Corrigé de l’exercice 1 de l’épreuve E6 -France métropolitaine - 2005 --------------------------

ENFA - Bulletin n°14 du groupe PY-MATH – Avril 2006 page 53 Contact : Conf PY-MATH@educagri.fr

Corrigé de l’exercice 1 de l’épreuve E6 -France métropolitaine - 2005

--- Partie A

1°) a) Considérons l’épreuve consistant à faire tourner la roue. Nous noterons Ω l’ensemble des issues possibles (univers) de cette expérience aléatoire. Lorsque la roue s’arrête sur les secteurs 3 et 9, l’événement A est réalisé. Ainsi parmi les 12 issues équiprobables possibles de Ω, seules 2 d’entre elles réalisent A donc la probabilité de A est :

12 ) 2 ( A =

p soit :

6 ) 1 ( A = p

b) L’arbre de probabilités suivant modélise la situation décrite dans l’énoncé.

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2°) a) p ( G ∩ A ) = p ( A ) × p

( G ) 4

1 6 ) 1 ( G ∩ A = × p

donc :

24 ) 1 ( G ∩ A = p

b) D’après l’arbre de probabilités ci-dessus : p ( G ) = p ( G ∩ A ) + p ( G ∩ A )

24 ) 3 (

10 1 6 5 24 ) 1 (

=

× +

= G p

G p

Conclusion :

8 ) 1 ( G = p

3°) Nous devons calculer la probabilité que le billet tiré provienne de l’urne A sachant qu’il est gagnant, soit la probabilité conditionnelle : p

( A ) .

) (

) ) (

( p G

A G A p

p

= ∩

24 8 8 1 24

1 )

( A = =

p

donc :

3 ) 1 ( A = p

.

Partie B

1°) Considérons l’épreuve consistant à faire tourner la roue puis à tirer un billet.

Deux issues contraires sont possibles :

soit le billet est gagnant (succès) avec une probabilité

8 ) 1

( =

= p G

p ;

soit le billet est perdant (échec) avec une probabilité

8 1 − = 7

= p

q .

(Ce type d’épreuve est parfois appelé « épreuve de Bernoulli ».) Cette même épreuve est répétée, de façon indépendante, n = 10 fois.

A

A

G

Ω

1/6

1/4

9/10 1/10 3/4

5/6

G G

G

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Alors la variable aléatoire X égale au nombre de billets gagnants en 10 épreuves suit la loi binomiale de paramètres n = 10 et

8

= 1 p .

La probabilité d’obtenir k succès sur 10 épreuves ( k entier naturel compris entre 0 et 10 inclus) est :

k k

k k X p

−

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝

× ⎛

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝

× ⎛

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛

=

10

8 7 8

10 1 )

( .

2°) Calculons alors p ( X = 5 ) et p ( X ≥ 1 ) :

5 5

8 7 8

1 5 ) 10 5

( ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

× ⎛

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝

× ⎛

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛

= X p

alors : p ( X = 5 ) = 0 , 0039 à 10

près.

L’événement contraire de ( X ≥ 1 ) est ( X < 1 ) soit ( X = 0 ) donc : )

0 ( 1 ) 1

( X ≥ = − p X = p

10 0

8 7 8

1 0 1 10 ) 1

( ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

× ⎛

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝

× ⎛

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

− ⎛

=

≥ X p

10

8 1 7 ) 1

( ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

− ⎛

=

≥ X p

alors : p ( X ≥ 1 ) = 0 , 7369 à 10

près.