Problème de Huyghens

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N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES

A. P ICART

Problème de Huyghens

Nouvelles annales de mathématiques 2^e série, tome 13 (1874), p. 212-219

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PROBLEME DE HUYGHENS;

PAR M. A. PICART.

Soient tant de corps qu'on voudra parfaitement élas- tiques et rangés en ligne droite : le premier vient choquer le second avec une vitesse donnée v\ le deuxième, avec la vi tesse communiquée par le premier, choque le troisième ; celui-ci avec sa vitesse acquise choque le quatrième et ainsi de suite; les masses du premier et du dernier étant données, trouver celles que doivent avoir les corps inter- médiaires, pour que le dernier reçoive la plus grande vi- tesse possible.

Ce problème a été proposé et résolu pour la première fois par Huyghens (1669), dans le cas particulier de trois corps. D'autres géomètres ont étendu sa solution à un nombre quelconque de corps, mais sans se préoccuper des caractères analytiques qui assurent l'existence du maximum ou du minimum. Lagrange, le premier (Mémoires de Turin, 1759), démontra, dans le cas géné- ral, l'existence du maximum, en appliquant à ce pro- blème une méthode nouvelle de recherche des maxima et minima des fonctions de plusieurs variables. Seulement il se borna à vérifier les conditions du maximum pour trois masses intermédiaires, en ajoutant : « Au reste, dans ce problème, quel que soit le nombre des masses, on trouvera tes conditions du maximum toutes remplies, si l'on veut bien prendre la peine de pousser plus loin le calcul. » C'est cette généralisation que je me propose de

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faire ici pour un nombre quelconque n de masses inter- médiaires.

Soient a la masse du premier corps, h celle du dernier, soient ensuite x^Sy X j , . . . , xⁿ les masses intermédiaires inconnues. En se rappelant que, dans le choc de deux corps élastiques, la quantité de mouvement et la force vive restent les mêmes avant et après le choc, on trou- vera que la vitesse communiquée par le premier corps a au deuxième x^t est égale à : que celle que donne celui-ci au troisième x* est egale a -. r> et ainsi de suite, de telle sorte que la vitesse reçue par le dernier b sera exprimée par

^ | 2 J2 2.r3 • . . 1 Xn

(a - h xt)(

et que la fonction dont il s'agit de trouver le maximum est

xx x7 x3. . . xn_x xn •

Z== (a

II faut égaler à zéro les dérivées partielles du premier ordre de cette fonction. Or on a

d'où Ton tire

Z' i i

Z xt a z!x i

"Z" ~~ x~2 "" ^

Z

i l I

Z x,

i i i

—————— _ _ . î

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ou

Z

?£?Z

p) {xp •

Z **{*u-x + *n)(x*+b)

Donc, pour le maximum ou le minimum, on doit avoir

(•)

ou

ax² — x\ = o,

^ ^ 3 — X\ = O,

„_! b — xj = o,

d'où Ton voit que toutes les masses doivent constituer une progression géométrique, dont les deux extrêmes sont les masses données a et b. Pour juger à présent du maximum ou du minimum, il faut considérer la fonc- tion homogène du second degré

et voir si les valeurs de # , , x^..., xn, que donnent les équations (1), étant introduites dans les coefficients, cette fonction reste toujours négative ou toujours posi-

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tive pour toutes les valeurs possibles des quantités h^t,.. .,hⁿ, Soit fait, pour abréger,

Z

2 (xx -+- *a) [xt H- a?,) "~~ * "

9

Z

z _ on aura

d'où l'on tire, en tenant compte des équations ( i ) ,

= — 2 a , , r2, ZXs:r8 = o : , a2,

> ZX 8 r < = .^j a

3,

V

toutes les autres dérivées partielles du second ordre sont nulles.

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( a i 6 )

La fonction homogène du second degré se réduit donc ici à la forme

Pour qu'elle soit toujours négative, quelles que soient les valeurs des quantités A,, h^. . ., 7zn, il faut d'abord que l'on ait Ai <^ o. En la mettant sous la forme

A, Ut-h ~V H- ( A , - ? î ) h\ -h A3h\ +...-f-An/r

on voit qu'on doit avoir de plus

A , - J

puis, en posant

A,

et faisant une transformation analogue,

A-2!^o-

puis, en désignant cette quantité par <z3,

et ainsi de suite. Telles sont les conditions nécessaires et suffisantes pour le maximum. *

Or, si l'on désigne par r la raison de la progression on a

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( " 7 )

par suite la foitciion homogène du second degré prend la forme

r

1 , 2 "P />-2 "P

- h . . . -f-

Comme 2<2a^t est une quantité essentiellement positive, on peut supprimer ce facteur, et alors les conditions à vérifier pour le maximum sont

I

I I

4r8ö

4 ~,

^<o>

Comme at est du premier degré par rapport à r, on voit que a^% est du degré — i , a⁸ du degré — 3, a^p du

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( a i 8 )

degré — (ap — 3), de sorte que ces inégalités, divisées respectivement par r, - , —, —•>••••> -j^j> peuvent s'écrire

b, — — i < o ,

- t = — I — J-y < O,

et, pour les vérifier, il faut trouver l'expression générale du p^ieme terme de la suite

bl 9 b2, . . . y bp, ^+, , . . . , bn y. . .y

sachant que h^v ~ — i et que

C'est là une équation aux différences finies que l'on ré- sout facilement ; on trouve

Donc toutes les quantités bi9bs,.. *9bp sont négatives ;

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par suite la fonction homogène prend le signe — pour toutes les valeurs possibles de A^l5 / i^s, . . . , hⁿ.

Les valeurs en progression géométrique trouvées pour les masses intermédiaires correspondent donc au maxi- mum de la vitesse du dernier corps. On peut arriver à oette conclusion d'une manière bien plus rapide.

Si Ton désigne par r la raison de la progression géo- métrique

a : œx : x2 : . . . ; xn : b,

o n a

xx = ar, x2 = ar2,. . . , .rH = arn^ a, a, a,

par suite la fonction homogène du second degré se réduit à la forme

ou

et Ton voit qu'elle est négative pour toutes les valeurs possibles de hu ht.. . . , hn.