Cours : Vecteurs

CHAPITRE 04 Les vecteurs.

Objectif

Le chapitre sur les vecteurs est en général un chapitre difficile pour les élèves.

Nouvel objet mathématique, le vecteur apparaît naturellement en physique et plus précisément en mécanique : il permet en effet de représenter très rapidement le déplacement d’un objet ou bien les forces auxquelles il est soumis.

Supposons en effet qu’à un instant donné, un atome soit soumis à deux forces : comment alors prévoir le mouvement de l’atome ?

Il apparaît naturellement plusieurs notions :

• Dans quelle direction s’exerce la force ?

• Dans quelle sens ?

• Avec quelle intensité ?

L’avantage des vecteurs sera de regrouper ces trois informations en un seul objet, noté F

.

Nous apprendrons dans ce chapitre à manipuler cet objet, à additionner des vecteurs, les soustraire…

Animation liée sur le site :

Somme de vecteurs : une petite animation qui peut aider à visualiser la somme de deux vecteurs.

http://mathemitec.free.fr/animations/comprendre/somme-vecteurs/index.php

Testez vous ! A l’aide de ce fichier excel, testez régulièrement votre compréhension du cours : coordonnées, relation de Chasles, points alignés, vecteurs colinéaires…

http://mathemitec.free.fr/animations/se-tester/Vecteurs/activite-vecteur.xls

atome

Première force

Deuxième force

Activité d’introduction.

Activité 1.

Dans un hypermarché, une mère pousse un caddie suivant la force F

mais son enfant lui oppose la résistance R

suivant le schéma ci-dessous :

a. Le chariot avance-t-il (vers la droite) ou recule t-il ?

b. Avec quelle intensité se déplace-t-il (en fonction des unités du repère) ?

c. Au total, quelle force bilan B

subit le chariot ?

d. Si la résistance de l’enfant était trois fois plus élevée, que se passerait-il ?

Activité 2.

On jette une bouteille dans une rivière. Chaque seconde, le courant entraîne la bouteille suivant le vecteur C

et le vent la déplace suivant le vecteur V .

a. « En gros », dans quelle direction va aller la

bouteille (répondre en utilisant les mots en bas, en haut, à gauche ou à droite) ?

Nous cherchons dans la suite à être plus précis.

b. 1. En supposant que seul le courant s’exerce, où se trouvera la bouteille au bout d’une seconde ? 2. En lui appliquant ensuite la force vent, où se trouvera la bouteille ?

c. 1. En supposant que seul le vent s’exerce, où se trouvera la bouteille au bout d’une seconde ? 2. En lui appliquant ensuite la force courant une seconde, où se trouvera la bouteille ?

d. Conclure sur la force bilan à l’issu de chaque seconde.

1 1

Caddie R F

V

C bouteille

Note

Tous les exercices ou les démonstrations des

propriétés de ce chapitre se trouvent à la

fin de ce document.

Un petit rappel qui s’avèrera utile par la suite :

Rappel sur les parallélogrammes : Les quatre propriétés suivantes sont équivalentes : Soit ABCD un quadrilatère non croisé.

(1) ABCD est un parallélogramme

(2) ses diagonales se coupent en leurs milieux.

(3) les cotés opposés sont parallèles.

(4) les cotés opposés sont parallèles et de même longueur.

(5) deux cotés opposés sont parallèles et de même longueur.

I. Vecteurs - Généralités.

A. Définitions.

Définition. Un vecteur est un objet mathématique qui a 3 caractères : 1. Sa direction : c’est-à-dire la droite qui le porte (ou toute parallèle)

2. Son sens : c’est-à-dire vers où se dirige-t-il sur cette droite qui le porte ? Il n’y a que 2 sens possibles.

3. Sa norme : « la longueur du vecteur », notée

|| u ||

(norme de

u

).

→ Les vecteurs sont notés

u v AB , , ...

Exemple.

Soit A et B deux points distincts du plan : le vecteur

AB

a pour direction la droite (AB) [ou toute parallèle], pour sens celui de A vers B, pour norme la longueur AB.

A est appelé l’origine de

AB

et B son extrémité.

Le vecteur

BA

a même direction, même norme, mais sens opposé (de B vers A).

Définition.

Deux vecteurs sont égaux si et seulement si (SSI) ils ont même direction, même sens et même norme.

Application Importante.

Le vecteur

u

ci-contre a plusieurs représentants : par exemple

u = AB = CD

En effet, ces 3 vecteurs ont même direction, même sens et même norme donc ils sont égaux, même si il sont situés à des endroits différents.

L’avantage est que pour représenter un vecteur

u

, on peut choisir l’origine A (ou l’extrémité) où ça nous arrange !

Exercice I-1.

Soit v

le vecteur ci-contre, A et C deux points du plan.

Déterminer deux représentants de v

, l’un d’origine A, l’autre d’extrémité C.

A

B

u A

C B

D

v A

Théorème II-2. Soit A, B, C et D quatre points du plan.

AB = CD

SSI ABDC est un parallélogramme (attention à l’ordre).

Ce théorème est important : il nous dit que pour choisir les représentants d’un vecteur donné

u

, il suffit de tracer des parallélogrammes.

Définition.

Le vecteur nul, noté

0

, est par définition le vecteur de norme nulle.

On ne parle pas de sa direction, ni de son sens.

Conséquence.

AB

est le vecteur nul ssi la longueur AB est nul ssi A = B.

Voici une application qui nous sera utile dans les exercices : Application II-3.

AB = AM ⇔ = B M

B. Somme de vecteurs.

Nous allons voir comment additionner des vecteurs.

C’est PUISSANT (si si !) : on est en train « d’additionner des directions » ! Propriété (admise). On admettra assez facilement ce résultat :

Pour tout vecteur

u

,

u

+

0

=

0

+

u

=

u

.

Propriété (admise) : Relation de Chasles.

Pour tout point A, B, C on a :

AB + BC = AC

.

A

B

C

Nous allons en déduire deux méthodes de construction d’un vecteur somme :

Soient u

et v

deux vecteurs quelconques : on cherche à tracer le vecteur w= +u v

.

C. Vecteurs k.u

, k réel.

Définition.

Le vecteur opposé à

u

, noté

− u

, est le vecteur de même direction, de même norme mais de sens contraire de

u

.

Exercice III-3. Soient A et B deux points distincts.

(1) Tracer

AB

et

BA

. Que remarque-t-on ? (2) Placer le point I tel que IA+IB=0

. Que remarque-t-on ? Méthode 1 : Relation de Chasles.

(1) on choisit un représentant v'

de v

dont l’origine est l’extrémité de u

(en traçant un parallélogramme)

(2) On applique la relation de Chasles pour tracer

' w= + = +u v u v

puisque v'=v .

u v'

v w

u

v

Méthode 2 : Méthode du parallélogramme.

(1) on choisit un représentant v'

de v

de même origine que celle de u

.

(2) On trace un parallélogramme donc

« u et v

» sont deux cotés consécutifs.

(3) le vecteur w

est alors porté par la diagonale issu de ce sommet commun.

u v'

v w

u -u

A

B

Propriété III-4. Pour tout point A, B on a :

− AB = BA

. Définition.

Pour soustraire un vecteur, on additionne son opposé : ainsi

^{u − = + − v u} ( ) ^v

Exercice III-4.

Soit A, B et C trois points non alignés du plan.

(1) Tracer le vecteur u=CA−AB (2) Placer le point D ter que u=CD (3) Montrer que A est le milieu de [BD].

Définition.

Soit k un nombre positif. Si k est négatif,

Le vecteur

k u ×

est le vecteur Le vecteur

k u ×

est le vecteur

de même direction, de même direction,

de même sens de sens contraire et

de norme

k × || u ||

. de norme

|| k u × = − || k u || ||

.

u

4 u -2 u

Remarque.

On sait additionner ou soustraire des vecteurs, on vient d’apprendre à les multiplier par un nombre, mais en aucun cas, on ne sait les multiplier ou les diviser entre eux.

On en déduit assez facilement que :

Propriété III-6. I milieu de [AB] SSI

IA + IB = 0

SSI

1

IB = 2 AB

ssi

1 IA = 2 BA

.

A B

C

D. Vecteurs colinéaires.

Définition.

On dit que deux vecteurs sont colinéaires s’ils ont la même direction.

Par convention, le vecteur nul est colinéaire à tous les vecteurs.

Par exemple, tous ces vecteurs sont colinéaires entre eux.

POINT METHODE : (1) les vecteurs

AB

et

BC

sont colinéaires SSI (AB) // (BC) (2) les vecteurs

AB

et

AC

sont colinéaires SSI les points A, B et C sont alignés.

Propriété (admise).

Deux vecteurs

u

et

v

sont colinéaires SSI il existe un réel k tel que

u = kv

.

II. Les Vecteurs Repérés.

Nous travaillerons désormais dans un repère du plan.

L’objectif de cette section est dans un premier temps de simplifier la partie précédente à l’aide de règle de calcul, puis le travail sur les coordonnées nous permettra d’obtenir des résultats beaucoup plus exploitables dans les calculs.

A. Les Repères.

L’objectif d’un repère est de pouvoir se repérer !

→Considérons par exemple une droite D : comment « préciser » la position d’un point sur cette droite ?

Il suffit de considérer pour cela deux points (O,A) ou un point et un vecteur (O,i

).

Soit donc M un point de la droite : OM

est donc colinéaire à i

et d’après la partie précédente, il existe un réel x tel que OM=xi

. On dit que x est l’abscisse de M (ou du vecteur OM

) et on dira que (O, i

) est un repère de D.

O

i

→Considérons maintenant le plan P : comment « préciser » la position d’un point dans ce plan ? Suivant le même schéma de raisonnement, on obtient la définition suivante :

Définition.

Un repère (du plan) est un triplet (O, i

, j

) où O est un point quelconque du plan appelé origine du repère, i

et j

deux vecteurs non colinéaires (donc non nuls).

Remarquons que pour définir un repère, il suffit aussi de se donner un triplet (A, B, C) de trois points non alignés.

Repères particuliers.

- Repère orthogonal : (O, i

, j

) où les vecteurs i

et j

sont orthogonaux (cad leurs directions sont perpendiculaires)

- Repère orthonormé (ou orthonormal) : c’est un repère orthogonal où en plus, les vecteurs i

et j

ont la même norme.

B. Coordonnées d’un point ou d’un vecteur.

Définition.

a. Dans un repère (O, i

, j

), dire que M a pour coordonnées (x ;y) ou

 



 



x

y signifie qu’on a l’égalité vectorielle OM= +xi y j .

b. Dans un repère (O, i

, j

), dire que u

a pour coordonnées (x ;y) ou

 



 



x

y signifie qu’on a l’égalité vectorielle u= +xi y j

Propriété (admise).

Deux vecteurs sont égaux ssi ils ont les mêmes coordonnées.

Propriété II-1. Soit R un repère du plan.

a. Si u

est de coordonnée x y

  

  et v

de coordonnée ' ' x y

 

 

  alors, u

+v

a pour coordonnée ' ' x x y y +

 

 

+

 

b. Soit ^A

A

A x y

 

 

 et ^B

B

B x y

 

 

 . Alors le vecteur AB

a pour coordonnées ^{B A}

B A

x x y y

−

 

 

−

 .

c. Soit x u y

  

 

et k un réel. Alors kx ku ky

 

 

 

.

d. Le milieu de [AB] a pour coordonnées ;

2 2

A B A B

x x y y

I + + 

 

 .

Propriété II-2. Soit R un repère orthonormé du plan.

O i j

M

x

y

a. La norme du vecteur x u y

  

 

est donné par ||u

|| = x²+y² .

b. Soit ^A

A

A x y

 

 

 et ^B

B

B x y

 

 

 . Alors le vecteur AB

a pour norme AB =

(

) (

)

C. Coordonnées et colinéarité Propriété II-3.

Deux vecteurs u

et v

sont colinéaires si et seulement si l’une des propriétés suivantes est vérifiée :

(1) ils ont la même direction (2) il existe un réel k tel que u

= k v

(3) les coordonnées des vecteurs u

et v

sont proportionnelles (4) on a x’ y – x y’ = 0 avec x

u y

  

 

et ' ' v x

y

 

 

 

: le nombre x’y - yx’ s’appelle le déterminant des deux vecteurs.

Un petit Bilan Utile

FORMULATION MATHEMATIQUES

C’EST A DIRE

COORDONNES DE AB

x

— x

AB

y

— y

Coordonnées de l’extrémité moins coordonnées de l’origine.

COORDONNEES DU MILIEU DE [AB]

x

+ x

2 ; y

+ y

2

On calcule la moyenne des coordonnées de A et B.

EGALITE

<=> x = x’

y = y’

Deux vecteurs sont égaux si et seulement si ils ont les mêmes

coordonnées.

MULTIPLICATION PAR UN REEL k

kx ky

Si on multiplie un vecteur par un réel k, alors ses coordonnées

sont multipliées par k.

ADDITION

x + x’

y + y’

Pour avoir les coordonnées de la somme de 2 vecteurs, on fait la

somme des coordonnées de

chacun.

CHAPITRE 04 - Les vecteurs

Corrigé des démonstrations et des exercices.

Activité d’introduction.

Corrigé Activité 1.

a. Le chariot avance vers la droite puisque la force F

qu’exerce la mère est plus grande que la résistance R

de l’enfant.

b. Vu que F

a une intensité de 3 carreaux et que R

a une intensité opposée d’un carreau, l’intensité globale est de deux carreaux vers la droite.

c. On a le schéma suivant où B

est la force bilan que subit le chariot.

d. Le chariot resterait immobile puisque résistance et force de poussée seraient de même intensité, de même direction mais de sens contraires.

Corrigé Activité 2.

a. En gros, la bouteille ira en bas à droite.

b1. On obtient la figure suivante : b2. On obtient à présent :

c1. On obtient la figure suivante : b2. On obtient à présent :

d. Au final, dans les deux cas, la force bilan B

est la suivante

Caddie R F

B

R F

V

C

V

C

V

C

V

C

V

C B

Corrigé Exercice I-1.

Voici ci-contre trois représentants du vecteur v

: ces 3 vecteurs ont même direction, même sens et même norme.

Démonstration I-2.

⇒Supposons que

AB = CD

: les droites (AB) et (DC) sont donc parallèles. Dans le quadrilatère (non croisé) ABDC, les deux cotés opposés [AB] et [DC] sont parallèles et de même longueur donc d’après le rappel, ABDC est un

parallélogramme.

⇐Supposons que ABDC soit un parallélogramme. Les deux cotés opposés [AB]

et [DC] sont parallèles et de même longueur donc les vecteurs

AB et CD

ont même direction, ont même sens et sont de même longueur.

Ainsi,

AB = CD

.

Ce théorème est important : il nous dit que pour choisir les représentants d’un vecteur donné

u

, il suffit de tracer des parallélogrammes.

Démonstration I-3.

⇐ ^évident.

⇒ _si

AB = AM

alors (AB)//(AM) donc M est sur la droite (AB).

Comme

AB = AM

, on sait que AB = AM donc il y a deux points possibles : soit B=M, soit A est le milieu de [BM].

Enfin,

AB et AM

ont le même sens donc M = B.

C. Vecteurs k.u

, k réel.

Démonstration I-3.

(1) On remarque que

BA = − AB

: en effet ces deux vecteurs ont même direction (AB), même sens et même norme.

(2) Comme IA+IB=0 ^{on a IA}= − ⇔^{IB IA}=^BI : par conséquent, (IA) et (BI) sont parallèles avec le point I en commun donc I est sur (AB).

Par ailleurs, IA = IB donc I est le milieu de [AB].

v A

C

A

B C

D

A

B

AB BA

I

B

A

Démonstration I-4.

(1) On a u=CA−AB=CA+BA : on place le vecteur BA

avec A comme origine puis on applique la relation de Chasles pour tracer u

(voir figure).

(2) D est placé sur la figure, on traçant u

à partir de C.

(3) On a u=CD=CA+BA ^{donc CD CA}−=^{BA cad CD}+^AC=^BA soit encore AC+CD=BA

.

D’après la relation de Chasles, on obtient AD=BA

donc A est sur (BD) et AD = BA : A est bien le milieu de [BD].

II. Les Vecteurs Repérés.

Démonstration II-1.

a. Si u

est de coordonnée x y

  

  ^{et v}

de coordonnée ' ' x y

 

 

  alors, par définition u= +xi y j ^et

' '

v=x i+y j ^{donc u+ =v}

(

) (

)

On a donc, par définition, u

+v

de coordonnées ' ' x x y y +

 

 

+

 ^. b. On a AB=AO+OB=OB OA− ^{donc si A}

A

A x y

 

 

 ^et

B B

B x y

 

 

 ^{, alors}

( ) ^{( ) ( )}

b B A A b A B A

AB=x i+y j− x i+y j = x −x i+ y −y j

donc AB

a pour coordonnées ^{B A}

B A

x x y y

−

 

 

−

 ^.

c. Repartir à nouveau de la définition.

d. Partir de l’égalité 1 IA=2BA

et identifier les coordonnées de chaque vecteur.

Démonstration II-2.

a. Quitte à déplacer le vecteur u

sur l’origine du repère, on peut choisir OM

comme représentant de u

.

On applique alors le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle d’hypoténuse [OM] et de cotés adjacents de longueur x et y.

b. Le résultat est immédiat d’après le a et le fait que AB

a pour coordonnées ^{B A}

B A

x x y y

−

 

 

 − ^.

A

B

C

D BA

u

O i j

M

x

y

Démonstration II-3.

(1) et (2) ont déjà été vues (3) d’après le (2), u

= k v

donc '

' x kx y ky

=



=

 cad que les coordonnées des deux vecteurs sont proportionnelles.

(4) d’après le (3) ' ' x kx y ky

=



=

 ^donc

' ' x x

y y est un tableau de proportionnalité ce qui équivaut à dire que le produit en croix xy’-yx’ est nul.