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Mines Maths MPSI 2007 — Corrigé
Ce corrigé est proposé par Guillaume Dujardin (ENS Cachan) ; il a été relu par Benoît Landelle (Doctorant en mathématiques) et Jean Starynkévitch (Professeur en CPGE).
Cette épreuve se compose de deux problèmes totalement indépendants.
• Le premier problème consiste en l’étude détaillée d’une fonction réelle d’une variable réelle. Il est l’occasion de mettre en pratique un certain nombre de notions et de résultats du cours d’analyse de première année : fonctions d’une variable réelle, calcul intégral et équations différentielles linéaires notamment.
• Le second problème est de nature plus algébrique. Il s’agit de manipuler les projecteurs spectraux d’une matrice deM3(R)admettant trois valeurs propres réelles simples. On est amené à utiliser le théorème de la division euclidienne dans R[X] et à étudier l’endomorphisme de R[X] qui, à un polynôme, asso- cie son reste dans la division euclidienne par un polynôme P0 non nul fixé.
Le problème se termine par quelques calculs de polynômes d’endomorphismes sous forme matricielle pour aboutir aux projecteurs spectraux.
D’une longueur raisonnable pour une épreuve de quatre heures, ce sujet permet de tester la solidité de ses connaissances sur plusieurs chapitres du programme de première année.
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Indications
Premier problème
3 Puisquef est de classeC2surR∗, étudier le signe def′′ surR∗. 5 Utiliser le fait quef est continue et positive sur] 0 ; 1 ].
7 Mettre l’équation sous forme résolue sur chacun des deux intervalles.
8 Utiliser la question précédente, raisonner par analyse-synthèse et étudier le rac- cordement des solutions en0.
10 Raisonner par récurrence.
12 Raisonner par récurrence.
13 Raisonner par récurrence.
17 Dériver la relation(1).
Deuxième problème
18 Écrire une relation de liaison entreQ1,Q2et Q3et l’évaluer ena1, a2puisa3. 20 Utiliser les questions 18 et 19 et le fait que dimR2[X] = 3.
22 Résoudre le systèmeAX = Yd’inconnueX.
23 Utiliser le théorème de la division euclidienne (unicité du couple quotient-reste et majoration du degré du reste).
26 Montrer quef2=f, puis utiliser les deux questions précédentes.
27 Écrire la division euclidienne dePparP0 et utiliser le résultat de la question 20.
28 Écrire les images de1,XetX2 parf à l’aide de la question précédente.
29 On pourra observer que si(α, β∈R2), alors(M−αI)(M−βI) = (M−βI)(M−αI).
31 Montrer que(I,M,M2)est une base deE.
32 Comprendre que leTde l’énoncé désigne en faitR2[X].
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Premier problème
I. Étude d’une fonction
1 Lorsquextend vers0par valeurs inférieures,−1
xtend vers+∞, de même que 1 x2. Par composition et produit, il en découle que
xlim→0 x<0
f(x) = +∞
Par conséquent La fonctionf n’est pas continue à gauche en0.
Puisque la dérivabilité à gauche d’une fonction en un point entraîne la continuité à gauche de cette fonction en ce point, il vient par contraposition que
La fonctionf n’est pas dérivable à gauche en0.
Examinons maintenant la situation à droite de 0. Constatons que
xlim→0 x>0
1/x= +∞
La croissance comparée d’un polynôme enu= 1/xavece−ulorsqueutend vers+∞ assure que
f(x) = 1
x 2
exp
−1 x
−−−→x→0
x>0
0 =f(0)
Par conséquent La fonctionf est continue à droite en0.
De même f(x)−f(0)
x−0 = 1
x 3
exp
−1 x
−−−→x→0
x>0
0
Ainsi, f est dérivable à droite en0et fd′(0) = 0.
2 Considérons la fonction h:
(R−→ R u7−→ u2e−u de sorte que ∀x∈R∗ f(x) =h1
x
Pour étudier les variations de f, étudions la dérivabilité de f sur R∗, ainsi que le signe de la fonction dérivée surR⋆− etR⋆+. D’une part, la fonctionhest dérivable surR(comme produit de fonctions dérivables surR) et on a
∀u∈R h′(u) = 2u e−u−u2e−u=u2 2
u−1
e−u
D’autre part, la fonction inversex7→1/xest dérivable surR∗, de dérivéex7→ −1/x2.
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Par conséquent, la fonctionf est dérivable surR∗ et
∀x∈R∗ f′(x) =− 1 x2h′1
x
=−(2x−1) exp −1/x x4
On en déduit quef′ est du signe de1−2xsurR∗.
Étudions maintenant les branches infinies de f. D’une part, on a vu que
xlim→0 x<0
f(x) = +∞
ce qui implique que
L’axe des ordonnées est asymptote au graphe def en0−. D’autre part, on a lim
x→−∞f(x) = 0 et lim
x→+∞f(x) = 0 ce qui assure que
L’axe des abscisses est asymptote au graphe def en−∞comme en+∞. Résumons nos résultats dans le tableau de variation ci-dessous.
x −∞ 0 1/2 +∞
f′(x) + + 0 −
+∞ 4e−2
f(x) ր ր ց
0 0 0
Rappelons que, pour dériver un quotient de fonctionsa/b, il est souvent plus commode de le considérer comme un produita×(1/b)et d’appliquer la règle de dérivation d’un produit.
Enfin, rappelons que, pour dériver un produit d’au moins deux termes, on dérive un seul des facteurs une fois, puis on fait la somme des termes ainsi obtenus. Par exemple, siu1,u2,u3etu4sont quatre fonctions dérivables sur un intervalleI, leur produit l’est également et
(u1u2u3u4)′=u1′
u2u3u4 + u1u2′
u3u4 + u1u2u3′
u4 + u1u2u3u4′
3 Cherchons des intervalles inclus dans R∗ sur lesquels la restriction de f est convexe. D’après les règles de composition habituelles, la fonctionf est de classeC2 surR∗. On est donc amené à étudier le signe def′′.
∀x∈R∗ f′′(x) = (f′)′(x) = d dx
−x−4(2x−1) exp −1/x
=e−1/x 4x−5(2x−1)−2x−4−x−6(2x−1)
= e−1/x
x6 4x(2x−1)−2x2−(2x−1) f′′(x) = e−1/x
x6 6x2−6x+ 1 Les racines du trinôme6x2−6x+ 1sont
3 +√ 32−6
6 = 1
2+
√3
6 et 3−√
32−6
6 =1
2 −
√3 6 Téléchargé gratuitement surwww.Doc-Solus.fr.
