Lycée Gustave Eiffel TSTI2D1 2012/2013
DEVOIR SURVEILLE N
o4
Exercice 1
La courbeCf tracée ci-dessous est la représentation graphique d’une fonctionf dans un repère orthonormé d’unité 3cm définie sur [0; +∞[.
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
0 1 2 3 x
y Cf
A
B
1) Exprimer à l’aide d’une intégrale l’aire, en unités d’aire, de la partie colorée et en donner une valeur approchée au dixième près.
2) La fonctionf est définie sur [0; +∞[ parf(x) = 4x x2+ 4.
Calculer l’aire, en cm2, du domaine délimité par la courbeCf, l’axe des abscisses et les droites d’équa- tionx= 1 etx= 2.
Exercice 2
On donne l’enregistrement d’une session de travail avecXcasoù la fonction ex est notée exp(x) :
1 f(x):=x*exp(-2*x)
(x)−>x∗exp(−2∗x) 2 g:=deriver(f)
(x)−>exp(−2∗x) +x∗(−2∗exp(−2∗x)) 3 factoriser(g)
(x)−>(−2∗x+1)∗exp(−2∗x)
1) Justifier le calcul de la dérivéegde la fonctionf.
2) Détailler la détermination du signe degsurRselon la valeur dex.
3) Donner la valeur exacte des coordonnées du maximum def. 4) Établir le tableau des variations def surR.
(Les limites aux bornes de Df ne sont pas demandées)
Tournez svp
Exercice 3
On considère la fonctionf définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ parf(x) = 5lnx x + 3.
On noteCf sa courbe représentative dans un repère orthogonal du plan.
1) a. Déterminer la limite def en 0 ; en donner une interprétation graphique.
b. Déterminer la limite def en +∞; en donner une interprétation graphique.
2) a. Calculerf0(x) oùf0est la fonction dérivée def, puis étudier son signe.
b. En déduire le tableau de variation de la fonction f. On y indiquera les limites aux bornes de l’intervalle de définition def ainsi que la valeur exacte def(e).
3) Soithla fonction de la variable réellexdéfinie sur l’intervalle ]0; +∞[ par :h(x) = lnx2
. a. Calculerh0(x).
b. En déduire une primitive F def sur ]0; +∞[.
c. Calculer la valeur exacte de I = Z4
2
f(t) dt sous la forme a(ln 2)2+b avec a etb deux réels à déterminer.
4) a. Préciser en utilisant le tableau de variation def le signe def sur l’intervalle [2; 4].
b. Donner une interprétation graphique de I.
5) On admet que le bénéfice, en milliers d’euros, que réalise une entreprise lorsqu’elle fabriquex mil- liers de pièces est égal àf(x).
En utilisant les résultats précédents, déterminer la valeur moyenne du bénéfice lorsque la production varie entre 2000 et 4000 pièces. On donnera une valeur approchée de ce bénéfice à 100 euros près.
Rappel :Soitf une fonction et [a;b] un intervalle sur lequelf est définie et dérivable.
La valeur moyennemdef sur l’intervalle [a; b], est le nombremtel que :m= 1 b−a
Z b
a
f(x) dx
