Travail d’initiative personnelle encadr´e
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Texte intégral
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(3) Travail d’initiative personnelle encadr´e Universit´e de Metz – UFR MIM.
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(5) Pr´ eface par Nicolas Prudhon, enseignant-chercheur. Le Travail d’Initiative Personnelle Encadr´e (TIPE) de math´ematiques a ´et´e mis en place `a l’universit´e Paul Verlaine de Metz d`es l’ann´ee universitaire 2005–2006. Propos´e aux ´etudiants de troisi`eme ann´ee, ceux-ci sont invit´es `a choisir un sujet de TIPE qu’ils traiteront tout au long l’ann´ee en l’approfondissant progressivement. A l’issue de l’ann´ee, ils ont compos´e un texte math´ematique complet, et pr´esentent alors leur travail lors d’un expos´e oral. L’objectif de ce travail est de permettre aux ´etudiants de se confronter `a la r´ealit´e math´ematique du chercheur : composer d’abord une bibliographie cernant le sujet, rep´erer les th´eor`emes fondamentaux, leurs liens aux applications annonc´ees, puis comprendre les d´emonstrations et les r´ediger en d´etail, ce qui est rarement le cas dans les ouvrages disponibles ; enfin ´ecrire une introduction, invitant le lecteur `a entrer dans le texte, en situant les aspects historiques, les applications av´er´ees ou potentielles, et au besoin en d´etaillant un exemple simple, le fameux ”toy model”. Au cours d’un travail progressif, les ´etudiants apprennent ainsi `a composer un texte math´ematique structur´e : chaque section regroupe les d´efinitions, les th´eor`emes et biensˆ ur les d´emonstrations se rapportant `a une notion bien d´etermin´ee. Depuis sa phase de conception (recherche d’ouvrages `a la biblioth`eques, d’articles de vulgarisation trouv´es sur internet notamment) jusqu’`a la mise en page tipographique des articulations du corpus math´ematique (les citations et renvois), tous les aspects de l’´ecriture des math´ematiques sont abord´es et doivent permettre de mener ce travail `a sa finalit´e : la mise en lumi`ere des d´emonstrations. Les textes pr´esent´es dans ce livret sont le fruit du travail des ´etudiants tels que ceux-ci ont ´et´e ´ecrits. Seule une uniformisation de la typographie a ´et´e r´ealis´ee, apr`es transcription des textes au format LATEX. Cette tˆache fastidieuse n’a pu ˆetre r´ealis´ee que grˆace `a la participation essentielle de C´edric Moll, sans qui la pr´esentation du pr´esent livret aurait ´et´e impossible. Qu’il en soit remerci´e. Ne pas modifier les ´ecrits des ´etudiants, en respectant leurs ´eventuelles erreurs ou imperfections, est aussi une fa¸con de rendre compte des efforts et de l’´energie qu’ils ont mis dans leurs r´ealisations en montrant le cheminement du v´eritable travail math´ematique. Cela m’´evoque une question qu’un jour un examinateur me posa : qu’est-ce que ”faire des math´ematiques” ? La colle ! Question si hardue que, p´etrifi´e pour le reste de l’examen, je fus recall´e. Et c’est seulement aujourd’hui, `a la lumi`ere du travail des ´etudiants que j’ai aid´es, que je commence `a entrevoir une r´eponse : et si au fond, on ne faisait pas de math´ematiques, mais plutˆot que ce sont les math´ematiques qui font les math´ematiciens. Car pendant que les intemporelles math´ematiques ne bougeaient pas d’un iota, les ´etudiants – par leur travail, leurs questions, leurs h´esitations, puis leur r´eussite – se laissaient toucher par les math´ematiques, consentaient `a ce qu’elles fassent d’eux des math´ematiciens accomplis. Les enseignants que nous sommes t´emoignent de leur chemin parcouru, sur lequel nous les avons invit´es puis guid´es. Enfin, un grand merci aux ´etudiants qui ont contribu´e `a l’´edition de cet ouvrage, en acceptant que soient publi´es leurs ´ecrits : voici donc le meilleur du TIPE de l’universit´e de Metz ! 3.
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(7) Table des mati` eres ´ Oph´elie Cinarelli – Emanuelle Cloˆıtre, La th´eorie de Galois . . . . . . . . . . C´edric Moll, Syst´emes hamiltoniens . . . . . . . . . Paul Monnot, Algorithmes Labyrinthiques . . . . . . Geoffrey Nichil, La Th´eorie du Chaos . . . . . . . . . . ´ Emilie Legendre – Andray Langbach – Ana¨ıs Ondes sonores . . . . . . . . . . . . . . Marilyne Jaytener – Lydie-Anne Wagner, La g´eom´etrie non euclidienne . . . . .. 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 21. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 47. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 Schneider, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.
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(9) ´ LA THEORIE DE GALOIS Oph´elie Cinarelli – Emanuelle Cloˆıtre L3 Math´ematiques Travail d’Initiative Personnelle - T.I.P.E. Ann´ee 2007 - 2008. Table des mati` eres Introduction. 8. 1 Les 1.1 1.2 1.3. groupes Structure de groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Groupes r´esolubles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Groupes sym´etriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 9 9 10 11. 2 Les 2.1 2.2 2.3 2.4. corps G´en´eralit´es . . . . . . . . . . . . . . . . Extensions alg´ebriques et transcendantes Extensions s´eparables et normales . . . . Th´eorie de Galois . . . . . . . . . . . . .. . . . .. 12 12 13 14 15. 3 R´ esolution des ´ equations par radicaux 3.1 Extensions radicales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Equations r´esolubles par radicaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Exemple d’´equation non r´esoluble par radicaux . . . . . . . . . . . . . . .. 17 17 17 21. 7. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . ..
(10) 8. Oph´elie Cinarelli – Emanuelle Cloˆıtre. Introduction Notre int´erˆet pour la th´eorie de Galois (fondamentale dans la th´eorie des groupes) a tout d’abord ´et´e suscit´e par l’incroyable histoire de son auteur, math´ematicien fran¸cais, mort `a seulement 20 ans.. Parlons d´esormais du contexte historique, dans lequel vivait Evariste Galois (1811– ´on 1832). La restauration s’installe en France en 1814, `a la chute de l’empire de Napole er I . La France voit alors se succ´eder au pouvoir Louis XVIII puis son fr`ere, Charles X. Cette restauration de la monarchie s’ach`eve en 1830, lors de la r´evolution surnomm´ee ”Les Trois Glorieuses ”. Elle permet `a Louis Philippe d’Orl´eans, issu de la bourgeoisie, de diriger la France jusqu’en 1848. Il incarne l’opposition et l’innovation constitutionnelle en se d´eclarant Roi des Fran¸cais et non plus Roi de France, pour prouver son attachement au peuple. C’est sous son r`egne que la France commence `a s’industrialiser et que les grandes familles bourgeoises s’affirment. pagecolor=black, Alors qu’il est interne au lyc´ee parisien Louis le Grand, Galois trouve une condition n´ecessaire et suffisante pour qu’une ´equation polynomiale `a coefficients fixes soit r´esoluble par radicaux. Malgr´e son g´enie certain pour les math´ematiques, il ´echoue deux fois `a l’oral d’entr´ee de l’Ecole Polytechnique (qui n´ecessitait `a l’´epoque des cours priv´es). Pour la petite anecdote, on raconte que les questions de l’examinateur auraient ´et´e trop simples pour lui et qu’il lui aurait jet´e le chiffon pour effacer la craie en pleine tˆete. Il int`egre finalement l’Ecole pr´eparatoire, qui formait des instituteurs et qui devient l’Ecole Normale Sup´erieure en 1830. Etant un r´epublicain tr`es engag´e, Evariste Galois est renvoy´e de l’´ecole en janvier 1831. La mˆeme ann´ee, il est emprisonn´e pendant dix mois, pour avoir manqu´e de respect envers Louis-Philippe d’Orl´eans, alors `a la tˆete de la France..
(11) ´orie de Galois La the. 9. Enfin, le 31 mai 1832, apr`es un duel l’opposant `a un officier, Galois succombe `a ses blessures (Certains croient que ce duel a en fait ´et´e organis´e par la police secr`ete). La nuit pr´ec´edente, sentant sa fin proche, il avait veill´e afin d’´ecrire son testament math´ematique, envoy´e ensuite, sous forme de lettres, `a son ami Auguste Chevalier. Il lui avait ´egalement demand´e de faire imprimer ses ´ecrits dans la Revue Encyclop´edique. E. Galois n’ayant pu d´etailler son raisonnement en une seule nuit, ses ´ecrits rest`erent incompris jusqu’en 1843. Ils seront publi´es en 1846 par Liouville, fondateur du Journal des math´ematiques pures et appliqu´ees, qui affirme que Galois a compl´et´e le th´eor`eme d’Abel sur l’impossibilit´e de r´esoudre les ´equations du cinqui`eme degr´e par radicaux. Il est aujourd’hui consid´er´e comme l’inventeur de la th´eorie des groupes, notion d´evelopp´ee ensuite par Cauchy. Son travail sur la th´eorie des ´equations alg´ebriques fut soumis `a l’Acad´emie des Sciences et examin´e par Poisson, qui ne le comprit pas. Si l’histoire de la th´eorie des ´equations alg´ebriques remonte `a la nuit des temps, l’id´ee d’associer un groupe `a cette ´equation n’apparaˆıt qu’au XVIIIe si`ecle. En effet, Joseph-Louis Lagrange (1736–1813) met en ´evidence la relation entre un groupe de permutations des racines et la possibilit´e de r´esolution d’une ´equation de degr´e 3 ou 5. E. Galois a d’ailleurs ´etudi´e les travaux de Lagrange lorsqu’il ´etait en classe pr´eparatoire. Paolo Ruffini (1765–1822) est le premier `a comprendre que l’´equation g´en´erale, et particuli`erement celle de degr´e 5, n’admet pas de solution. Il utilise pour cela les propri´et´es sur les groupes de permutation. Ensuite, Niels Henrik Abel (1802–1829) expose la preuve rigoureuse de l’impossibilit´e de la r´esolution des ´equations de degr´e 5 et envisage le mˆeme r´esultat pour un degr´e sup´erieur `a 5 mais ne trouve pas de preuve parfaite. Ses travaux sont d’abord jug´es sans int´erˆet par Gauss et Cauchy mais ce dernier finit par s’y interesser, ce qui permet `a Abel d’obtenir le Grand Prix de Math´ematiques de l’Acad´emie des Sciences, `a titre posthume. Finalement, il manque encore trois ´el´ements dans cette th´eorie : une preuve rigoureuse, la condition n´ecessaire et suffisante de r´esolvabilit´e de l’´equation et la compr´ehension profonde des m´ecanismes qui rendent possible la r´esolvabilit´e. [Tit82, Gal08, Dup92, Wik3, Wik4]. 1. Les groupes. Commen¸cons par rappeler quelques r´esultats sur les groupes, qui nous seront utiles pour mieux expliquer la notion de groupe de Galois.. 1.1. Structure de groupe. ´ Enon¸ cons quelques d´efinitions ´el´ementaires sur les groupes. D´ efinition 1.1 (Groupe). Soit G un ensemble non vide, muni d’une loi de composition interne d´efinie par (x, y) 7→ x · y. On dit que la loi · d´efinit sur G une structure de groupe, ou que G est un groupe relativement `a cette loi, si les trois axiomes suivants sont v´erifi´es :.
(12) Oph´elie Cinarelli – Emanuelle Cloˆıtre. 10. (G1) la loi · est associative ; (G2) il existe dans (G, ·) un ´el´ement neutre e ; (G3) tout ´el´ement de (G, ·) est sym´etrisable. D´ efinition 1.2 (Sous-groupe). G ´etant un groupe, une partie non vide H de G est un sous groupe de G si : – ∀(x, y) ∈ H × H, x · y ∈ H – ∀x ∈ H, x−1 ∈ H Th´ eor` eme 1.3. Soit H une partie non vide d’un groupe G, alors H est un sous groupe de G si et seulement si : ∀(x, y) ∈ H × H, xy −1 ∈ H D´ efinition 1.4 (Groupe distingu´e). Soit G un groupe. Un sous-groupe H de G est dit distingu´e dans G si et seulement si ∀g ∈ G, gHg −1 = H. ´ D´ efinition 1.5 (Morphisme de groupes). Etant donn´e deux groupes (G, ·) et (G′ , ∗), un morphisme de groupes de G dans G′ est une application f : G → G′ telle que, quels que soient x et y dans G, on ait : f (xy) = f (x) ∗ f (y). Un morphisme de groupes est aussi appel´e homomorphisme de groupes.. D´ efinition 1.6 (Groupes finis). Un groupe G est dit fini s’il n’a qu’un nombre fini d’´el´ements. Dans ce cas, le cardinal de G s’appelle l’ordre du groupe G ; il est not´e |G|. Notation. On notera [G : A] = card(G/A), appel´e indice de A dans G. [Cal98, Chap.1, p17] [Tau07, p51] Voyons, `a present, ce que l’on peut dire sur les groupes r´esolubles.. 1.2. Groupes r´ esolubles. D´ efinition 1.7. Soit G un groupe. (i) Si (x, y) ∈ G2 , on appelle commutateur de x et y l’´el´ement x · y · x−1 · y −1 .. (ii) Le groupe d´eriv´e de G, not´e D(G), est le sous-groupe de G engendr´e par les commutateurs d’´el´ements de G. (iii) On appelle suite d´eriv´ee de G la suite (Dn (G))n>0 de sous-groupes de G d´efinie par D0 (G) = G et ∀n > 0, Dn+1 (G) = D (Dn (G)). D´ efinition 1.8. Soit (G, ·) un groupe. On dit que G est r´esoluble s’il existe n ∈ N tel que n D (G) = {e}. Lemme 1.9. Soit (G, ·) un groupe fini non r´eduit `a {e}. G est r´esoluble si et seulement s’il existe une suite normale G = G0 ⊃ G1 ⊃ · · · ⊃ Gm = {e} de sous-groupes de G tels que ∀0 6 i 6 m − 1, Gi /Gi+1 soit cyclique d’ordre premier..
(13) ´orie de Galois La the. 11. D´emonstration. [Tau07, p184] Proposition 1.10. Soit (G, ·) un groupe. Si G est fini d’ordre premier, il est cyclique et tout ´el´ement de G distinct de e engendre G. Raisonnons par r´ecurrence sur N , l’ordre de G. Si N ∈ {2, 3}, G est cyclique d’apr`es la proposition pr´ec´edente car 2 et 3 sont premiers et on a le r´esultat. Supposons donc N > 4. D´ efinition 1.11. On dit qu’un groupe (G, ·) est simple si les seuls sous-groupes distingu´es de G sont {e} et G. Si G est simple, son groupe d´eriv´e ´etant distingu´e, il est r´eduit `a {e}, car G est r´esoluble. Alors, G est ab´elien et il est clair qu’il est cyclique d’ordre premier. Supposons G non simple. Soit H un sous-groupe distingu´e de G distinct de {e} et de G. Comme H et K = G/H sont r´esolubles, l’hypoth`ese de r´ecurrence implique l’existence des suites normales : H = H0 ⊃ H1 ⊃ · · · ⊃ Hp = {e} et K = K0 ⊃ K1 ⊃ · · · ⊃ Kr = {e} `a quotients successifs cycliques d’ordres premiers. Les groupes Ki s’´ecrivent Gi /H, o` u les Gi sont des sous-groupes contenant H, et o` u Gi+1 est distingu´e dans Gi . D’autre part Gi /Gi+1 est isomorphe `a Ki /Ki+1 . Dans ces conditions, la suite G = G0 ⊃ G1 ⊃ · · · ⊃ Gr = H = H0 ⊃ H1 ⊃ · · · ⊃ Hp = {e} v´erifie les propri´et´es voulues. R´eciproquement : Proposition 1.12. Soit (G, ·) un groupe. Alors G est r´esoluble si et seulement s’il existe une suite normale G = G0 ⊃ G1 ⊃ · · · ⊃ Gm = {e} de sous-groupes de G telle que Gi /Gi+1 soit ab´elien pour 0 6 i 6 m − 1. La r´eciproque est donc imm´ediate d’apr`es cette proposition. [Cal98, p235] [Tau07, p55] [Goz97, p159] Qu’appelle-t-on groupe sym´etrique ?. 1.3. Groupes sym´ etriques. D´ efinition 1.13. Pour n ∈ N \ {0}, l’ensemble Sn des bijections de [[1; n]] dans lui-mˆeme (permutations de [[1; n]]), muni de la loi de composition des applications, est un groupe appel´e le groupe sym´etrique d’indice n. [Cal98, p105] [Tau07, p58] [Goz97, p162] Afin de comprendre la th´eorie de Galois, parlons maintenant des corps..
(14) Oph´elie Cinarelli – Emanuelle Cloˆıtre. 12. 2. Les corps Voici donc des r´esultats sur les corps.. 2.1. G´ en´ eralit´ es. G´ en´ eralit´ es sur les corps D´ efinition 2.1. On dit que (A, +, ×) est un anneau si : (i) (A, +) est un groupe commutatif ;. (ii) × est associative et distributive par rapport `a +. Proposition 2.2. Soit A un anneau. Les conditions suivantes sont ´equivalentes : (i) Tout ´el´ement non nul de A est inversible. (ii) L’ensemble A \ {0} des ´el´ements non nuls de A, muni de la multiplication, est un groupe. Si ces conditions sont v´erifi´ees, on dit que A est un corps. Proposition 2.3. Tout corps est un anneau int`egre. Proposition 2.4. La caract´eristique d’un corps est soit nulle, soit un nombre premier. [Goz97, Chap.1, p1] D´efinissons `a pr´esent une extension de corps, notion `a la base de la th´eorie de Galois. Notion d’extensions de corps (et degr´ e d’extension) D´ efinition 2.5. Soit K un corps. On appelle extension de K tout corps L tel qu’il existe un homomorphisme de corps, j, de K dans L. Notation. ”L/K” signifie ”le corps L est une extension du corps K”. √ √ . Exemple 2.6. L = Q[ 3] = a + 3b, a ∈ Q, b ∈ Q une extension de corps sur Q.. D´ efinition 2.7. Soient K un corps, L une extension de K. On appelle degr´e de l’extension L de K et on note (L : K) la dimension de L comme K-espace vectoriel.. D´ efinition 2.8. Etant donn´e un polynˆ ome f (X) non constant dans K[X], on appellera corps de d´ecomposition de f sur K, toute extension L de K v´erifiant : (i) K ⊆ L et f (X) est scind´e sur L.. (ii) (K ⊆ L′ ⊆ L et f (X) scind´e sur L′ ) ⇒ (L′ = L). [Cal06, Chap.1,pp1-36] [Tau07, Chap.4, p77] [Goz97, Chap.2, p21].
(15) ´orie de Galois La the. 13. Corps fini Th´ eor` eme 2.9. Soit F un corps fini. Alors, (i) sa caract´eristique est un nombre premier p ; (ii) il existe n ∈ N \ {0} tel que Card(F ) = pn . Th´ eor` eme 2.10 (Th´eor`eme de Wedderburn). Tout corps fini est commutatif. [Cal06, p55] [Tau07, p111] [Goz97, p81] Que peut-on dire des extensions alg´ebriques et des extensions transcendantes ?. 2.2. Extensions alg´ ebriques et transcendantes. Extensions alg´ ebriques (et ´ el´ ement alg´ ebrique) D´ efinition 2.11. Soit L une extension d’un corps K, µ un ´el´ement de L et K(µ) l’extension de K obtenue par l’adjonction de µ. L’´el´ement µ est dit alg´ebrique sur K, s’il existe un polynˆ ome non constant f (X), dans K[X], tel que f (µ) = 0. Dans ce cas, on dit que K(µ) est une extension simple, alg´ebrique de K. D´ efinition 2.12. Une extension L d’un corps K est dite alg´ebrique si tout ´el´ement de L est alg´ebrique sur K. On dit ´egalement que L est alg`ebrique sur K. Th´ eor` eme 2.13. Etant donn´e une extension de corps L/K, si µ est un ´el´ement de L, alg`ebrique sur K, alors : (i) Il existe un unique polynˆ ome P (X) unitaire et irr´eductible dans K[X] tel que (f (X) ∈ K[X] \ {0} et f (µ) = 0) ⇒ P (X) | f (x) dans K[X] (ii) L’extension simple K(µ) v´erifie l’´egalit´e K(µ) = {f (µ) : f (X) ∈ K[X]}. (iii) (K(µ) : K) = deg P [Cal06, p11] [Tau07, p79] [Goz97, p30]. Extensions transcendantes (et ´ el´ ement transcendant) D´ efinition 2.14. Soit L une extension d’un corps K, µ un ´el´ement de L et K(µ) l’extension de K obtenue par l’adjonction de µ. L’´el´ement µ est dit transcendant sur K, si µ n’est pas alg`ebrique sur K, donc, si ∀f (X) ∈ K[X] \ K, f () 6= 0. On dit alors que K(µ) est une extension simple, transcendante de K..
(16) Oph´elie Cinarelli – Emanuelle Cloˆıtre. 14. D´ efinition 2.15. Une extension L du corps K est dite transcendante si elle n’est pas alg´ebrique. Th´ eor` eme 2.16. Toute extension simple, transcendante K(µ) de K est K-isomorphe `a l’extension K(X) de K o` u K(X) est le corps des fractions rationnelles `a une ind´etermin´ee sur K. Plus pr´ecis´ement, il existe un isomorphisme f de K(X) sur K(µ) tel que f|K = idK et f (X) = µ. [Cal06, p11] [Tau07, p79] [Goz97, p30] Parlons alors des extensions s´eparables et normales, qui permettront, par la suite, de d´efinir une extension galoisienne.. 2.3. Extensions s´ eparables et normales. Extensions s´ eparables D´ efinition 2.17. (i) On dit qu’un polynˆ ome irr´eductible de K[X] est s´eparable sur K s’il n’a que des racines simples dans un corps de d´ecomposition sur K. (ii) Un polynˆ ome irr´eductible de K[X], qui n’est pas s´eparable sur K, sera dit ins´eparable sur K. Proposition 2.18. Soit K un corps. Soit P ∈ K[X] un polynˆ ome de deg > 1. On note DK (P ) le corps de d´ecomposition de P sur K. Les conditions suivantes sont ´equivalentes : (i) P et P ′ sont premiers entre eux dans K[X] ; (ii) P et P ′ n’ont pas de racine commune dans DK (P ) ; (iii) Dans toute extension L de K, P et P ′ n’ont pas de racine commune ; (iv) P n’a pas de racine multiple dans DK (P ) ; (v) P a deg(P ) racines distinctes dans DK (P ) ; (vi) P n’a que des racines simples dans toute extension L de K. D´ efinition 2.19. Soit L extension de K. A tout ´el´ement µ ∈ L, avex µ alg´ebrique sur K, on associe son polynˆome minimal irr(µ, K, X), qui est un ´el´ement irr´eductible de K[X]. On dit que µ est s´eparable sur K, si et seulement si, le polynˆ ome minimal irr(µ, K, X) est s´eparable ; et que µ est ins´eparable sur K dans le cas contraire. D´ efinition 2.20. Soit L une extension alg´ebrique de K. On dit que L est une extension s´eparable (ou alg´ebrique s´eparable) de K si et seulement si, tout ´el´ement de L est s´eparable sur K..
(17) ´orie de Galois La the. 15. D´ efinition 2.21. Soit L une extension de K. Soit y un ´el´ement de L. Le polynˆ ome minimal de y est le polynˆ ome unitaire, s’il existe, de plus bas degr´e `a coefficients dans K, admettant y comme racine. [Cal06, p41] [Tau07, p130] [Goz97, p95] Extensions normales D´ efinition 2.22. Une extension L de K est dite normale sur K, si (i) L est alg´ebrique sur K. (ii) Tout polynˆ ome irr´eductible de K[X], qui a une racine dans L, est scind´e sur L. Th´ eor` eme 2.23. L ´etant une extension de K, alors L est normale et de degr´e fini sur K si et seulement si L est corps de d´ecomposition sur K d’un polynˆ ome de K[X]. [Cal06, p39] [Tau07, p145] [Goz97, p124] Enfin, nous arrivons `a la th´eorie de Galois en d´efinissant le groupe de Galois, la correspondance de Galois et les extensions galoisiennes.. 2.4. Th´ eorie de Galois. Groupe de Galois [Wik1, Esc04] D´ efinition 2.24. Etant donn´e une extension L d’un corps K, on dit qu’un automorphisme σ du corps L est un K-automorphisme de L, si σ|K = idK D´ efinition 2.25. On appelle groupe de Galois d’une extension L d’un corps K, le groupe des K-automorphismes de L. Notation. Le groupe de Galois d’une extension L du corps K sera not´e Gal(L/K). D´ efinition 2.26. Etant donn´e un polynˆ ome P , non constant dans K[X] et DK [X] un corps de d´ecomposition de P sur K, le groupe de Galois Gal(DK (P )/K) est appel´e groupe de Galois du polynˆ ome P sur K. [Cal06, pp109-177] [Tau07, p180] [Goz97, p25].
(18) Oph´elie Cinarelli – Emanuelle Cloˆıtre. 16 Correspondance de Galois. D´ efinition 2.27. Soient K un corps, L une extension de K et Gal(L/K) le groupe de Galois. On note M l’ensemble des corps interm´ediaires de l’extension, c’est `a dire l’ensemble des corps M tels que K ⊆ M ⊆ L et G l’ensemble des sous groupes de Gal(L/K). Pour tout H ∈ G, on appelle invariant de H dans L, l’ensemble : InvL (H) := {x ∈ L / f orallσ ∈ H, σ(x) = x} Th´ eor` eme 2.28 (Correspondance de Galois). Soit M une extension galoisienne de degr´e fini de K. Pour tout sous-groupe G de Gal(L/K), on note φ(G) le corps des invariants de G dans M . Alors φ est une bijection de l’ensemble H des sous-groupes de Gal(M/K) sur l’ensemble des sous-corps de M contenant K. Le groupe G est le groupe de Galois de M sur φ(G). On a dim φ(G) = card(G) et (Gal(M/K) : G) = [φ(G) : K]. Soit E l’ensemble des corps interm´ediaires de l’extension et H l’ensemble des sousgroupes de Gal(M/K). L’application φ : H → E est d´ecroissante lorsque E et H sont ordonn´es par inclusion. Soient K un corps, M une extension galoisienne de degr´e fini de K. Soit E un corps interm´ediaire. Si E est une extension galoisienne finie de K, alors Gal(E/K) est isomorphe au groupe quotient Gal(M/K)/Gal(M/E). [Cal06, p110] [Tau07, p157,p161] [Goz97, p133] Extensions galoisiennes D´ efinition 2.29. On dit qu’une extension de corps L est galoisienne sur K si (i) L est alg´ebrique sur K ; (ii) K = InvL (Gal(L/K)). Th´ eor` eme 2.30. L est une extension galoisienne de K si et seulement si L est normale et s´eparable sur K. De plus, si L est de degr´e fini, on a |Gal(L/K)| = [L/K]. Lemme 2.31. Soit ξ une racine primitive m-i`eme de l’unit´e. Posons S = {ξ}. Soit M une extension galoisienne finie de K. Alors, l’extension M (S) de K(S) est galoisienne. De plus, le groupe Gal(M (S)/K(S)) est isomorphe `a un sous-groupe de Gal(M/K). D´emonstration. [Tau07, p181] Posons Q ∈ K[X] \ K d´efinit par Q(X) = X m − 1. Q est donc s´eparable. Soit M une extension galoisienne finie de K. Proposition 2.32. Soit M une extension finie de K. L’extension M de K est galoisienne si et seulement s’il existe P ∈ K[X] \ K s´eparable sur K tel que M soit un corps de d´ecomposition de P sur K..
(19) ´orie de Galois La the. 17. D’apr`es cette proposition, il existe P ∈ K[X] \ K s´eparable sur K tel que M soit un corps de d´ecomposition de P sur K. Alors, M (S) est le corps de d´ecomposition de {P, Q} dans K car ξ est racine de Q. M (S) est aussi un corps de d´ecomposition de {P, Q} sur K(S). Th´ eor` eme 2.33. Soit M une extension alg´ebrique de K. Alors l’extension M de K est galoisienne si et seulement s’il existe une famille F de polynˆ omes de K[X] \ K s´eparables sur K, telle que M soit un corps de d´ecomposition de F sur K. L’extension M (S) de K(S) est donc galoisienne. Enfin, appliquons la th´eorie de Galois `a son int´erˆet premier, la r´esolution des ´equations par radicaux. [Cal06, p118] [Tau07, p155] [Goz97, p130]. 3. R´ esolution des ´ equations par radicaux Voyons, tout d’abord, des r´esultats sur les extensions radicales.. 3.1. Extensions radicales. D´ efinition 3.1. Une extension L de K est dite radicale s’il existe et des entiers v´erifiant les conditions suivantes : 1. L = K(x1 , . . . , xn ) ; i 2. notant L0 = K et Li = K(x1 , . . . , xi ) pour 1 6 i 6 n, on a alors xm i ∈ Li−1 .. Th´ eor` eme 3.2. Si L est une extension radicale de K, Gal(L/K) est un groupe r´esoluble. [Cal06, p176] [Tau07, p182] [Goz97, p172] Traitons un exemple d’´equation r´esoluble par radicaux.. 3.2. Equations r´ esolubles par radicaux. D´ efinition 3.3. Soit P ∈ (K[X] \ K) o` u K est une extension de corps. On dit que le polynˆ ome P est r´esoluble par radicaux ou que l’´equation P = 0 est r´esoluble par radicaux, s’il existe une extension L d’un corps de d´ecomposition de P sur K telle que L soit une extension radicale de K. Proposition 3.4. Soit K un corps de caract´eristique nulle. Si P ∈ (K[X] \ K) v´erifie deg P > 5, alors P n’est pas r´esoluble par radicaux..
(20) 18. Oph´elie Cinarelli – Emanuelle Cloˆıtre. Exemple d’´ equation r´ esoluble par radicaux D’apr`es la proposition pr´ec´edente, choisissons un polynˆome de degr´e inf´erieur ou ´egal `a 4. Consid´erons donc le polynˆome irr´eductible de √ degr´e 2 `a coefficients rationnels : P (X) = √ 2 X + 2. Alors, les racines de P sont i 2 et −i 2. √ √ √ M´ ethode 1 Le corps L = Q[i 2] = a + i 2.b, a ∈ Q, b ∈ Q = Q(1, i 2) est un corps √ 2 √ de d´ecomposition de P sur Q. On note L0 = Q, L1 = Q(1) et L2 = Q(1, i 2) , i 2 = √ −2 ∈ L1 . On a donc bien l’existence de x1 = 1, x2 = i 2 et des entiers non nuls m1 = 1 √ i et m2 = 2 tels que : L = Q(1, i 2) et xm i inLi−1 . Donc L est une extension radicale de Q. Donc en utilisant la d´efinition pr´ec´edente, l’´equation est r´esoluble par radicaux. M´ ethode 2 On consid` ere le√mˆeme corps √ de d´ecomposition de√P que √ dans la m´ethode 1. √ √ 2 2).(−i 2).√ Si on permute On a P (X) = (X−i 2).(X+i 2) = X −(i 2+(−i 2)).X+(i √ √ √ 2 + (−i 2) = −i 2+i 2 = 0 les racines dans l’´ e quation, celle-ci reste inchang´ e e car i √ √ √ √ et i 2. − i 2 = −i 2.i 2. On pose T la permutation suivante : √ √ i √2 −i√ 2 T = −i 2 i 2 √ Alors le groupe de Galois de P est {Id, T }. Les commutateurs de √ Gal(Q[i 2]/Q) sont de la forme Id.T.Id−1 .T −1 = Id qui est l’´el´ement √ neutre de Gal(Q[i 2]/Q) donc on a bien l’existence d’un n = 0 tel que Dn (Gal(Q[i 2]/Q)) = Id. Donc le groupe de Galois est r´esoluble et donc d’apr`es le th´eor`eme, P = 0 est r´esoluble par radicaux. Th´ eor` eme 3.5 (Th´eor`eme de Galois). Soient K un corps de caract´eristique nulle, P ∈ (K[X] \ K) et D un corps de d´ecomposition de P sur K. Alors, les assertions suivantes sont ´equivalentes : (i) P est r´esoluble par radicaux ; (ii) Le groupe Gal(D/K) est r´esoluble. D´emonstration. [Tau07, p185] Soient K un corps de caract´eristique nulle, P ∈ (K[X] \ K) et D un corps de d´ecomposition de P sur K. Montrons que (i) ⇒ (ii) : Supposons P r´esoluble par radicaux (i). D´ efinition 3.6. Soit P ∈ (K[X] \ K) o` u K est une extension de corps. On dit que le polynˆ ome P est r´esoluble par radicaux ou que l’´equation P = 0 est r´esoluble par radicaux, s’il existe une extension E d’un corps de d´ecomposition de P sur K telle que E soit une extension radicale de K. D’apr`es la d´efinition 3.6, il existe une extension E du corps de d´ecomposition D sur K telle que E soit une extension radicale de K. D´ efinition 3.7. Etant donn´e un polynˆ ome P (X) non constant dans K[X], on appellera corps de d´ecomposition de P sur K, toute extension D de K v´erifiant :.
(21) ´orie de Galois La the. 19. (i) K ⊆ D et P (X) est scind´e sur D.. (ii) (K ⊆ E ⊆ D et P (X) scind´e sur E) ⇒ E = D.. Or, d’apr`es la d´efinition 3.7, D est la plus petite extension de K telle que P soit scind´e sur K. Donc D ⊂ E d’o` u D est une sous-extension d’une extension radicale. Proposition 3.8. Soit M une sous-extension d’une extension radicale E de K. Alors si car(K) = 0, le groupe Gal(M/K) est r´esoluble.. Or, car(K) = 0 d’o` u, d’apr`es la proposition 3.8, le groupe Gal(D/K) est r´esoluble (ii). Donc (i) ⇒ (ii). Montrons que (ii) ⇒ (i) : Supposons Gal(D/K) r´esoluble (ii). Proposition 3.9. Soit K un corps de caract´eristique nulle. Soit P ∈ (K[X] \ K) o` u K. Alors le corps de d´ecomposition D de P sur K est une extension galoisienne finie. D’apr`es la proposition 3.9, puisque car(K) = 0, D est galoisienne finie. Notons m son degr´e, . Th´ eor` eme 3.10. Soit M une extension de degr´e fini de K. Alors l’extension M de K est galoisienne si et seulement si card(Gal(M/K)) = dimK M . D´emonstration. [Tau07, p162] 1) Supposons card(Gal(M/K)) = [M : K] = n. Proposition 3.11. Soient H et I des ´el´ements de G. On suppose que H ⊂ I, que l’indice n de H dans I est fini, et que H est stationnaire. Alors I est stationnaire et on a [φ(H) : φ(I)] = n. On applique la proposition avec I = Gal(M/K) et H = {idM } ; et comme Ksubsetφ(Gal(M/K)), il vient : n = [M : K] > [M : φ(Gal(M/K))] = (I : H) = n. D’o` u K = φ(Gal(M/K)) = M Gal(M/K) . Th´ eor` eme 3.12. Soit M une extension alg´ebrique de K. Alors l’extension M de K est galoisienne si et seulement si K = M Gal(M/K) . Ainsi M est galoisienne sur K, d’apr`es ce th´eor`eme. 2) R´eciproquement, d’apr`es le th´eor`eme 2.28, on a le r´esultat.. Donc, d’apr`es le th´eor`eme 3.10, m = card(Gal(D/K)). Soit ξ une racine primitive m-i`eme de l’unit´e et L = K(ξ). D’o` u, d’apr`es le lemme 2.31, D(ξ) est une extension galoisienne de L. Donc, d’apr`es le th´eor`eme 3.10, card(Gal(D(ξ)/L)) = dimL D(ξ). Posons s = dimL D(ξ). Proposition 3.13. En conservant les notations du lemme pr´ec´edent, le groupe Gal(M/K) est r´esoluble si et seulement si le groupe Gal(M (S)/L) est r´esoluble..
(22) 20. Oph´elie Cinarelli – Emanuelle Cloˆıtre. Or, Gal(D/K) est r´esoluble (ii) d’o` u, d’apr`es la proposition 3.13, le groupe Gal(D(ξ)/L) est r´esoluble. D’apr`es le lemme 2.31, Gal(D(ξ)/L) est isomorphe `a un sous-groupe de Gal(D/K). Donc s divise m. Si p est un diviseur premier de m, L contient alors les racines p-i`emes de l’unit´e. Lemme 3.14. Soit (G, ·) un groupe fini non r´eduit `a {e}. G est r´esoluble si et seulement s’il existe une suite normale G = G0 ⊃ G1 ⊃ · · · ⊃ Gm = {e} de sous-groupes de G tels que Gi /Gi+1 soit cyclique d’ordre premier pour 0 6 i 6 m − 1. Comme Gal(D/K) est r´esoluble, d’apr`es le lemme 3.14, il existe une suite normale `a quotients successifs d’ordre pi premiers. Donc les entiers pi divisent s. Or, s divise m donc les pi divisent m. Posons Li = φ(Gi ). D’apr`es le th´eor`eme 2.28, on a K = L0 ⊂ L1 ⊂ · · · ⊂ Lr−1 ⊂ Lr = D(ξ). Th´ eor` eme 3.15. Soit M une extension galoisienne de degr´e fini de K et E une sousextension de M . Alors E est une extension normale de K si et seulement si E est une extension galoisienne de K. Or, D(ξ) est une extension galoisienne de degr´e fini de L et Li+1 est une extension normale de Li (car on a une suite normale). D’o` u, d’apr`es le th´eor`eme 3.15, Li+1 est une extension galoisienne de Li . On d´eduit du th´eor`eme 2.28 que Gal(Li+1 /Li ) est isomorphe `a Gi /Gi+1 . Th´ eor` eme 3.16. On suppose que K contient une racine primitive n-i`eme de l’unit´e. Soit M une extension cyclique de degr´e n de K. Il existe x ∈ M tel que M = K(x) et xn −1 = 0. Les pi sont des diviseurs premiers de m donc L contient les racines pi -`emes de l’unit´e (car L ⊂ Li ). Li+1 est une extension cyclique de degr´e pi de L. i Donc, d’apr`es le th´eor`eme 3.16, il existe xi+1 inLi+1 tel que Li+1 = Li (xi+1 ) et xpi+1 −1 = 0. i Ainsi xpi+1 = 1, donc Li contient les racines pi -`emes de l’unit´e. D’o` u, D(ξ) est une extension radicale de L = K(ξ), donc de K. Or, D ⊂ D(ξ) d’o` u D est une extension radicale de K. Donc, d’apr`es la d´efinition 3.6, P est r´esoluble par radicaux (i). D’o` u (ii) ⇒ (i). Donc (i) ⇔ (ii). [Cal06, p178] [Tau07, p184] [Goz97, p169] Enfin, voici un exemple d’´equation non r´esoluble par radicaux..
(23) ´orie de Galois La the. 3.3. 21. Exemple d’´ equation non r´ esoluble par radicaux. Crit` ere d’Eisenstein Soit P le polynˆome `a coefficient entiers suivant : P (x) = an · xn + an−1 · xn−1 + · · · + a1 · x + a0 . S’il existe un nombre premier p tel que p divise chaque ai sauf an et p2 ne divise pas a0 , alors P (x) est irr´eductible sur Q[X]. Proposition 3.17. Soient P ∈ Q[X] un polynˆ ome irr´eductible de degr´e p premier, D ⊂ C un corps de d´ecomposition de P . On suppose que P poss`ede exactement deux racines non r´eelles. Alors Gal(D/Q) est isomorphe `a Sp , le groupe sym´etrique de degr´e p. D´emonstration. [Tau07, p187] Si x ∈ C est racine de P , alors P est le polynˆome minimal de x sur Q. D’o` u p = [Q[X] : Q]. Or [D : Q] = [D : Q(x)].[Q(x) : Q] = [D : Q(x)].p donc p divise [D : Q] . Proposition 3.18. Soit L une extension finie de K. L’extension L de K est galoisienne si et seulement s’il existe p ∈ K[X] \ K s´eparable sur K tel que L soit un corps de d´ecomposition de P sur K. Donc D est une extension galoisienne de K. Th´ eor` eme 3.19. Soit L une extension de degr´e fini. L’extension L de K est galoisienne si et seulement si card(Gal(L/K)) = [L : K]. Donc [D : Q] = card(Gal(D/Q)). Th´ eor` eme 3.20 (Th´eor`eme de Cauchy). Soient G un groupe fini de cardinal N et p un diviseur premier de N . Alors il existe un ´el´ement d’ordre p dans G. Donc ici, p divisant card(Gal(D/Q)), il existe un ´el´ement d’ordre p dans Gal(D/Q). C → C . σ ∈ Gal(C/Q). Comme car(Q) = 0, D est une extension galoiSoit σ : z 7→ z sienne de par la proposition 3.9. ˜ Supposons que L est Proposition 3.21. Soit L une extension de K contenue dans K. ˜ σ(M ) ⊂ L et normale sur K et soit M une sous-extension de L. ∀σ ∈ HomK (M, K), ∃τ ∈ Gal(L/K) induisant σ sur M , i.e. τ = σ|M ∈ Gal(L/K). Ici, D est galoisienne dans Q, donc elle est, en particulier, normale. Donc σ|D ∈ Gal(D/Q) d’apr`es la proposition pr´ec´edente. Or, P poss`ede exactement deux racines non r´eelles, qui sont forc´ement conjugu´ees. Donc σ ´echange n´ecessairement ces deux racines et fixe les racines r´eelles. Lemme 3.22. L’application θ : Gal(D/K) → Ss σ 7→ θσ est un homomorphisme injectif de groupes..
(24) 22. Oph´elie Cinarelli – Emanuelle Cloˆıtre. En identifiant Gal(D/Q) `a uynˆon sous-groupe de Sp d’apr`es le lemme pr´ec´edent, Gal(D/Q) contient une transposition (σ). Or, pour p premier, les ´el´ements d’ordre p dans Sp sont exactement les p-cycles. Donc Gal(D/Q) contient une transposition et un p-cycle. Proposition 3.23. Soit p un nombre premier τ ∈ Sp une transposition, c ∈ Sp un p-cycle. Alors τ et c engendrent Sp . On a donc deux ´el´ements de Gal(D, Q) qui engendrent Sp donc Gal(D, Q) est isomorphe `a Sp . Th´ eor` eme 3.24. le groupe Sp est r´esoluble si et seulement si p 6 4. Exemple Soit f (X) = X 5 − 4X − 2 dans Q[X]. On remarque que 2 divise a0 = −2, 2 divise a1 = −4 et 2 ne divise pas a5 = 1. De plus, 22 = 4 ne divise pas a0 = −2. Donc f (X) est un polynˆome irr´eductible sur Q[X], d’apr`es le crit`ere d’Eisenstein avec p = 2. On note que : f (−2) = (−2)5 − 4 · (−2) − 2 = −26 < 0 f (−1) = (−1)5 − 4 · (−1) − 2 = 1 > 0 f (0) = 05 − 4 · 0 − 2 = −2 < 0 f (1) = 15 − 4 · 1 − 2 = −5 < 0 f (2) = 25 − 4 · 2 − 2 = 22 > 0 Or, la fonction polynˆome f est continue de R dans R. Donc il existe α1 , α2 , α3 r´eels tels que −2 < α1 < −1 < α2 < 0 < 1 < α3 < 2 et f (αi ) = 0 pour i ∈ {1, 2, 3}. √ √ f ′ (X) = 5 · X 4 − 4 = ( 5 · X 2 − 2) · ( 5 · X 2 + 2) q √ Le signe de f ′ (x) est celui de 5 · X 2 − 2 qui s’annule pour x = ± √25 . On pose alors q β = √25 et donc f ′ (β) = f ′ (−β) = 0. D’o` u le tableau de variation de la figure 1 ; et plus pr´ecis´ement celui de la figure 2. Donc on a : −2 < α1 < −1 < β < α2 < 0 < β < 1 < α3 < 2 et f (X) a un maximum positif f (−β) et un minimum n´egatif f (β). Donc f (X) a exactement trois racines r´eelles distinctes α1 , α2 et α3 . Il y a donc deux racines complexes, non r´eelles. Donc d’apr`es la proposition pr´ec´edente, le groupe de Galois de f (X) est isomorphe au groupe sym´etrique S5 , qui est non r´esoluble. Donc finalement, f (X) est non r´esoluble par radicaux. [Cal06, p178] [Tau07, p187] [Goz97, p175].
(25) ´orie de Galois La the. 23. Fig. 1 – Graphe de f. Fig. 2 – Graphe de f - Agrandissement.
(26) 24. Oph´elie Cinarelli – Emanuelle Cloˆıtre. Conclusion Le concept g´en´eral de la th´eorie de Galois, que nous avons expos´e ici, a r´evolutionn´e les math´ematiques dans diverses branches. On parle, par exemple, de la th´eorie de Galois diff´erentielle ou la th´eorie de Galois des revˆetements. Elle permet ´egalement de d´emontrer des r´esultats sur la constructibilit´e des polygones `a la r`egle et au compas. Cette ´etude nous a appris `a comprendre et assimiler des notions totalement inconnues et nous a montr´e le g´enie de Galois, qui, nous le rappelons, a ´etabli cette th´eorie si importante `a seulement 20 ans.. R´ ef´ erences [Cal06] Extensions de corps : th´eorie de Galois, Calais, Josette, 2006. [Cal98] El´ements de la th´eorie des groupes, Calais, Josette, 1998. [Dup92] La vie d’Evariste Galois, Dupuy, Paul, 1992. [Esc04] Th´eorie de Galois : Cours et exercices corrig´es, Escofier, Jean-Pierre, 2004. [Gal08] Manuscrits / de Evariste Galois, Galois, Evariste, 1908. [Goz97] Th´eorie de Galois, Gozard, Ivan, 1997. [Tau07] Corps commutatifs et th´eorie de Galois : cours et exercices, Tauvel, Patrice, 2007. [Tit82] Evariste Galois : son oeuvre, sa vie, ses rapports avec l’Acad´emie, Tits, Jacques, 1982. [Wik1] Th´eorie de Galois, Wikip´edia, http ://fr.wikipedia.org/wiki/Th´ eorie de Galois♯Applications ´variste Galois [Wik3] Evariste Galois, Wikip´edia, http ://fr.wikipedia.org/wiki/E [Wik4] Th´eor`eme d’Abel, Wikip´edia, ebre http ://fr.wikipedia.org/wiki/Th´ eor´ eme d’Abel alg` [WIKti] Temp´erament in´egal, Wikip´edia, http ://fr.wikipedia.org/wiki/Temp´ erament in´ egal.
(27) INTEGRABILITE DES SYSTEMES HAMILTONIENS C´edric Moll L3 Math´ematiques Travail d’Initiative Personnelle - T.I.P.E. Ann´ee 2007 - 2008. Table des mati` eres Introduction. 26. 1. G´ eneralit´ es 1.1 D´efinitions et remarques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Exemple 1 : le syst`eme de Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Exemple 2 : le syst`eme de H´enon-Heiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 29 29 33 34. 2 Crit` eres de non-int´ egrabilit´ e 2.1 D´efinitions et remarques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Le th´eor`eme de Morales et Ramis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 36 36 39. 3 Le probl` eme plan de trois corps 3.1 Description . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Les ´equations normales variationnelles . . . . . . . . . . . . 3.3 Etudes locale et globale de l’´equation normale variationnelle 3.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 40 40 41 43 43. 25. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . ..
(28) 26. C´edric Moll. Introduction Les hamiltoniens sont des objets math´ ematiques que l’on rencontre souvent en physique et plus particuli` erement en m´ ecanique des solides. Pour mieux comprendre ce qu’est un hamiltonien, voyons d’abord un premier exemple : l’oscillateur harmonique.. Fig. 1 – Oscillateur harmonique Le mouvement rectiligne du solide peut ˆetre d´ecrit par l’´equation diff´erentielle : x′′1 + ω 2 x1 = 0 Mais cette ´equation peut aussi s’´ecrire sous la forme d’un syst`eme diff´erentiel, appel´e syst`eme hamiltonien : ∂H (x1 , x2 ) x′1 = ∂x2 avec. ∂H x′2 = − (x1 , x2 ) ∂x1. 1 H = ω(x21 + x22 ) 2 La fonction H est un hamiltonien : elle repr´sente `a une constante multiplicative pr`es, l’´energie du solide. Si (x1 , x2 ) est une solution du syst`eme, alors H(x1 , x2 ) est constante au cours du temps. On dit alors que H est une int´egrale premi`ere du syst`eme hamiltonien. Dans l’exemple, le fait que H soit constante est une cons´equence de la conservation de l’´energie m´ecanique du syst`eme..
(29) ´grabilite ´ des syste `mes hamiltoniens Inte. 27. En r`egle g´en´erale, on ne cherche pas `a trouver une expression explicite de l’ensemble des solutions : la connaissance d’un nombre suffisant de quantit´es conserv´ees permet de d´ecrire suffisamment bien la g´eom´etrie des solutions. On parle alors de syst`eme compl`etement int´egrable, au sens de Liouville. Il y a de nombreux exemples de syst`emes hamiltoniens compl`etement int´egrables. Commen¸cons par les deux plus classiques : La toupie Tout le monde a d´ej`a vu, touch´e, jou´e avec une toupie (sinon, en voici une - voir la figure 2). On consid`ere ici que c’est un solide avec un point fixe (celui o` u la toupie est en contact avec le plan horizontal, le point O de la figure) soumis `a la seule pesanteur. Ce solide a un axe de r´evolution. Le syst`eme m´ecanique a ´et´e ´etudi´e par Lagrange `a la fin du XVIIIe si`ecle. En plus de l’´energie totale, il y a ´evidemment une deuxi`eme quantit´e conserv´ee : le moment par rapport `a l’axe de sym´etrie. Comme tous les enfants le savent, l’extr´emit´e de l’axe de r´evolution oscille entre deux parall`eles de la sph`ere centr´ee au point fixe, comme indiqu´e sur la figure.. Fig. 2 – Une toupie. Le pendule sph´ erique Il s’agit d’un pendule, suspendu `a un point fixe O par une tige rigide, et soumis, lui aussi, `a la seule pesanteur. Il y a encore une deuxi`eme int´egrale premi`ere « ´evidente », le moment par rapport `a la verticale. La boule tourne autour de l’axe vertical tout en oscillant entre deux petits cercles parall`eles de la sph`ere. La figure ci-dessous repr´esente la projection d’une trajectoire sur un plan horizontal. G´ eod´ esiques On aura remarqu´e la similitude des deux situations pr´ec´edentes. Des comportements analogues (oscillation dans une bande) apparaissent dans de nombreux autres probl`emes de m´ecaniques, comme, par exemple, le mouvement d’une particule libre sur une surface de r´evolution ou sur un ellipso¨ıde. Une particule libre va au plus court et suit une g´eod´esique. Les figures ci-dessous repr´esentent une g´eod´esique d’une surface de r´evolution et d’un ellipso¨ıde respectivement. Dans le cas de la surface de r´evolution, le moment de la particule par rapport `a l’axe de r´evolution est une int´egrale premi`ere. Pour un ellipso¨ıde « quel-.
(30) 28. C´edric Moll. Fig. 3 – Le pendule sph´erique conque »(pas de r´evolution), c’est moins ´evident, mais il y a aussi une « deuxi`eme »int´egrale premi`ere (Jacobi, 1838, Uhlenbeck, 1980).. Fig. 4 – G´eod´esique Des bandes et des tores Une expression g´eom´etrique ou dynamique de l’int´egrabilit´e de Liouville est la r´egularit´e des solutions. Le mouvement d´ecrit par un syst`eme hamiltonien int´egrable est extrˆemement r´egulier. Les trajectoires s’enroulent sur des tores (c’est le th´eor`eme dit d’Arnold-Liouville), chacune revenant r´eguli`erement pr`es de son point initial ; on dit que le mouvement est « quasi p´eriodique ». Les syst` emes hamiltoniens sont-ils tous int´ egrables ? On l’a vu, la physique peut fournir des int´egrales premi`eres, comme le moment par rapport `a un axe de r´evolution (toupie, pendule sph´erique, particule libre sur une surface de r´evolution...). Il y a aussi beaucoup de syst`emes hamiltoniens qui ne sont pas int´egrables ou dont on peut soup¸conner qu’ils ne sont pas int´egrables, parce que l’on n’a pas ´et´e capable.
(31) ´grabilite ´ des syste `mes hamiltoniens Inte. 29. de leur trouver assez d’int´egrales premi`eres, et surtout parce que des exp´eriences ou simulations num´eriques montrent un comportement chaotique incompatible avec le th´eor`eme d’Arnold-Liouville. Le probl` eme ` a n corps Le plus c´el`ebre est le probl`eme « de la Lune »(probl`eme de trois corps en interaction gravitationnelle). On sait que le probl`eme `a deux corps (Soleil-Terre) est int´egrable (nous le traiterons par la suite en exemple 1). C’est mˆeme pour l’int´egrer que Lagrange a introduit les pr´emisses de la g´eom´etrie symplectique et de la m´ecanique hamiltonienne.. Dans ce dossier nous allons consacrer une premi`ere partie `a nous familiariser avec les notions essentielles qui se rapportent aux syst`emes hamiltoniens. Dans un deuxi`eme temps nous verrons des crit`eres de non int´egrabilit´e des syst`emes hamiltoniens pour pouvoir, dans une troisi`eme partie, ´etudier le probl`eme plan des trois corps, et prouver comme l’a fait Poincar´e avant nous - que ce dernier n’est pas int´egrable.. 1. G´ eneralit´ es. 1.1. D´ efinitions et remarques. Dans ce paragraphe nous allons d´efinir les syst`emes hamiltoniens, ainsi que les notions essentielles qui se rapportent `a l’´etude de ces syst`emes. D´ efinition 1 (Syst` eme hamiltonien). ∗ Soient n ∈ N , q1 , . . . , qn , p1 , . . . , pn ) ∈ Rn × Rn . – Les variables pi et qi sont appel‘’ees varibles conjugu´ees. – L’entier n est appel´e le nombre de degr`es de libert´e. Un syst` eme hamiltonien sur U ⊂ R2n est un syst`eme d’´equations diff´erentielles de la forme : ∂H (q, p) qj′ = ∂pj ∀j ∈ [[1; n]], ∂H (q, p) p′j = − ∂qj Avec H : U → R, la fonction hamiltonien.. Remarque (Interpr´ etation physique). 1. Les variables pi (respectivement qi ) sont des impulsions (respectivement des positions)..
(32) 30. C´edric Moll 2. La fonction hamiltonien repr´esente, `a une constante multiplicative pr`es, une ´energie m´ecanique, i.e, la somme d’une ´energie potentielle et d’une ´energie cin´etique (cf. Exemple 1).. Proposition 1.1. Le syst`eme peut s’´escrire aussi sous forme matricielle : −−→ X ′ = J · grad H(X) avec J et X d´efinis par :. J =. . 0 −In. . q1 .. . In q et X = n 0 p1 . .. pn. −−→ D´ emonstration. En effet, le vecteur grad H(X) ∈ R2n a pour terme g´en´eral : ∂H (q, p) ∂q1 .. . ∂H (q, p) −−→ ∂q n grad H(X) = ∂H ∂p1 (q, p) .. . ∂H (q, p) ∂pn Et donc en effectuant le produit matriciel on obtient trivialement : ∂H ∂q. 1 0 ... 0 1 ... 0 .. .. . . . .. .. . . . .. . . . ∂H . −−→ 0 ... 0 0 ... 1 ∂q n = J · grad H(X) = · −1 . . . 0 0 . . . 0 ∂H . . .. . . ... ... . . . ... ∂p. 1 . . 0 . . . −1 0 . . . 0 ∂H ∂pn. ∂H ∂p1 .. . ∂H ∂pn ∂H − ∂q1 .. . ∂H − ∂qn. . = X′ . .
(33) ´grabilite ´ des syste `mes hamiltoniens Inte. 31. Remarque. Cette caract´erisation nous sera tr`es utile pour les d´emonstrations ullt´erieures. D´ efinition 2. Une fonction G : U → R est une int´egrale premi`ere du syst`eme hamiltonien si pour toute solution X(t) du syst`eme on a : dG X (t) = 0 dt D´ efinition 3 (Crochet de Poisson). Soient Rn × Rn → R f: X = (q1 , . . . , qn , p1 , . . . , pn ) 7→ f (X) et. g:. Rn × Rn → R X = (q1 , . . . , qn , p1 , . . . , pn ) 7→ g(X). On appelle crochet de Poisson de f (X) et g(X) et on note {f (X), g(X)} la quantit´e : {f (X), g(X)} =. n X ∂f i=1. ∂g ∂f ∂g (X) · (X) − (X) · (X) ∂pi ∂qi ∂qi ∂pi. Ou de mani`ere ´equivalente : −−→ −−→ {f (X), g(X)} = hgrad G(X), J · grad H(X)i J ´etant la matrice d´efinie pr´ec´edemment. Proposition 1.2. On a la caract´erisation suivante des int´egrales premi`eres : ! dG X (t) = 0 ⇔ {G(X), H(X)} = 0 dt D´ emonstration. Rappelons tout d’abord que pour une fonction G des variables (q1 , . . . , qn , p1 , . . . , pn , t), on a la relation : n X ∂G ∂G ∂G dqi + dpi + dG = dt ∂qi ∂pi ∂t i=1. On peut noter que les int´egrales premi`eres ne d´ependent pas « explicitement »du temps, mais ce sont les variables conjugu´ees (pi , qi ) qui sont des fonctions du temps, de sorte que = 0 On en d´eduit alors l’expression : l’on a ∂H ∂t n. dG X = dt i=1. . ∂G ∂qi. dqi dpi ∂G · · + dt ∂pi dt.
(34) 32. C´edric Moll. Revenons alors `a la d´efinition premi`ere d’un syst`eme hamiltonien : ∂H dqj = (q, p) dt ∂pj ∀j ∈ [[1; n]], dpj ∂H =− (q, p) dt ∂qj. On en d´eduit alors l’expression de n. dG X = dt i=1. . dG dt. ∂G ∂qi. :. ∂H ∂G ∂H · − · ∂pi ∂pi ∂qi. Ce qui correspond, au signe pr`es, au crochet de Poissons des fonctions G et H. Remarque. On a en particulier {H(X), H(X)} = 0, ce qui prouve que le hamiltonien est bien une int´egrale premi`ere du syst`eme. Proposition 1.3. Si G est une int´egrale premi`ere du syst`eme, alors l’ensemble des solutions se trouve sur les hypersurfaces affines d’´equation G = c avec c une constante. Ainsi les int´egrales premi`eres donnent la g´eom´etrie de la courbe solution. D´ emonstration. On doit montrer deux choses : 1. les solutions se trouvent sur les surfaces d’´equation G = c, c ∈ R 2. les surfaces en question sont bien des hypersurfaces. Soit G une int´egrale premi`ere du syst`eme hamiltonien. 1. D’apr`es la d´efinition des int´egrales premi`eres, G satisfait la propri´et´e : ∀X, solution du syst`eme , on a :. dG X (t) = 0 dt. Si on note SX l’ensemble des solutions du syst`eme hamiltonien, l’´equation diff´eren dG tielle X (t) = 0 admet pour solutions sur SX toutes les fonctions qui y sont dt constantes. Donc G est bien constante sur l’ensemble des solutions ; reste `a prouver que cet ensemble est une hypersurface. dG 2. Si G n’est pas la fonction nulle1 , l’´equation X (t0 ) = 0 est un syst`eme vectoriel dt dont chacune des composantes donne l’´equation d’une tangente `a la courbe solution au point t0 , par rapport `a une des directions du vecteur X, `a savoir les directions pi et qi . Localement, au voisinage de t0 , ces courbes forment un hyperplan, et donc la courbe globale obtenue est bien une hypersurface de R2n . 1. on peut exclure la fonction nulle car elle est toujours solution triviale de l’´equation, mais elle n’apporte aucune information sur les solutions ou sur l’int´egrabilit´e du syst`eme, conform´ement `a la d´efinition 4..
(35) ´grabilite ´ des syste `mes hamiltoniens Inte. 33. D´ efinition 4 (Syst` eme compl` etement int´ egrable). Un syst`eme hamiltonien de degr´e de libert´e n est dit compl`etement int´egrable s’il poss`ede n int´egrales premi`eres Gi , 1 6 i 6 n en involution, i.e. qui v´erifient : 1. G1 , . . . , Gn sont fonctionnellement ind´ependantes, ce qui ´equivaut `a l’ind´ependance n−−→ −−→ o de la famille de vecteurs grad G1 , . . . , grad Gn . 2. Pour toute solution X, on a :. ∀(i, j) ∈ [[1; n]]2 , {Gi (X), Gj (X)} = 0. 1.2. Exemple 1 : le syst` eme de Kepler. Description Le probl`eme de Kepler dans le plan d´ecrit deux corps en interaction gravitationnelle mutuelle ; l’un des deux corps est fixe `a l’origine. On peut condid´erer par exemple le Soleil suppos´e fixe, autour duquel gravite la Terre. R´ esolution du syst` eme La fonction hamiltonien de ce syst`eme s’´ecrit2 : H=. µ 1 2 p1 + p22 − p 2 q1 + q22 |2 {z } {z } | ´ Energie cin´ etique. ´ Energie potentielle. Le syst`eme s’´ecrit alors sous forme matricielle : ′ p1 q1 q2′ p2 ′ = p1 −µq1 (q12 + q22 )−3/2 p′2 −µq2 (q12 + q22 )−3/2. . Notons G = p1 q1 − p2 q2 ; il est alors ais´e de v´erifier que G ainsi d´efinie est une int´egrale premi`ere du syst`eme, en effet : −−→ −−→ {G(X), H(X)} = hgrad G(X), J· grad H(X)i p1 * −p2 + p1 p 2 = q2 , −µq1 (q12 + q22 )−3/2 = 0 −q1 −µq2 (q12 + q22 )−3/2 Donc G est bien une int´egrale premi`ere du syst`eme de Kepler.. Remarque. Cette int´egrale premi`ere repr´esente l’int´grale du moment angulaire du syst`eme ; physiquement, il s’agit d’une cons´equence de la loi des aires : « le segment joignant les deux corps d´ecrit des surfaces ´egales sur des intervalles de temps ´egaux ». 2. nous avions vu plus haut que le hamiltonien ´etait assimilable `a l’´energie du syst`eme.
(36) 34. C´edric Moll. Conclusion Le syst`eme de Kepler poss`ede deux int´egrales premi`eres ind´ependantes3 ; d’apr`es la d´efinition, le syst`eme est donc compl`etement int´egrable.. 1.3. Exemple 2 : le syst` eme de H´ enon-Heiles. Description En r`egle g´en´eral il n’est pas facile de d´eterminer si un syst`eme est int´egrable, les cas aussi favorables que celui de l’exemple pr´ec´edent sont rares... Nous allons voir ici un exemple plus complet : il s’agit du syst`eme de Heinon Heiles, dont le hamiltonien s’´ecrit4 : 1 1 λ H = (p21 + p22 ) + (Aq12 + Bq22 ) − q12 q2 − q23 2 2 3 Avec A, B, λ des param`etres `a pr´eciser. ´ Ecriture matricielle : Sous forme matricielle, le syst`eme peut s’´ecrire : ′ p1 q1 q2′ p2 ′ = p1 −Aq1 + 2q1 q2 p′2 −Bq2 + q12 + λq22. . Nous n’allons pas ici ´etudier l’int´egrabilit´e du syst`eme complet pour toutes les valeurs possibles, ce serait tr`es long (et compliqu´e !). Nous allons nous contenter d’observer le comportement du syst`eme pour quelques valeurs particuli`eres. ´ Etude du cas A = B et λ = 1 On commence par effectuer un changement de variables en posant : q1 = x 1 + x 2 q2 = x 1 − x 2 p1 = y1 + y2 p2 = y1 − y2 On obtient alors une nouvelle expression de H :. 4 4 1 H = (y12 + y22 ) + Ax21 − x31 + Ax22 + x32 2 3 3 On note G la fonction d´efinie par : 1 4 G = y12 + Ax21 − x31 2 3 3. l’ind´ependance est triviale ` a v´erifier, il suffit de comparer les gradients des fonctions qui sont explicit´es ci-dessus pour constater qu’ils forment un syst`eme libre. 4 c’est un cas d’´ecole, concr`etement il n’y a que tr`es peu d’applications physiques ; en astrophysique ce genre de syst`eme sert par exemple ` a la mod´elisation de la trajectoire d’une ´etoile dans une dimension cylindrique... Bref : des cas tr`es particuliers !.
(37) ´grabilite ´ des syste `mes hamiltoniens Inte. 35. Alors on peut v´erifier que G est une int´egrale premi`ere du syst`eme, en effet : −−→ −−→ {G(X), H(X)} = hgrad G(X), J · grad H(X)i * 2Ax1 − 4x21 0 = y1 0. * 2Ax1 − 4x21 0 = y1 0. . 0 0 0 0 , −1 0 0 −1. 1 0 0 0. . 2Ax1 − 4x21 0 2 1 · 2Ax2 + 4x2 y1 0 y2 0. y1 + y 2 , −(2Ax1 − 4x21 ) = 0 −(2Ax2 + 4x22 ). . +. De plus G et H sont en involution5 ; on a donc n = 2 int´egrales premi`eres en involution : le syst`eme est donc compl`etement int´egrable dans ce cas. Remarque (interpr´ etation g´ eom´ etrique). On sait que G et H sont constantes sur l’ensemble des solutions. G et H ´etant ind´ependantes, on a donc 2 s´eries d’hyperplans affines de R4 dont l’intersection donne l’ensemble des solutions du syst´eme ; l’ensemble des solutions n’est pas facile `a exhiber et demande ´enorm´ement de calculs et l’utilisation de notions que nous verrons par la suite. Pour ce cas tr`es particulier, on peut cependant remarquer que les droites param´etr´ees : q1 (t) = 0 p1 (t) = 0 q2 (t) = at − b p2 (t) = a Avec a et b des constantes, forment une famille de solutions du syst`eme hamiltonien.. Autres cas int´ eressants Selon les valeurs de λ on peut obtenir des r´esultats tr`es diff´erents, on peut citer deux exemples øgclassiques » : 1. Pour λ = 23 , le syst`eme n’est pas int´egrable. 2. Pour λ = 6 on a `a faire `a un syst`eme int´egrable ´egalement, on a la seconde int´egrale premi`ere qui est d´efinie par : G = q14 + 4q12 q22 + 4p1 (p1 q2 − p2 q1 ) − 4Aq12 q2 + (4A − B)(p21 + Aq12 ) Ce dernier exemple montre bien qu’en g´en´eral il n’est pas ais´e de trouver une int´egrale premi`ere d’un syst`eme hamiltonien - et encore ici on n’a « que »n = 2. Et si on ne trouve pas (assez) d’int´grale premi`ere, est-ce parce qu’on n’a pas (assez) cherch´e 5. les gradients sont explicit´es et on voit qu’ils sont ind´ependant (trivial).
(38) 36. C´edric Moll. ou est-ce qu’elles n’existent pas ? On voit donc que la m´ethode de calcul directe n’est pas la meilleure, d’o` u l’int´erˆet de chercher une m´ethode qui permettrait de pr´edire si un syst`eme est int´egrable sans avoir `a calculer les int´egrales premi`eres. Ce sera notre objectif dans les paragraphes qui vont suivre. En fait nous allons expliciter une m´ethode qui permet de montrer qu’un syst`eme n’est pas int´egrable.. 2. Crit` eres de non-int´ egrabilit´ e. 2.1. D´ efinitions et remarques. D´ efinition 5 (Hessien). Soient p ∈ N∗ , U un ouvert de Rp , f : U → R et x0 ∈ Rp . Le d´eveloppement de Taylor de f au voisinage de x0 est donn´e par : p p p X ∂f 1 XX ∂2f f (x) = f (x0 ) + (x0 ) · xi + (x0 ) · xi xj + . . . ∂xi 2 i=1 j=1 ∂xi ∂xj i=1 1 = c − bx + x · H · x 2 −−→ Avec c = f (x0 ), b = −grad f (x0 ) et H(f, x0 ) = (hi,j )(i,j)∈[|1;p|]2 ∂2f o` u ∀(i, j) ∈ [|1; p|]2 , hi,j = (x0 ). ∂xi ∂xj La matrice H(f, x0 ) est appel´ee hessien de f en x0 . ´ D´ efinition 6 (Equation variationnelle). On appelle ´equation variationnelle le long d’une solution V0 du syst`eme hamiltonien, l’´equation diff´erentielle d´efinie par : h′ = J · H(H, V0 ) · h avec H(H, V0 ) le hessien de H en V0 . Remarque. 1. La d´efinition de l’´equation est bien coh´erente : H est une fonction de R2n dans R, donc H ∈ M2n (R) et J ∈ M2n (R). 2. En pratique on ne travaille pas `a partir de l’´equation variationnelle, mais de l’´equation normale variationnelle, qui est obtenue `a partir de la premi`ere mais pr´esente l’avantage de n’avoir que 2n − 2 variables ; nous verrons cel`a en troisi`eme partie dans l’exemple du probl`eme plan des trois corps. D´ efinition 7 (Extension). Soit E un ensemble : (E est une extension du corps K) ⇔ (K est un sous-corps de E).
(39) ´grabilite ´ des syste `mes hamiltoniens Inte. 37. D´ efinition 8 (Degr´ e d’une extension). On appelle degr´e de l’extension E de K, la dimension de E en tant que K-espace vectoriel. On le note : [E : K] = dimK E Une extension E de K sera dite finie si [E : K] est fini. D´ efinition 9 (Extension normale). Une extension alg´ebrique E de K sera dite normale si, et seulement si, ∀P ∈ K[X], irr´eductible, on a l’implication : (∃x ∈ E,. P (x) = 0) ⇒ (P scind´e dans E[X]). D´ efinition 10 (Topologie de Zariski). Soit K un corps et m un entier. Une partie F de Km est dite Zariski-ferm´ee s’il existe un sous-ensemble S de K[x1 , . . . , xm ] tel que F = {c ∈ Km , ∀f ∈ S, f (c) = 0} Notons F l’ensemble des parties F ainsi d´efinies. Alors l’ensemble F d´efinit une topologie par ses ferm´es, appel´ee topologie de Zariski. Le compl´ementaire d’un ensemble Zariski-ferm´e est dit Zariski-ferm´e. Remarque. – On peut assimiler Mn (K) `a Km , avec m = n2 , car ces deux ensembles sont isomorphes. – On a ainsi d´efinit une topologie sur l’esemble des matrices de taille n × n, et plus g´en´eralement sur les matrices de taille n × m, (n, m) ∈ (N )2 . D´ efinition 11 (Partie connexe). Une partie P d’un sous-groupe de Mn (K) est dite connexe si : f (0) = eP ∀x ∈ P, ∃f ∈ C ([0; 1], P ) , f (1) = x o` u eP d´esigne l’´el´ement unit´e de P . La fonction f est appel´ee un chemin. On peut d´efinir de mani`ere ´equivalente la connexit´e pour les espaces topologiques : Une espace topologique non vide X sera dit connexe s’il n’admet pas de partition en deux ouverts (respectivement deux ferm´es). D´ efinition 12 (Composante connexe de l’identit´ e). On appelle composante connexe de l’identit´e d’un groupe G, et on note G0 , la plus grande partie connexe de G, contenant l’identit´e. Proposition 2.1. L’image d’une partie connexe X par une application continue f est une partie connexe Y de Im f . Ainsi si f est une application de P , connexe, dans {0; 1}, f est constante ; en effet f (P ) est une partie connexe de {0; 1} qui n’est pas connexe : donc f (P ) ne comporte qu’un ´el´ement..
(40) 38. C´edric Moll. D´ emonstration. Comme X est connexe, il est non vide (par convention) et contiendra un ´el´ement x et donc Y sera non vide puisqu’il contiendra f (x). Par l’absurde, supposons Y non connexe. Alors on peut choisir dans Y deux ouverts non vides A et B d’intersection vide et de r´eunion Y . Leurs images r´eciproques f −1 (A) et f −1 (B) seront ouvertes par continuit´e de f . Leur intersection sera vide et leur r´eunion pleine, en effet l’image r´eciproque se comporte bien pour les op´erations ensemblistes. Enfin comme A et B sont non vides et f : X → ℑ f surjective, les images r´eciproques f −1 (A) et f −1 (B) seront non vides. On a donc trouv´e une partition de X en deux ouverts (non vides), ce qui contredit la connexit´e de X. Lemme 2.2. La r´eunion d’une famille de parties connexes d’intersection non vide est connexe. D´ emonstration. Soit (Ai )i∈I une famille d’ensembles connexes d’intersection B non vide et f une application continue de ∪i∈I Ai dans {0; 1}. Par connexit´e de Ai , f est constante sur chaque Ai . Si l’on note ai la valeur de cette constante, on en d´eduit que f restreinte `a B (qui n’est pas vide) doit ˆetre constante et ´egale `a ai pour tout i. En cons´equence, tous les ai sont ´egaux entre eux, et f est donc constante sur ∪i∈I Ai . On conclut grˆ ace `a la proposition pr´ec´edente. Th´ eor` eme 2.3. G0 est un sous-groupe de G. D´ emonstration. 1. Par d´efinition, on sait d´ej`a que G0 ⊂ G et eG ∈ G0 . 2. 2. Soient (g1 , g2 ) ∈ (G0 ) , alors : ∃f1 , f2 ∈ C ([0; 1], G) , Posons f:. f1 (0) = f2 (0) = eG f1 (1) = g1 f2 (1) = g2. [0; 1] → G x 7→ g1 · f2 (x). Alors f est une fonction continue car f2 est continue, et on a : f (0) = g1 f (1) = g1 g2 Nous avons donc mis en ´evidence deux parties connexes : – une partie connexe A1 contenant eG et g1 – une partie connexe A2 contenant g1 et g1 g2.
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