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Le principe de Huyghens dans l’optique des corps en
mouvement
M. Risco
To cite this version:
HUYGHENS DANS
L’OPTIQUE
DES CORPS MOUVEMENTPar M. RISCO.
Sommaire. 2014
Exposé relativiste du principe de Huyghens. Les constructions classiques peuvent être généralisées si l’on utilise, au lieu d’une onde sphérique, un limaçon de Pascal qui représente la variation de longueur d’onde de la lumière diffusée par un centre ponctuel mobile. Application de
ce procédé pour obtenir les formules rigoureuses d’aberration et d’effet Doppler, ainsi que des réseaux et des miroirs en mouvement. On étudie spécialement l’influence de la vitesse d’un réseau
sur les propriétés de ses différents spectres.
L’influence du mouvement sur une onde
lumi-neuse se traduit en
général
par unchangement
d’orientation de son
plan, accompagné
d’unevaria-tion de la
longueur
d’onde. Ce doubleaspect
desphénomènes
dus au mouvement rend peu commodel’utilisation
des ondes secondaires deHuyghens,
purement
sphériques,
dans les différentesconstruc-tions
géométriques
et dans les calculscorrespondants.
Un tel inconvénientdisparaît
si l’onemploie,
à laplace
dechaque
ondesphérique,
une certaine surfacequi,
sans êtreproprement
uneonde,
jouerait
lemême
rôle dans les constructions deHuyghens.
Nous limitant dans notreexposition
à raisonner dansle
plan
de lafigure,
ladite surface serareprésentée
par sa section
méridienne,
qui
est unlimaçon
dePascal comme nous allons voir en suivant les
méthodes de la
Cinématique
relativiste.Utilisation du
limaçon
de Pascal ensubsti-tution des ondes secondaires de
Huyghens,.
Supposons qu’à l’origine
des coordonnées d’unréférentiel XY se trouve au repos un
point qui
devient le centre d’une onde secondairequand
ilest
touché,
à l’instant 1 = o,par une onde
princi-pale représentée
par la droite AB sur lafigure i
a.Si nous
appelons J,
lalongueur
d’onde d’illuminationévaluée dans le
système
XY,
les rayons diffusés tout autour dupoint
0 conserventévidemment
lamême ~ pour un observateur
appartenant à
ceréfé-rentiel. Considérant l’onde secondaire au bout d’une
période,
nous lui attribuerons le rayon )..Par
rapport
à un autreobservateur,
situé enX’Y’,
le centre diffuseur se trouve en mouvement avec la
vitesse relative - v entre les deux
systèmes
d’axeset, en
conséquence,
lalongueur
d’ondechangera
pour lui selon la direction d’observation
(de
cosinus directeursa’,
p’)
et d’accord avec la formuleoù a et b
(notations
deLorentz) représentent
les valeurs’
L’équation
(1)
est celle d’unlimaçon
de Pascal. La lumièrediffusée, partant
de 0’ à l’instant f = o, arrive àchaque point
de la courbe au bout d’unFig. i a et i b.
temps
qui équivaut
à la valeur de lapériode
pour ladirection en
question. Cependant,
même n’étant pasune
onde,
lelimaçon peut
être utiliséavantageu-sement pour
obtenir,
dans lesproblèmes optiques
avec mouvement, la direction des ondes résultantes
ainsi que la
période spaciale correspondante
7/,
etdans ce sens concret, le
limaçon
de Pascal sesubstitue valablement aux ondes secondaires de
Huyghens
del’Optique
des corps en repos.Pour
justifier
cetteafflrmation,
soitHI,
dans lesystème XY,
une ondeplane principale,
tangente
àla
circonférence,
de centre0,
représentative
del’onde
secondaire,
et normalepourtant
au rayonOH,
qui
marque la direction depropagation
du faisceauparallèle.
Dans lesystème
X’Y’,
l’ondeplane
283 observée
H’I’,
conserve évidemment la conditiond’être
perpendiculaire
au rayon vecteurcorres-pondant
dulimaçon,
mais la condition detangence
ne subsiste naturellement pas par
rapport
à cette courbe. Enconséquence,
si dansl’Optique
géomé-trique
ordinaire on obtient les ondesplanes
résul-tantes dans lesphénomènes
deréflexion,
et lesplans
perpendiculaires
aux directionsspectrales
dans lesphénomènes
dediffraction,
par leprocédé classique
qui
seréduit,
ensynthèse,
à mener d’unpoint
exté-rieur une
tangente
à l’Dnde secondairesphérique,
on
peut
dire que pour résoudre lesproblèmes
ana-logues
dansl’Optique
des corps en mouvement, ilsuffira d’utiliser le
limaçon
de Pascal(limaçon
dediflusion)
et de chercher entre les différentes droitesqui
passent
par lepoint
extérieur,
convenablementchoisi,
cellequi
coupe lelimaçon
perpendiculairement
au rayon vecteur d’un des
points
d’intersection. Cette idée constitue le fondement de la méthodequi
va être suivie dans le traitement des différentesquestions.
Aberration et effet
Doppler. - -
Nousemploierons
pour nos constructionsgraphiques
un seulsystème
de coordonnées
Ox,
Oy,
danslequel
nous allonsreprésenter
cequi
se passe dans les deuxréféren-tiels
XY,
X’Y’(fig. 2).
Fi. 2.
Considérons un train d’ondes
planes qui,
référéau
système
XY,
se propage selon la direction définiepar les cosinus directeurs oc,
[3.
Supposons
que lapremière
onde du train touchel’origine
0 à l’ins-tant t = o. Au bout d’untemps
égal
à lapériode T,
c’est-à-direquand
l’onde de face arrive aupoint
I,
d’ordonnée-?
l’onde secondaire centrée en 0 auraacquis
un rayon1.,
et il se sera aussidéveloppé
- si
l’expression
nous estpermise
- autour de 0’un
limaçon
dediffusion,
qui
a(1)
commeéquation
et que nous dessinons sur la
figure.
Si à un telmoment, l’onde de face se confond
évidemment,
dans le
système
XY,
avec latangente
menée dupoint
I à la circonférencereprésentative
de l’ondesecondaire,
on obtiendra l’onde de face dans lesystème
X‘Y‘ entraçant
du mêmepoint
1 la droitequi
coupe lelimaçon
normalement au rayon vecteur dupoint
utilisable d’intersection. La distance del’origine
à l’onde ainsi trouvéeéquivaut à
la valeurde la
longueur
d’onde i,’ pour l’observateur appar-tenant au référentiel X’Y’.Les calculs
qui
vont suivrepeuvent
servir pourvérifier la méthode
proposée.
Commençons
parrappeler
quelques
formules degéométrie.
Si nousappelons
1 l’ordonnée d’unpoint
de l’axeOY’,
les droitesqui,
passant
par cepoint,
coupent
lelimaçon
perpendiculairement
au rayon vecteur d’un despoints d’intersection,
sont définies par les distancesà
l’origine
et par les cosinus
des
angles
que leursnormales
respectives
(rayons
vecteurs)
forment avec les axes.Dans
l’application
de ces formules au casoptique
qui
nousintéresse, 1
sera l’ordonnée dupoint
1,
et les coefficients A et B de
l’équation (2)
auront,selon
(1),
les valeursparticulières
Par
simple
substitution dans(3),
(4),
(5),
on obtient comme résultat finalCe sont
précisément (en
changeant
la notationo’
en
J’)
les formules relativistes d’aberration et effetDôppler.
Elles ont été ici déduites par laméthode de
Huyghens,
maisgrâce
àl’emploi
dulimaçon
dediffusion,
dont l’utilité ressortira mieux dans l’étude que nous allonsentreprendre
del’in-fluence du mouvement sur les
phénomènes
deDiffraction de la lumière par les réseaux en mouvement. - De
l’exposé
que nous venons defaire,
il ressort que les centres lumineux deIluyghens
jouent
dans lapropagation
des ondes exactement lerôle de sources
ponctuelles
qui
émettent parelles-mêmes. C’est pour cela que la direction
d’illumi-nation,
ou direction des rayonsprimaires,
n’inter-vient pas dansl’équation
(1)
dulimaçon
de diffu-sion.Bien au
contraire,
dans l’étude des réseaux enmouvement,
leproblème
de la diffusion seprésente
avec toutes les données etcaractéristiques
clas-siques,
comme nous allons voir immédiatement.Supposons
qu’un
réseauplan,
dont les traits sontperpendiculaires
auplan
de lafigure,
maisqui
aun
angle
deposition quelconque,
sedéplace (fig. ,3)
~
Fi g. 3.
par
rapport
àun système
d’axes XY avec la vitesse vdirigée
selon l’axe des abscisses. Les rayonsparal-lèles incidents tombent sur le réseau sous une direc-tion définie par les cosinus directeurs oci,
Pi.
Soitli
lalongueur
d’onded’illumination,
mesurée dans lesystème
XY.Dans ces
conditions,
unpoint quelconque
appar-tenant à un creux du
réseau,
c’est-à-dire unpoint
géométrique
inséparablement
lié aux traitsmaté-riels
(par exemple
lepoint
0’origine
des axesX’Y’),
diffuses la lumière comme le ferait uneparticule
mobile
devitesse v,
illuminée parl’expérimentateur
dans la direction et avec lalongueur
d’onde ci-dessusdésignées.
Lesprocédés
de laCinématique
relati-viste
permettent
d’écrire,
en fonction des cosinus directeurs ex,p
de la directiond’observation,
la valeur suivante de lalongueur
d’onde diffusée .Cette
équation
est celle dulimaçon
de diffusionqui
va nouspermettre
d’obtenir lesangles
deposi-tion et les
longueurs
d’ondecorrespondantes
auxdifférents maximums de
diffraction,
produits
par transmission ou parréflexion;
problème
que nous nerésoudrons, naturellement,
que pour les deuxorien-tations intéressantes du réseau par
rapport
à ladirection du mouvement : 10 réseau se
déplaçant
dans son propre
plan;
20 réseau en mouvement selonsa normale.
Cependant,
nous ne commencerons pas l’étude deces
questions
sans mettre aupoint quelques
cons-tructionsgéométriques qui
par la suite nous seronttrès utiles,
quoique
appartenant
au domaine del’Optique
des corps au repos. Ils’agit
deconstruc-tions
trèsspéciales applicables
à la déterminationdes maximums
principaux, produits
sous incidencequelconque
par un réseau au repos.Supposons
que ceréseau, représenté
sur lafigure CE,
reçoive
un faisceauparallèle
delongueur
d’onde1,1
et dont la direction est définie par les cosinus
direc-, Fi g . q. 1
teurs ai,
pi.
Soit k la constante du réseau. Pourtrouver la
position
d’un maximum d’ordre n(cosinus
directeurs a,t,
P,,),
il suffit de tracer une circonférencede rayon
ayant
son centre au milieu d’un creux(point 0
que nous
prendrons
pourorigine
descoordonnées)
et de mener parJ,
milieu du creuxadjacent,
latangente
à une telle circonférence : on obtient ainsile
point
H,
et la direction du maximum cherché est celle de la droite OH. Eneffet,
letriangle
OHJpermet
d’écrire immédiatementc’est-à-dire
égalité qui
constitue la définition même du maximumen
question.
Maintenant,
et en vue desdéveloppements qui
vontsuivre,
il convient de donner une formediffé-rente à la construction que nous venons
d’exposer.
4u lieu d’utiliser une circonférence dont le rayon
(10)
change
avec l’ordre dumaximum,
nous allonsemployer
une circonférencequi
aura pour rayoninvariable la
longueur
d’onde li
(égale
à OM sur lafigure ~),
et encompensation,
nous mènerons latangente,
pas par lepoint
J,
qui
est au milieu d’un creux, mais par un autrepoint
1qui
aura une285 similitude de
triangles
c’est-à-dire
d’où l’on obtient comme formule finale
’
En
résumé,
la méthodequi
conduit à la fixation d’un maximum n embrasse lesopérations
sui-vantes : io tracer5)
autour del’origine
descoordonnées
(milieu
d’uncreux)
une circonfé-rence de rayon),;;
2° détermination d’unpoint
1d’abscisse
(11);
3° mener par cepoint
latan-gente
IM à la circonférencetracée; 4o
joindre
l’ori-gine
aupoint
M de contact.L’autre
tangente
IN à la circonférence de centre 0sert naturellement à définir la direction ON
corres-pondante
à un maximum d’ordre n par réflexion. Une fois pourtoutes,
il convient d’advertir que,quoique
dans ce travail nous auronstoujours
envue les
phénomènes
partransmission,
la méthodeFig. 5.
et les résultats seront
également
valables pour lesmaximums
par réflexionproduits
par des réseauxen mouvement. Il est
simplement
suffisant,
pour lesdeux sortes de
phénomènes,
d’attribuerconvena-blement,
d’un côté ou de l’autre de la directionachromatisée
(n
=o),
des valeurs entières et posi-tives de n ou des valeurs entières etnégatives.
Réseaux en mouvement dans leur propre
plan.
-Supposons
que leréseau,
dont les traitssont
perpendiculaires
auplan
de lafigure
6, est encoïncidence avec le
plan
X’Z’ etqu’il
sedéplace
pourtant
parrappoit à l’expérimentateur,
situédans le
système
XY,
avec une vitesse v,dirigée
selon l’axe OX. La
longueur
d’onde du faisceau incident est ~,i et l’illumination se réalise dans ladirection définie par les cosinus directeurs ai,
p;.
Pour
chercher,
enpartant
de cesdonnées,
laposition
d’un maximum d’ordre n(cosinus
direc-teursP/J
et en mêmetemps
salongueur
d’ondeJ.n,
il nous faudra
généraliser
laconstruction,
récemmentexposée
5),
qui
n’était valable que pour desréseaux au repos.
Suivant pas à pas, avec une stricte
correspon-dance,
lesquatre
opérations
géométriques qui
conduisaient à l’obtention d’un
maximum,
voicien
quoi
doit consister le processus degénéralisation :
I ~ La circonférence de rayon
~.i,
centrée àl’origine,
représentait
la diffusion de la lumière incidente par les centresponctuels
et immobiles deHuyghens.
Maintenant,
lelimaçon
(9)
fixé
inséparablement
aux axesXY,
remplace
laditecirconférence,
car la diffusion étantproduite
àprésent
par des centres deHuyghens
en mouvement,entraîne ce
changement
de lalongueur
d’onde avecla direction a,
~.
20 Dans
l’expression
de l’abscisse dupoint
I,
il faut tenircompte
de la contraction de Lorentz,qu’éprouve
le réseau. Enconséquence,
dans la formule(11),
on doit diviserk,
constante du réseaumesurée au repos, par
a =
· L’abscisse dupoint
I,
fixe dans lesystème
XY,
sera doncmain-tenant
30 Au lieu de mener par le
point
1 latangente
1Mde la
figure
5,
on doit tracer une droite IST(fig. 6)
Fig. 6.
de telle
façon
qu’à
un de sespoints
d’intersection S. avec le
limaçon,
cette droite coupeperpendiculai-rement le rayon vecteur
correspondant OS.
4°
Ce rayon vecteurmarque
la direction dumaximum d’ordre n, et donne aussi par sa
grandeur
la
longueur
d’ondeEn
résumé,
leproblème
consiste en ceci : onprend
sur l’axe des X un
point
1 dont l’abscisse ait la valeurtrès
spéciale
(12);
onjoint
cepoint
à un autrequi
deux
positions
de cepoint
mobile pourlesquelles
l’a.ngle
sous-tendu par lesegment
OI soit degoo.
Les rayons vecteurscorrespondants
donnent, parleur direction
(an,
pn)
et leurgrandeur
(/.~),
lesdeux maximums d’ordre n : l’un obtenu par réflexion et l’autre par transmission.
Si nous écrivons
l’équation
dulimaçon
sous laforme
abrégée
et si nous
appelons 1
l’abscisse dupoint
I,
nousarri-vons aux résultats suivants :
équations qui,
par substitution des valeursdeviennent
qui
sont finalement les deux formules relativistesqui régissent
lesphénomènes
de diffraction,produits
par un réseauqui
se meut dans sonplan.
On endéduit les
propriétés
que voici :a. La
longueur
d’onde de la lumièremonochroma-tique
incidente ne se conserve oureproduit
que surles maximums
achromatisés,
d’ordrezéro, obtenus
par transmission ou par réflexion.
b. Hors ce cas
exceptionnel, chaque
maximum
de
diffraction,
pour une vitessedonnée,
a unelongueur
d’ondequi
lui est propre, parcequ’elle
semaintient
invariablequand
le maximum sedéplace
par effet d’une variation, de
l’angle
d’incidence.Comme une
caractéristique
individuelle,
lalongueur
d’onde d’un maximum
peut
donc servir pour ledistinguer
des autres.c. Pour une incidence normale au
plan
duréseau,
les deux
maximums
d’un même ordre(par exemple,
les deuxpremiers
maximums partransmission,
n = i, n = -I) n’occupent
pas despositions
symétriques
parrapport
à la directiond’illumination,
et leurslongueurs d’onde
diffèrent entre elles etaussi, naturellement,
de lalongueur
d’onde de la lumière incidente.d. La contraction relativiste due au mouvement
intervient dans toutes les formules résultantes. Par
exemple,
si pour obtenir la constante duréseau,
nous divisons
[équ.
(15)
et(16)]
lalongueur
d’ondeobservée sur un des maximums de
premier
ordreproduits
sous incidencenormale,
par le sinus de
l’angle
de déviationcorrespondant,
nous obtenons pour ladite constante la valeur
contractée
Les
expériences
avec des réseauxdoivent,
eneffet,
respecter
cette réalitéphysique qui
est lacontrac-tion de
Lorentz,
etqu’on
devrait même(1)
direc-tement
observer,
si les moyensd’expérimentation
étaient suffisamment
puissants,
en faisant unephoto-graphie
d’unerègle
en mouvement.Avant de passer au
développement
d’autresquestions,
il convient desouligner
que, engénéral,
dans toutes les constructions basées sur
l’emploi
dulimaçon,
onpeut
se servir trèsutilement,
commeressource auxiliaire, de la circonférence dont le
limaçon
est lapodaire
parrapport
àl’origine
descoordonnées. Sur la
figure
6,
parexemple,
où cettecirconférence,
tracée enpointillé,
a pour rayonon
peut
facilement utiliser lestriangles
sem-blables IMC et INO pour déduire lagrandeur
etl’angle
deposition
du rayon vecteurON,
cequi
équivaut à
l’obtention des formules finales(13)
et
(14).
Réseaux ~’se
mouvantperpendiculairement
à leurplan.
--Nous supposerons que le réseau
coïn-cide avec le
plan
Y’Z’ etqu’il
se meutpourtant,
par
rapport
ausystème
XY,
avec la vitesse vdirigée
selon l’axe OX. Les traits du réseau sontorientés
perpendiculairement
auplan
de lafigure
etnous conserverons les notations
jusqu’ici employées.
k sera, en
particulier,
la constante du réseau aurepos.
287
correspondantes
aux différents maximums pardiffrac-tion,
nous allons encore recourir au mêmelimaçon
d’équation (9),
que nous avons aussi écrite sous laforme
abrégée
A et B
ayant
les valeursLe
problème
se réduittoujours
à trouver lespoints
dulimaçon
àpartir
desquels
onpourrait
voir un certainsegment
01 sous unangle
de maisFig, 7.
maintenant le
point
1appartiendra
(fig. 7)
à l’axe desY,
et lesegment,
au lieu de la valeur(12),
aurala
grandeur
Une fois trouvés sur le
limaçon
lespoints
enquestion,
il sumt de tracer les rayons vecteurscorrespondants, qui
donneront par leurs directionset
grandeurs,
les directions et leslongueurs
d’onde des maximums.Les formules
(3),
(4)
et(5)
représentent
préci-sément la solution du
problème
que nous venonsd’énoncer, mais
il faut introduire leschangements
de notation suivants :Ces
changements
sontdus,
d’unepart,
à lacircons-tance
d’opérer
maintenant
dans lesystème
XY et pas dansX’Y’;
d’autrepart,
à l’utilisation actuelledes formules pour un
phénomène
dediffraction,
lié àla connaissance de certaines directions
angulaires
privilégiées :
celles des maximumsprincipaux,
quedésigne
le sous-indice n.En résumé, tout se réduit à substituer dans
(3),
(4)
et(5)
les valeurs(17)
et(18).
On arrive ainsi auxformules relativistes de la diffraction par un réseau
en mouvement selon sa
normale, qui
sontet
qui
pour une incidenceperpendiculaire
= i,
~31
=o)
deviennentDans les six
équations précédentes,
lesigne
(-)
correspond
auxphénomènes produits
parréflexion,
et le
signe
(+),
auxphénomènes
par transmission.Dans chacune de ces deux sortes de
phénomènes,
l’ordonnance des maximums se fait par des valeurs
entières,
positives
ounégatives,
de n : sur lafigure
7,les
points
S et Preprésentent
respectivement
desspectres
du même ordre obtenus par transmissionou par réflexion.
Nous allons finalement mettre en
relief,
nousappuyant
sur les formulesrésultantes,
lespropriétés
les
plus caractéristiques
desphénomènes
de diffrac-tionproduits
par un réseauqui
se meut selon sanormale :
a. Le maximum d’ordre zéro obtenu par
trans-mission n’est pas influencé par le mouvement. Il
con-tinue à être dans la
prolongation
des rayons inci-dents et conservetoujours
lalongueur
d’onde deceux-ci.
Tout au
contraire,
le maximum. n = o par réflexionse
déplace
par effet du mouvement et salongueur
d’onde
change.
Pourchaque
vitesse duréseau,
cettelongueur
d’onde varie aussi avecl’angle
d’incidence.b. Un maximum d’ordre
quelconque
n ~
o(par
d’onde propre et constante pour
chaque
vitesse duréseau, comme c’était le cas
lorsque
le réseau sedéplaçait
dans son propreplan.
Maintenant,
lalon-gueur
d’onde,
d’un maximumchange
quand,
â la suite d’une variation del’incidence,
iléprouve
undéplacement angulaire.
c. Pour une incidence normale au
plan
duréseau,
les maximums d’un même ordre(par exemple,
n =i,
n = -1) occupent, naturellement,
des posi-tionssymétriques
parrapport
à la direction d’illu-mination et ont une communelongueur
d’onde.d. En
dépit
de la contraction de Lorentz, la.
distance entre deux traits du réseau se maintient
invariable,
car il est orientéperpendiculairement
à ladirection du mouvement. Le facteur de contraction n’intervient donc pas dans les formules
résultantes.
Si nous
divisons,
parexemple,
dans le casparticulier
de l’incidence
normale,
lalongueur
d’onde 1. Il
[équ. (24)] correspondante
à un maximum d’ordre npar le
[équ. (23)],
de sonangle
deposition,
nous obtenons la même
équation,
qu’on
utilise dansl’Optique
des corps au repos pourla mesure de la constante k du réseau.
Réflexion sur des miroirs en mouvement. -La méthode basée sur
l’emploi
dulimaçon
est aussidirectement
applicable
au cas de la réflexion sur desmiroirs en mouvement. Mais il est
plus
aisé de recourir à un des résultatsdéjà
obtenus dans cetravail.
Un miroir
plan
peut
être,
eneffet,
considéré commeun réseau dont la constante est infinie. Substituons cette
valeur,
k = oo, dans les formules(19), (20)
et(21)
de la diffraction par un réseau en mouvement selon sa normale. Enayant
soin de conserver lesigne
(-)
dans le doublesigne,
nous obtenonsimmédiatement les formules relativistes
