SoitA une tribu surE

Problème : Notion de tribu Dans tout le problème, E désigne un ensemble non vide.

Une partie Ade P(E) est appelé tribu surE si

— E∈ A.

— ∀A∈ A, A^c∈ A.

— Pour toute famille (An)_n∈N d’éléments de A, S

n∈N

An∈ A.

Partie N^o1 : Propriétés et exemples 1. SoitA une tribu surE.

(a) Montrer que∅ ∈ A.

(b) Soit(A_n) une famille d’éléments de A. Montrer que T

n∈N

A_n∈ A.

(c) Soientp∈Net(An)_n∈[[0,p]] une famille d’éléments de A. Montrer que

p

\

n=0

A_n∈ Aet

p

[

n=0

A_n∈ A.

2. (a) Montrer queP(E)est une tribu surE.

(b) SoitA une partie de E.

Montrer que{∅, A, A^c, E} est une tribu surE.

3. SoientI un ensemble non vide et (A_i)i∈I une famille de tribus surE, c’est-à-dire une famille de parties deP(E) telle que, pour tout i∈I,A_i soit une tribu sur E.

Montrer que

\

i∈I

A_i

est une tribu surE.

Pour toute partie C de P(E), notons T_C l’ensemble de toutes les tribus contenant C, c’est-à-dire l’ensemble de toutes les partiesAde P(E) telles queAsoit une tribu sur E etC ⊂ A.

On appelle tribu engendrée parC l’ensembleσ(C) ainsi défini : σ(C) = \

A∈T_C

A={A∈ P(E) / ∀A ∈ T_C, A∈ A}.

D’après la question précédente, σ(C) est une tribu surE.σ(C) s’appelle la tribu engendrée parC.

4. SoientC une partie de P(E) etAune tribu sur E telle que C⊂ A.

Montrer queσ(C)⊂ A. Que signifie ce résultat ?

5. SoitA une partie de E telle queA6=∅etA6=E. PosonsC ={A}. Déterminerσ(C).

Notons I l’ensemble de tous les intervalles deR de la forme]a, b[avec a < b.

On noteB(R) =σ(I) la tribu deRengendrée par I. 6. (a) Soita∈R. Montrer que]a,+∞[∈ B(R).

(b) Soienta, b∈R tels quea6b. Montrer que [a, b]∈ B(R).

Intermède : Rappels¹ de cours

1. Rappels qui n’en sont pas en réalité

1

Avant de s’attaquer à la suite du problème, je vous conseille de prendre quelques instants pour lire ce petit encadré.

Soitf :E →F une application.

SiB désigne une partie de F, on définit

f⁻¹(B) ={x∈E / f(x)∈B}.

f⁻¹(B) est appelé l’image réciproque deB parf. Il est important de noter que :

— une image réciproque existe toujours !

— Dans la notationf⁻¹(B), on ne parle jamais de l’applicationf⁻¹ qui n’existe pas forcément (il faut que f soit bijective pour cela).

L’image réciproque vérifie les propriétés qui suivent.

— Pour toutB ⊂F,f⁻¹(B^c) = (f⁻¹(B))^c.

— Pour tousB1, B2⊂F,f⁻¹(B1∪B2) =f⁻¹(B1)∪f⁻¹(B2).

— Pour tousB1, B2⊂F,f⁻¹(B1∩B2) =f⁻¹(B1)∩f⁻¹(B2).

— Si g : F → G désigne une deuxième application alors, pour tout B ⊂ G, (g ◦f)⁻¹(B) = (f⁻¹(g⁻¹(B))).

Attention, ces propriétés sont loin d’être évidentes. Par exemple, elles ne sont pas toutes vérifiées pour les images directes.

Il n’est pas demandé de démontrer ces différentes propriétés et vous êtes autorisé à les utiliser librement dans la suite du problème.

Partie N^o2 : Fonctions mesurables

Dans cette partie, on considère en plus de l’ensemble E un ensemble F, ainsi qu’une tribu A sur E et une tribuB surF. Une applicationf :E→F est dite mesurable pour les tribusAetBsi, pour toutB ∈ B,f⁻¹(B)∈ A.

1. SoientGun troisième ensemble et C une tribu sur G.

Soientf :E→F une application mesurable pour les tribusAetBetg:F →Gune application mesurables pour les tribusB etC.

Montrer queg◦f :E→Gest mesurable pour les tribus AetC.

2. SoientA une tribu surE etf :E →F une application. Notons B_f ={B ∈ P(F) / f⁻¹(B)∈ A}.

Montrer queB_f est une tribu surF.

3. Soient A une tribu sur E, B une tribu sur F, C une partie de P(F) telle que B = σ(C) et f :E →F une application telle que

∀B ∈C, f⁻¹(B)∈ A.

Montrer quef est mesurable pour les tribusA etB.

4. Dans cette question, on pose E=F =R etA=B=B(R).

Soientα, β ∈R. Montrer que la fonction

f : R → R x 7→ αx+β est mesurable.

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5. SoitA∈ P(E).

Montrer que A∈ A si, et seulement si, l’application 1A :E → R est mesurable pour les tribus AetB(R).

Partie N^o3 : Mesure produit et applications

Dans cette partie, on considère encore, en plus de l’ensembleE, un ensembleF ainsi qu’une tribu Asur E et une tribu BsurF.

On note enfinC={A×B /(A, B)∈ A × B}.

1. Dans cette question, on suppose queE =F =Ret que A=B=B(R).

Montrer queC n’est pas une tribu.

La question précédente montre, qu’en général, C n’est pas une tribu sur E×F.

On pose alors A ⊗ B=σ(C) la tribu engendrée par C. Cette tribu est appelée tribu produit de Aet B.

2. SoientGun troisième ensemble,Cune tribu surGetf :E →F etg:E →Gdeux applications.

Considérons l’application

h: E → F×G x 7→ (f(x), g(x))

(a) Montrer que pour tout(B, C)∈ B × C,h⁻¹(B×C) =f⁻¹(B)∩g⁻¹(C).

(b) Montrer quehest mesurable pour les tribusAetB ⊗ C si, et seulement si, f est mesurable pour les tribusA etBetg est mesurable pour les tribus AetC.

3. Soita∈R. Cette question a pour but de montrer queA={(x, y)∈R² / y > a−x}est élément de la tribuB(R)⊗ B(R).

Pour tout n∈N^? et toutk∈Z, notons A_k,n=

k n,k+ 1

n

×

a− k n,+∞

. Pour tout n∈N^?, on note An= S

k∈Z

A_k,n.

(a) Soitn∈N^?. Sur un croquis, représenter AetA_n. (b) Montrer que, pour tout n∈N^?,A_n∈ B(R)⊗ B(R).

(c) Montrer queA= S

n∈N^?

A_n et conclure.

4. Montrer que l’application

s: R² → R (x, y) 7→ x+y est mesurable pour les tribusB(R)⊗ B(R) etB(R).

5. Soientf :R→Retg:R→Rdeux applications mesurables.

Montrer que l’application

H: R → R

x 7→ f(x) +g(x) est mesurable pour les tribusB(R) etB(R).

6. Soientf :R→Retg:R→Rdeux applications mesurables.

Montrer que l’application

I : R² → R

(x, y) 7→ f(x) +g(y) est mesurable pour les tribusB(R)⊗ B(R) etB(R).

* * * FIN DU SUJET * * *

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