n−kune application différentiable et y∈F(Rⁿ)⊂R^n−k. SiF est unesubmersionsur N=F⁻¹(y)alorsNest une sous-variété deRⁿde dimensionk.

1.3.2 Sous-variétés de variétés

(4)

Définition : Sous-variétés de variétés

Une partie N d’une variétéM de dimensionnest unesous-variété deM de dimensionk¶nsi, pour tout pointqdeN, il existe une carte(U,φ)deM contenantqtelle que

φ(U∩N) =φ(U)∩R^k. La carte(U,φ)est dite adaptée àN.

Propriété : Caractérisation

Ê SoitM etN des variétés de dimensions respectivesnetk,F : M −→N un plongement. Alors W=F(N)est une sous-variété deM de dimensionk.

Ë SoitM et N des variétés de dimensions respectives net k, F : M −→N une submersion et y∈F(M). AlorsW=F⁻¹(y)est une sous-variété deM de dimensionn−k.

Voici une notion moins forte que celle de sous variété.

Définition : Sous-variété immergée

Ð Ð Ð Ð

Un sous-ensembleW d’une variétéM est unesous-variété immergéede dimensionk¶ns’il existe une immersion injective f :N−→M, oùNest une variété de dimensionket dont l’imagef(N)est égale à W.

Théorème : Plongement de Whitney

Toute variété de dimensionnadmet un plongement sur une sous-variété fermée deR²ⁿ⁺¹.

2 Espaces tangent et cotangent

2.1 Vecteurs tangents

Définition : courbes tangentes

Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð

Deux courbesc₁etc₂sont tangentes au pointpsic₁(0) =c₂(0) =pet s’il existe une carte locale(U,ϕ) telle quep∈Uet

d

dt ϕ◦c₁

(0) = d

dt ϕ◦c₂ (0). On remarque que la définition est indépendante de la carte choisie.

On définit ainsi une relation d’équivalence sur l’ensemble des courbes passant par p : c₁ ∼ c₂ si elle sont tangente enp.

Définition : Vecteur, espaces tangent

Ð Ð Ð

Unvecteur tangentàM enpest uhne classe d’équivalence des courbes tangentes enp.

L’espace tangentàMenp, notéT_pM, est l’ensemble des vecteurs tangents àM enp.

2.2 Dérivations

Définition : germes de fonction

Ð Ð Ð Ð

Dans l’ensemble des fonctions à valeurs réelles de classeC^∞définies sur un ouvert deMau voisinage de p, les germes de fonctions sont celles qui sont égales sur un voisignage de p. On note C^∞(p)cet ensemble.

(5)

Définition : Dérivation

Une dérivation enpest une application linéaireD_p:C^∞−→Rqui vérifie la règle de LEIBNIZ. Autrement dit,D_pest une dérivation si pour tous réelsα,βet toutes fonctions f etgdeC^∞,

Ê D_p·(αf +βg) =αD_p·f +βD_p·g Ë D_p·(f g) =g(p)D_p·f +f(p)D_p·g

L’ensembleD(p)des dérivations enpforme un espace vectoriel.

Théorème : lemme d’Hadamard

Soit(U,ϕ)une carte deM centrée en p (i.e.ϕ(p) =0). Pour toute fonction g ∈C^∞(p), il existe χ1, . . . ,χn∈C^∞(p)telles que

∀q∈U, g(q) =g(p) +

n

X

i=1

xⁱ(q)χi(q)

Utilisons ce lemme pour caractériser les éléments deD(p). Soit une carte(U,ϕ)cebtrée enp. On a

D_p·g=D_p·(g(p)) +

n

X

i=1

χi(p)D_p·xⁱ+xⁱ(p)D_p·χi

i.e.

D_p·g=

n

X

i=1

χ₍p)D_p·xⁱ

Théorème :

On a

dimD(p) =n=dimM

Propriété :

Soientg∈C^∞(p)etX_pun vecteur tangent enp. Alors la dérivée d

dt g◦c

(0)est la même pour toutes les courbesc(s)passant parpet appartenant à la classe d’équivalenceX_p.

On noteX_p·gla valeur de cette dérivée.

Propriété :

L’applicationg7−→X_p·gest une dérivation.

Théorème :

L’ensemble des vecteurs tangentsT_pM s’identifie à l’espace vectorielD(p)de dimensionndes déri- vations enp.

2.3 Différentielle d’un application

(6)

Définition : Image réciproque – pull back

Soient M et N des variétés différentiables de dimension n et k. Soit F : M −→ N une application différentiable.

Si g:N−→Rest une fonction sur N,F permet de lui faire correspondre une fonction surM,F^∗g= g◦F, appelléeimage réciproquedegparF. On définit ainsi l’application

F^∗: C^∞ F(p)

−→ C^∞(p) g 7−→ F^∗g=g◦F

M p

T_pM

N

F(p)

T_F₍_p₎M F

R C^∞(p)

g◦F C^∞ F(p) g

Propriété : et définition

L’applicationd F_p:T_pM−→T_F(p)Ndéfinie par

∀g∈C^∞(p), d F_p(X_p)·g=X_p·(F^∗g) estlinéaire.

On l’appelle ladifférentielledeF enp.

Théorème : de composition

Soient F : M −→ N une application différentiable en p ∈ M et G : N −→ W une application différentiable enF(p)∈N. AlorsG◦F est différentiable enpet

d(G◦F)p=d G_F₍_p₎◦d F_p

Propriété :

SiF:M−→Nest undifféomorphismealors, pour toutp∈M,d F_pest unisomorphisme.

Attention :la réciproque à ce corollaire n’est vraie que localement.

Définition : difféomorphisme local

Ð Ð Ð

Une application F :M −→N est undifféomorphisme localen ps’il existe un voisinageU∈M depet un voisinageV ∈NdeF(p)tels que l’application F|U:U−→V est un difféomorphisme.

(7)

Théorème : Inversion locale

SoitF :M −→N une application différentiable en p∈ M telle que d F_p :T_pM −→ T_F₍_p₎N est un isomorphisme.

Alors F est un difféomorphisme local en p. De plus la réciproque du difféomorphisme F|U a pour différentielle

d F|⁻¹U

F(p)= d F_p−1

2.4 Coordonnées sur l’espace tangent

Description deT_xRⁿ Soitx∈Rⁿ. On considère les dérivées partielles enx:

∀i∈J1,nK, ∂

∂xⁱ x

:g7−→ ∂g

∂xⁱ(x)

Ces dérivées forment une base de des dérivées directionnelles enxdonc une base deT_xRⁿditebase naturelle.

L’identification canoniqueT_xRⁿ'Rⁿest définie alors comme l’isomorphismev_x7−→(v¹, . . . ,vⁿ). Coordonnées surT_pM Soitp∈Met(U,ϕ)une carte contenantp. On définit ici

∀i∈J1,nK, ∂

∂xⁱ _p=d

ϕ⁻¹

ϕ(p)

∂

∂xⁱ _x

Ces vecteurs tangents forment une base dite naturelle deT_pM associée aux coordonnées localesϕ.

Propriété :

Dans la base naturelle associée aux coordonnées localesϕ, un vecteur tangentX_p∈T_pM s’écrit

X_p=

n

X

i=1

Xⁱ ∂

∂xⁱ _p

, avecXⁱ=X_p·xⁱ.

Propriété :

Si X_p = Pn i=1Xⁱ ^∂

∂xⁱ

p dans la base naturelle de T_pM associée aux coordonnées locales ϕ, alors d F_p(X_p) =Pk

j=1Yⁱ _∂^∂_y_i

_F₍_p₎dans la base naturelle deT_F₍_p₎N associée àψ, avec





 Y¹

... Y^k





=J F^ϕψ





 X¹

... Xⁿ







Propriété :

Le rang deF enpest égal à la dimension ded F_p(T_pM).

2.5 Caractérisation de l’espace tangent dans R

ⁿ

Propriété :

SoitN⊂Rⁿune sous-variété définie commeN=F⁻¹(y), oùF:U⊂Rⁿ−→Rⁿ⁻^kest unesubmersion.

En tant que sous espace vectoriel de=Rⁿ, l’espace tangent à la sous-variétéNest T_xN=kerDF(x)

(8)

3 Champ de vecteur

3.1 Fibrés tangent et cotangent

Définition :

Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð

L’ensembleT M={(p,X_p)/p∈M, X_p∈T_pM}est appeléfibré tangentde la variétéM. Le fibré tangent est l’union des espaces tangents

T M= [

p∈M

p×T_pM ou encore T M= [

p∈M

T_pM

Attention cette ensemble est disjoint ! On appelleprojection canoniquesurT M

π: T M −→ M (p,X_p) 7−→ p et lafibre au dessus de pla pré-imageπ⁻¹.

Théorème :

Le fibré tangent a une structure naturelle de variété différentiable de dimension 2n.

Définition : Pronlongement

Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð

Soit F :M −→ N une application différentiable. On définit leprolongement (ou différentielle) de F comme l’application différentiable

d F: T M −→ T N

(p,X_p) 7−→ (F(p),d F_p(X_p))

Propriété :

Ê Le diagramme ci-dessous est commutatif

T M

π

d F //T N

π

M ^F //N Ë La restriction ded F aux fibres est linéaire card F|T_pM =d F_p.

Ì SiF:M−→W etG:W −→Nsont des applications différentiables alorsd(G◦F) =d G◦d F. Í SiF :m−→N est un difféomorphisme alors le prolongementd F:T M −→T N est un difféo-

morphisme également et(d F)⁻¹=d(F⁻¹).

3.2 Champs de vecteurs

Considérons une variétéM de dimensionn.

Définition : Champ de vecteur différentiable

Un champ de vecteur différentiable(ou champ de vecteur) sur M est une application différentiable X:M−→T Mqui, à un pointp∈M, associe un couple formé depet d’un vecteur tangent àM enp: X(p) = (p,X_p). Autrement dit,π◦X =id.

On noteraX(M)l’ensemble de tous les champs de vecteurs surM.

(9)

SiX ∈ X(M), alorsX est unedérivationsur l’ensemble des fonctions différentiables deM−→RnotéC^∞(M). X est donc une application linéaire deC∞(M)dansC^∞(M)qui vérifie la règle de LEIBNIZ.

Propriété :

SoientN une sous-variété deMetX un champ de vecteurs sur Mtel que,

∀p∈N,X(p)∈T_pN alors la restriction deX àNest un champ de vecyeur surN.

Définition : Transport

SoientF:M −→Nun difféomorphisme etX un champ de vecteur surM. Alors le transport deX par F, notéF_∗X, est le champ de vecteur surN défini par

F_∗X=d F(X)◦F⁻¹ ou F_∗X(q) =d F_F−1(q)(X(F⁻¹(q))).

3.3 Équations différentielles

Définition :

On appelle équation différentielle sur la variétéM une équation de la forme

˙

q=X(q),q∈M, oùX est un champ de vecteur.

La donnée d’un équation différentielle est ainsi équivalent à celle du champ de vecteurs X. Une solution c’est-à-dire unecourbe intégraledu champX, est une courbec(t)∈M définie sur un intervalleJ ⊂R, telle que

∀t∈J, dc

dt(t) =X(c(t))

Théorème : Existence et unicité des solutions

Soit ˙q = X(q), q ∈ M une équation différentielle sur M. Pour tout point p ∈ M, si η > 0 est suffisamment petit, il existe une unique courbe intégralec_p(t) de X, définie pour t ∈ ]−η,η[, satisfaisant la condition initialec_p(0) =p.

Propriété :

Soient ˙q=X(q)une équation différentielle surMetN⊂M une sous-variété deM tels que, pour tout q ∈N,X(q)∈T_qN. Alors la courbe intégrale de X issue d’un point p∈N est incluse dans N pour t suffisamment petit.

Théorème : Dépendance par rapport aux conditions initiales

La solution d’une équation différentielle ˙q=X(q)surM dépend de façon différentiable de la condition initiale : pour toutp∈M, il existe un voisinageU_p⊂Mdepet un intervalleI=¦

|t|< εp

©tels que l’application

φ: I×U_p −→ M

(t,q) 7−→ φ(t,q) =c_q(t) est différentiable ainsi quep7−→εp.

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3.4 Flots et groupes de difféomorphismes

On définit en un pointpdeM, pour chaquet∈I l’application φt : U_p −→ M

q 7−→ φt(q) =φ(t,q)

Il résulte des deux théorèmes précedents que pour chaquetl’applicationφtest un difféomorphismelocalsur M, cette famille est appeléeflotdeX.

Le flot peut être caractérisé comme la famille de difféomorphismes locaux solutions de

∂ φt

∂t =X◦φt, φ0=Id

Propriété :

Le flot forme ungroupe local à un paramètre de difféomorphismes de M. Un tel groupe est défini par : Ê φt est un difféomorphisme local pour toutt∈I;

Ë t7−→φt est différentiable ; Ì φ0=Id ;

Í ∀t,s,t+s∈I,φt◦φs=φs◦φt =φt+s.

Propriété :

Tout champ de vecteur surM engendre un groupe local à un paramètre de difféomorphisme surM.

Définition : Champ de vecteurs complet

Ð Ð Ð

Un champ de vecteursX surM estcompletsi, pour toutp∈M, la courbe intégrale deX issue depest définie pour toutt∈R.

4 Familles de champs de vecteurs

4.1 Systèmes commandés

SoitMune variété différentiable de dimensionn.

Définition : Système commandé

Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð

Un système commandé est une famille d’équations différentielles

˙

q=X_u(q), q∈M, u∈U, où

Ê l’ensemble de commandeUest un sous-ensemble quelconque deR^m;mest donc la taille de la commandeu, ou encore le nombre de commandes scalairesu_i;

Ë lesX_uforment une famille de champs de vecteurs sur M paramétrés paru, autrement dit, on a une applicationX:M×U−→T Mtelle que, pour toutu∈Ufixé,X_u(q) =X(q,u)est un champ de vecteur surM.

On définit aussi la familleF de champs de vecteurs associés au système commandé F=

X_u u∈U . Le système commandé s’écrit alors ˙q∈ F.

Définition : loi de commande

Ð

Ð On appelle loi de commande une fonctionu(t):J ⊂R−→U. Ici on se limite aux lois de commande

(11)

Définition : trajectoire

Unetrajectoiredu système commandé est une solution de la famille d’équations différentielles, c’est- à-dire une courbe c(t) dans M, définie sur un intervalle J ⊂ R, pour laquelle il existe une loi de commandeu(t), t ∈J, constante par morceaux et telle que, pour tout t ∈J excepté aux points de discontinuité,

d r vc t(t) =X_u₍_t₎(c(t)).

Définition : ensemble atteingnable

Pour un système commandé ˙q=X_u(q),u∈U, surM l’ensemble atteignableà partir d’un pointp∈M, notéAp (ouAp(F)), est l’ensemble des points pouvant être atteints par une trajectoire issue dep, c’est-à-dire

Ap=¦

φ^ut_k^k◦ · · · ◦φt^u₁¹(p)À

4.2 Crochets et algèbre de L

^IE

Définition : Le crochet de Lie

Ð Ð Ð Ð

Lecrochet deL^IEde deux champs de vecteursX,Y∈ X(M)est le champ de vecteurs [X, Y] =X Y−Y X

En coordonnées locales, un champ de vecteurs étant donné sous la formeX(x) =Pn

i=1Xⁱ(x)_∂^∂_xi, les compo- santes du crochet de L^IEsont

[X, Y]ⁱ(x) =

n

X

j=1

X^j(x)∂Yⁱ

∂x^j(x)−Y^j∂Xⁱ

∂x^j(x)

=X·Yⁱ(x)−Y·Xⁱ(x).

Matriciellement,







[X,Y]¹(x) ... [X, Y]ⁿ(x)





=J Y(x)





 X¹(x)

... Xⁿ(x)





−J X(x)





 Y¹(x)

... Yⁿ(x)







Propriété :

SoientX₁, X₂des champs de vecteurs surMde flots respectifsφ¹t,φ²s etpun point deM. On considère la courbe

γ(t) =φ_−t² ◦φ_−t¹ ◦φ²t ◦φ²t(p) pourtsuffisamment petit.

Alors, dans des coordonnées localesϕ= (x¹, . . . ,xⁿ)centrées enp, γ^ϕ(t) =t²

X₁,X₂ϕ(p) +o(t²) où l’on a identifié le champX₁,X₂ϕ

surRⁿavec le vecteur de ses coordonnées.

Propriété :

Ê Deux champs de vecteurs surM satisfont X₁, X₂

≡0 si et seulement si leurs flots commutent pour toustetssuffisamment petits.

Ë SoientF :M −→N un difféomorphisme entre variétés etX,Y des champs de vecteurs sur M.

Alors

F_∗[X,Y] =

F_∗X, F_∗Y

4.2.1 Dérivée de LIE

(12)

Définition : Dérivée de Lie

Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð

Soientg∈C^∞(M)une fonction etX∈ X(M)un champ de vecteur surM de flotφt. Ladérivée deLIE

degpar rapport àX, notéeL_Xg, est la fonction surM dont la valeur en un pointpest

L_Xg(p) =lim

t→0

1

t(g(φt(p))−g(p))

Cette dérivée de LIEL_xgn’est en fait rien d’autre que l’action de l’opérateur de dérivationX surg L_Xg=X·g

Définition : Dérivée de Lie – Champs de vecteurs

SoientX,Y dansX(M)des champs de vecteurs surM etφt le flot deX. La dérivée de LIEde Y par rapport àX, notéeL_XY, est le champ de vecteurs surM dont la valeur en un pointp∈M est

L_XY(p) = d

dt φ−t∗Y (p)

t=0

Propriété :

Pour tousX,Y ∈ X(M),L_XY = [X,Y].

Définition : Algèbre de Lie

Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð

X(M)est un espace vectoriel. Muni en plus de la loie interne (produit) défini par le crochet de LIE, il devient une algèbre surR.

Le crochet vérifie les deux propriétés suivantes : Ê l’anti-symétrie :[X, Y] =−[Y,X];

Ë l’identité de JACOBI:[X,[Y, Z]] + [Z,[X, Y]] + [Y,[Z, X]] =0.

En particulier, un sous-espace vectoriel de X(M) qui est stable par le crochet de LIE est aussi une algèbre de LIE.

SiF est une famille de champs de vecteurs sur M, on appelle algèbre de LIEengendrée parF, notée Lie(F), le plus petit sous-espace vectorielSdeX(M)qui contientF et qui est stable par crochet.

En un pointp∈M, on note

Liep(F) = X(p)

X ∈Lie(F)

4.3 Orbite d’une famille de champs de vecteurs

On supposera tous les champs complets.

Définition : Groupe de difféomorphisme engendré par F

Le groupe de difféomorphisme engendré parF, noté G(F)est le groupe engendré par les flots des éléments deF :

G(F) =¦

φt^X_k^k◦ · · · ◦φt^X₁¹

Définition : Orbite

Soitp∈M. L’orbite deF issue depest l’ensemble Orb_p(F) =¦

φt^X_k^k◦ · · · ◦φt^X₁¹(p)À

Orb_p(F) =ϕ(p)ϕ∈G(F)

(13)

Propriété :

SoitF la famille associée à un sytème commandé. SiF est une famille symétrisuqe, c’est-à-dire X ∈ F ⇔ −X∈ F

l’orbite deF et l’ensemble atteignable par le système commandé coïncident pour tout pointp∈M : Orb_p(F) =Ap(F).

Théorème : Théorème de l’orbite

Les orbites d’une familleF de champs de vecteurs surMsont des sous-variétés immergées connexes deM.

L’espace tangent à une orbite est

∀q∈Orb_p(F, T_qOrb_p(F) =Vect

ϕ∗X(q)

X∈ F, ϕ∈G(F)

4.4 Espace tangent à une orbite

Propriété :

SiX etY sont des champs de vecteurs tangents à une sous-variétéNdeM, leur crochet de LIEest aussi tangent àN.

Propriété :

Pour toutq∈Orb_p(F), Lie_q(F)⊂T_qOrb_p(F).

Propriété :

T_pOrb_p(F) =Lie_p(F)pour toutp∈Msi et seulement si pour tout flotφ^X_t d’un élémentX∈ F, pour tout t∈Ret tout élémentY ∈Lie(F),

φ^X_t_∗Y(p)∈Lie_p(F)

Théorème :

SoitF une famille de champs de vecteurs telle que la dimension de Liep(F)est une constante k indépendante du point p ∈ M. Alors toutes les orbites deF sont des sous vriétés immergées de dimensionket leur espace tahngent en tout point estT_pOrb_p(F) =Lie_p(F).