A20292. Question de croissance
La suite de terme général (1 + 1/n)n+1/2 est-elle croissante ou décroissante ? Solution
L’expression donnée a pour logarithme Ln = 2n+ 1
2 ln2n+ 2
2n , qui est la moyenne def(x) = 1
1 +x sur l’intervalle− 1
2n+ 1 < x < 1 2n+ 1.
L’intervalle étant symétrique par rapport à 0, Ln est aussi la moyenne de f(−x) = 1
1−x, et de g(x) = 1
1−x2, moyenne def(x) et f(−x).
Plus n croît, plus l’intervalle se restreint et plus g(x) est proche de son minimum 1, limite de Ln : en conséquence, la suite Ln est décroissante et l’expression donnée (de limitee) aussi.
