MPSI B DM 2 29 juin 2019
L'objet de ce problème est de présenter la formule de Machin 1 et quelques résultats autour.
π
4 = 4 arctan1
5−arctan 1 239
On obtiendra diverses formules faisant intervenir des arctan d'inverses de nombres. En particulier, une formule du type Machin est de la forme
marctan1
x+ arctan1 y ≡ π
4 modπavecm, x, y entiers
Partie I. Introduction. Exemples
Pour tout entier naturel non nul m, on appelle Cm l'ensemble des couples de réels non nuls(x, y)tels que
marctan1
x+ arctan1 y ≡π
4 (π)
1. Pourxréel non nul, on poseα= arctanx1. Exprimerx+i à l'aide deαet de l'expo- nentielle complexe. Donner un argument dex+i.
2. Montrer que
(x, y)∈ Cm⇔(x+i)m(y+i)e−iπ4 ∈R 3. Montrer que
π
4 = 2 arctan1
2 −arctan1 7 4. Formule de Dodgson2
Soitp,q, rtrois réels positifs tels que1 +p2=qr. Montrer que arctan1
p= arctan 1
p+r+ arctan 1 p+q
Partie II. Étude d'une famille de polynômes
Pour xréel etmentier positif, on note respectivement Am(x)la partie réelle et Bm(x) la partie imaginaire de de(x+i)m. On dénit égalementFmpar :
Fm(x) =Am(x) +Bm(x) Am(x)−Bm(x)
1John Machin (1680 - 1752). Grâce à cette formule, en 1706, Machin est le premier mathématicien à calculer 100 décimales deπ.
2plus connu pour son oeuvre littéraire sous le pseudonyme Lewis Carrol
1. Calculer les polynômes Ak(x) et Bk(x) pour k ∈ {1,2,3,4}. Présenter les résultats dans un tableau.
2. Montrer les relations suivantes liant les polynômes et leurs dérivées
Am+1(x) =xAm(x)−Bm(x) Am(−x) = (−1)mAm(x) Bm+1(x) =Am(x) +xBm(x) Bm(−x) =−(−1)mBm(x) A0m(x) =mAm−1(x) Bm0 (x) =mBm−1(x)
Montrer aussi que
simpair simimpair
Am(x) = (−1)m2xmAm(−1x) Am(x) = (−1)m−12 xmBm(−1x) Bm(x) = (−1)m2xmBm(−1x) Bm(x) =−(−1)m−12 xmAm(−x1)
3. Pour un entiermxé, déterminer les solutions deAm(x) =Bm(x). Quelle est la plus grande de ces solutions ?
4. Montrer que la fonctionFmest décroissante dans chaque intervalle de son domaine de dénition. Quelle est la limite deFmen+∞et en −∞?
Partie III. Les formules du type Machin
On cherche toutes les formules du type Machin pourmentre 1 et 4.
1. Montrer que pour tout(x, y)deR2,
(x, y)∈ Cm⇔(Am(x)6=Bm(x)et y=Fm(x))
2. Des calculs numériques conduisent aux tableaux suivants :
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
1 Rémy Nicolai M0502E
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m cotan 4mπ
1 1
2 2.414
3 3.732
4 5.027
x F1(x) F2(x) F3(x) F4(x)
1 -1. 0. 1.
2 3. -7. -1.444 -.5484
3 2. 7. -5.500 -1.824
4 1.667 3.286 19.80 -5.076 5 1.500 2.429 5.111 -239.0 6 1.400 2.043 3.352 7.971 7 1.333 1.824 2.659 4.518 8 1.286 1.681 2.286 3.376 9 1.250 1.581 2.052 2.802 10 1.222 1.506 1.891 2.455 11 1.200 1.449 1.774 2.222 12 1.182 1.403 1.684 2.055 13 1.167 1.366 1.613 1.929
À partir de ces tableaux, former (en justiant soigneusement) toutes les formules du type Machin pourmentier entre1et 4.
Partie IV. Algorithme de Lehmer.
Soitz0un nombre complexe dont la partie imaginaire est strictement positive. On dénit des complexesz1,z2,· · · par récurrence en posant
zk+1=zk(−bRe(zk)
Im(zk)c+i)lorsque Im(zk)6= 0
(la notationb.cdésignant la fonction partie entière). L'algorithme s'arrête quand un nombre réel est obtenu. On pourra noter
nk=bRe(zk) Im(zk)c 1. Faire les calculs dans le cas particulierz0= 17 + 7i.
2. Montrer que la suite formée par les parties imaginaires deszk est strictement décrois- sante et à valeurs positives.
3. On suppose quez0=a+ibavecaetbentiers strictement positifs.
a. Montrer qu'il existe unktel que zk est réel.
b. En déduire que arctan(b
a)≡arctan( 1 n0
) + arctan( 1 n1
) +· · ·+ arctan( 1 nk−1) (π) en convenant que, si un desniest nul, on remplacearctan(n1
i)par π2.
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
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2 Rémy Nicolai M0502E
