Partie III. Les formules du type Machin

MPSI B DS 01 29 juin 2019

Exercice

L'objet de cet exercice est d'exprimercos^2π₅ avec des racines carrées.

On considère deux équations

1 +z+z²+z³+z⁴ = 0 (1)

z²+z−1 = 0 (2)

1. Préciser l'ensemble des solutions de (1). Préciser l'ensemble des solutions de (2).

2. Montrer queuest solution de (1) si et seulement siu+¹_u est solution de (2).

3. Préciser sous forme trigonométrique l'ensemble des valeurs prises paru+_u¹ lorsqueu décrit l'ensemble des solutions de (1).

4. En déduire une expression decos^2π₅ avec des racines carrées.

Problème

L'objet de ce problème est de présenter la formule de Machin ¹ et quelques résultats autour.

π

4 = 4 arctan1

5−arctan 1 239

On obtiendra diverses formules faisant intervenir des arctan d'inverses de nombres. En particulier, une formule du type Machin est de la forme

marctan1

x+ arctan1 y ≡ π

4 modπavecm, x, y entiers

Partie I. Introduction. Exemples

Pour tout entier naturel non nul m, on appelle Cm l'ensemble des couples de réels non nuls(x, y)tels que

marctan1

x+ arctan1 y ≡π

4 (π)

1. Pourxréel non nul, on poseα= arctan_x¹. Exprimerx+i à l'aide deαet de l'expo- nentielle complexe. Donner un argument dex+i.

2. Montrer que

(x, y)∈ Cm⇔(x+i)^m(y+i)e^−iπ4 ∈R

1John Machin (1680 - 1752). Grâce à cette formule, en 1706, Machin est le premier mathématicien à calculer 100 décimales deπ.

3. Montrer que

π

4 = 2 arctan1

2 −arctan1 7 4. Formule de Dodgson²

Soitp,q, rtrois réels positifs tels que1 +p²=qr. Montrer que

arctan1

p= arctan 1

p+r+ arctan 1 p+q

Partie II. Étude d'une famille de polynômes

Pour xréel et mentier positif, on note respectivement Am(x)la partie réelle et Bm(x) la partie imaginaire de de(x+i)^m. On dénit égalementFmpar :

F_m(x) = Am(x) +Bm(x) A_m(x)−B_m(x)

1. Calculer les polynômes Ak(x) et Bk(x) pour k ∈ {1,2,3,4}. Présenter les résultats dans un tableau.

2. Montrer les relations suivantes liant les polynômes et leurs dérivées A_m+1(x) =xA_m(x)−B_m(x) A_m(−x) = (−1)^mA_m(x) Bm+1(x) =Am(x) +xBm(x) Bm(−x) =−(−1)^mBm(x)

A⁰_m(x) =mA_m−1(x) B_m⁰ (x) =mB_m−1(x)

Montrer aussi que

simpair simimpair

Am(x) = (−1)^m2x^mAm(−¹_x) Am(x) = (−1)^m−12 x^mBm(−¹_x)

Bm(x) = (−1)^m2x^mBm(−¹_x) Bm(x) =−(−1)^m−12 x^mAm(−_x¹)

3. Pour un entiermxé, déterminer les solutions deAm(x) =Bm(x). Quelle est la plus grande de ces solutions ?

4. Montrer que la fonctionFmest décroissante dans chaque intervalle de son domaine de dénition. Quelle est la limite deFmen+∞et en −∞?

2plus connu pour son oeuvre littéraire sous le pseudonyme Lewis Carrol

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

1 Rémy Nicolai S0401E

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Partie III. Les formules du type Machin

On cherche toutes les formules du type Machin pourmentre 1 et 4.

1. Montrer que pour tout(x, y)deR²,

(x, y)∈ Cm⇔(Am(x)6=Bm(x)et y=Fm(x)) 2. Des calculs numériques conduisent aux tableaux suivants :

m cotan _4m^π

1 1

2 2.414

3 3.732

4 5.027

x F₁(x) F₂(x) F₃(x) F₄(x)

1 -1. 0. 1.

2 3. -7. -1.444 -.5484

3 2. 7. -5.500 -1.824

4 1.667 3.286 19.80 -5.076 5 1.500 2.429 5.111 -239.0 6 1.400 2.043 3.352 7.971 7 1.333 1.824 2.659 4.518 8 1.286 1.681 2.286 3.376 9 1.250 1.581 2.052 2.802 10 1.222 1.506 1.891 2.455 11 1.200 1.449 1.774 2.222 12 1.182 1.403 1.684 2.055 13 1.167 1.366 1.613 1.929

À partir de ces tableaux, former (en justiant soigneusement) toutes les formules du type Machin pourmentier entre1et 4.

Partie IV. Algorithme de Lehmer.

Soitz0un nombre complexe dont la partie imaginaire est strictement positive. On dénit des complexesz1,z2,· · · par récurrence en posant

zk+1=zk(−bRe(zk)

Im(z_k)c+i)lorsque Im(zk)6= 0

(la notationb.cdésignant la fonction partie entière). L'algorithme s'arrête quand un nombre réel est obtenu. On pourra noter

n_k=bRe(z_k) Im(zk)c 1. Faire les calculs dans le cas particulierz0= 17 + 7i.

2. Montrer que la suite formée par les parties imaginaires deszk est strictement décrois- sante et à valeurs positives.

3. On suppose quez0=a+ibavecaetbentiers strictement positifs.

a. Montrer qu'il existe unktel que z_k est réel.

b. En déduire que

arctan(b

a)≡arctan( 1

n₀) + arctan( 1

n₁) +· · ·+ arctan( 1 n_k−1) (π) en convenant que, si un desniest nul, on remplacearctan(_n¹

i)par ^π₂.

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2 Rémy Nicolai S0401E