ee  1 fi  13

(1)

donné le 30 mars pour le 6 avril DVM#10 Exercice 1 (complexes)

Ecrire les nombres complexes suivants sous forme algébrique, trigonométrique et exponentielle.

Remarques :

i. On utilisera les résultats des calculs précédents pour s'aider à résoudre un calcul.

ii. Pour l'exercice e, assez difficile, on travaillera avec méthode, en s'aidant d'un dessin et de la calculatrice pour émettre des conjectures que l'on s'attachera à démontrer.

1 1 a i

i

 



2 cos sin

4 4

1 cos sin

2 3 3

i b

i

 

  

 

 

   

3 1 c i

i

 



cos sin

6 6

d   i  e 1 e ⁱ6



  ^f ^{ }



¹ ⁱ ³



⁶

Exercice 2 (Suites)

Soit (un) et (vn) deux suites réelles définies par :

1

12 2

3

n n

n

u

u v

n IN u _

 

 

   

 et

1

1 3

4

n n

n

v

u v

n IN v _

 

    



1. Pour tout entier n non nul, on pose wn = vn – un

a. Démontrer que (wn) est une suite géométrique dont on déterminera la raison et le premier terme.

b. Exprimer wn en fonction de n.

c. Démontrer que la suite (wn) est convergente et déterminer sa limite.

2. Démontrer que la suite (un) est décroissante et que la suite (vn) est croissante.

3. Déduire de ce qui précède que les suites (un) et (vn) convergent vers une même limite.

4. Pour tout entier n non nul, on pose tn = 3un + 8vn. a. Démontrer que (tn) est une suite constante.

b. En déduire la valeur de la limite commune aux suites (un) et (vn) . 5. Calculer en fonction de l'entier n :

Sn = u1 + u2 + u3 + … + un et ∑n = v1 + v2 + v3 + … + vn

Remarque : Pour résoudre la question 5, on utilisera les résultats des questions précédentes (Passage "à la somme ∑" des l'égalités tn = 3un + 8vn, et wn = vn – un