a) Montrer que l’application pull-back

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UNIVERSITÉ PIERRE ET MARIE CURIE Année 2012/2013 M2 de Mathématiques fondamentales

Géométrie complexe et théorie de Hodge

FEUILLE D’EXERCICES 2

1. Soit f : X → Y une application holomorphe entre variétés complexes.

a) Montrer que l’application pull-back

f

^∗

: C

^∞

(Y, Ω

^k_Y,_C

) → C

^∞

(X, Ω

^k_X,_C

) préserve la décomposition en formes de type (p, q).

c) Montrer que pour tout p, q ∈ N , le pull-back induit des application linéaires naturelles (c’est-à-dire fonctorielles)

f

^∗

: H

^p,q

(Y ) → H

^p,q

(X).

2. Soit X une variété complexe. Un faisceau en groupe abélien F sur X est la donnée

a) d’un groupe abélien F (U) pour tout ouvert U ⊂ X et b) d’un morphisme de groupe abéliens

r

U V

: F (U ) → F (V ), pour toute inclusion V ⊂ U entre des ensembles ouverts, qui satisfont les conditions :

(1) F (∅) = 0.

(2) r

U U

est l’application identité F (U ) → F (U).

(3) Si W ⊂ V ⊂ U sont trois ouverts, alors r

_{U W}

= r

_{V W}

◦ r

_{U V}

.

(4) Si U est un ouvert, (V

i

)

_i∈I

est un recouvrement ouvert de U et s ∈ F (U ) tel que r

U V_i

(s) = 0 pour tout i ∈ I, alors s = 0.

(5) Si U est un ouvert, (V

_i

)

_i∈I

est un recouvrement ouvert de U et s

_i

∈ F (V

_i

) tels que

r

_V_i_(V_i_∩V_j₎

(s

i

) = r

_V_j_(V_i_∩V_j₎

(s

j

)

pour tout i, j ∈ I, alors il exists un unique s ∈ F (U) tel que r

U V_i

(s) = s

i

. Soit maintenant E un fibré vectoriel holomorphe sur X. Pour tout ouvert U ⊂ X posons Γ(U, E) pour l’espace vectoriel des sections de E|

_U

. Si V ⊂ U est un ouvert on définit r

U V

: Γ(U, E) → Γ(V, E) en prenant la restriction d’une section de E|

U

à l’ouvert V . Montrer que ceci définit un faisceau en groupe abélien sur X qu’on appelera le faisceau des sections O

X

(E).

Donner et montrer l’énoncé analogue pour un fibré vectoriel complexe.

Date: 16 novembre 2012.

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(2)

3. (Groupe de Picard)

Soit X une variété complexe et soit π : L → X un fibré en droites holomorphe, c’est-à-dire un fibré vectoriel holomorphe de rang un sur X . Soit (U

α

)

_α∈A

un recouvrement ouvert de X tel que L|

U_α

est trivial. Les fonctions de transition sont donc des applications holomorphes

g

αβ

: U

α

∩ U

β

→ C

^∗

.

a) Montrer que L est isomorphe au fibré trivial O

X

si et seulement si, quitte à prendre un recouvrement plus fin, il existe des fonctions holomorphes s

_α

: U

_α

→ C

^∗

telles que

g

αβ

= s

β

s

_α

sur U

α

∩ U

β

.

b) Montrer que l’ensemble des classes d’isomorphisme des fibrés en droites holomorphes a une structure naturelle de groupe commutatif. On appelle ce groupe le groupe de Picard Pic(X).

c) Montrer que le groupe de Picard est isomorphe au groupe de cohomologie de Čech ˇ H

¹

(X, O

X^∗

).

Indication : commencer par montrer qu’un cocyle de Čech définit des fonctions de transition.

4. Soit X une variété complexe de dimension n, et soient S, E et Q des fibrés vectoriels holomorphes sur X. Soient ϕ : S → E et ψ : E → Q des morphismes de fibrés vectoriels

¹

. On dit que la suite

S →

^ϕ

E →

^ψ

Q est exacte à E si im ϕ = ker ψ.

a) Soit

0 → S →

^ϕ

E →

^ψ

Q → 0.

une suite exacte de fibrés vectoriels, c’est-à-dire une suite qui est exacte à S, E et Q. Montrer qu’on a un isomorphisme canonique

det E ' det S ⊗ det Q.

b) Soit L → X un fibré en droites holomorphe, et soit σ ∈ Γ(X, L) une section non-nulle telle que

D := {x ∈ X | σ(x) = 0}

est une sous-variété. Montrer que nous avons une suite exacte sur D 0 → T

_D

→ T

_X

|

_D

→ L|

_D

→ 0,

1Rappel : SoitXune variété complexe et soiente:E→X etf:F→Xdes fibrés vectoriels holomorphes surX. Un morphisme de fibrés vectoriels de rangkest une application holomorphe g:E→F telle quee=f◦get pour toutx∈X, l’application induite

gx:=g|_E_x:Ex→Fx

estC-linéaire de rangk.

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(3)

où T

D

→ T

X

|

D

est l’inclusion naturelle entré les fibrés tangent. Déduire la formule dite d’adjonction

K

D

' (K

X

⊗ L)|

D

. c) Montrer que sur P

ⁿ

on a la suite exacte d’Euler

0 → O

Pⁿ

→ O

Pⁿ

(1)

^⊕n+1

→ T

_Pⁿ

→ 0.

Déduire que

K

_P^∗n

' O

_Pⁿ

(n + 1).

d) Soit H ⊂ P

ⁿ

une sous-variété projective définie par un polynôme homogène de degrée d. Montrer que nous avons une suite exacte sur H

0 → T

H

→ T

_Pⁿ

|

H

→ O

Pⁿ

(d)|

H

→ 0,

où T

_H

→ T

_Pn

|

H

est l’inclusion naturelle entré les fibrés tangent. Déduire que K

_H^∗

' O

_Pⁿ

(n + 1 − d)|

H

.

Généraliser au cas d’une intersection complète. Déduire que la cubique gauche dans P

³

n’est pas une intersection complète.

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