Premier problème

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c Éditions H&K Publié dans lesAnnales des Concours 1/18

Mines Maths MPSI 2005 — Corrigé

Ce corrigé est proposé par Thomas Vidick (ENS Ulm) ; il a été relu par Thomas Chomette (Professeur en CPGE) et David Lecomte (Université de Stanford).

Cette épreuve est composée de deux problèmes indépendants, chacun découpé en trois parties. Les domaines abordés sont très variés, allant de l’algèbre linéaire à l’intégration et à la géométrie. On trace en particulier plusieurs courbes, définies d’abord par une équation de la forme y = f(x), puis par une équation paramé- trique, puis par une équation du type F(x, y) = 0. Dans l’ensemble, les questions ne présentent pas de grosses difficultés, et plusieurs d’entre elles consistent en une application directe du cours.

Mise à part la partie B du deuxième problème, qui reprend des notations de la partie A, les six parties de ce sujet sont indépendantes et peuvent donc être traitées dans un ordre quelconque. Une même thématique réunit cependant les trois parties de chaque problème.

• Les trois parties du premier problème sont indépendantes les unes des autres.

Dans la première, on étudie la fonction f : t 7→e^−tcost. On trace sa courbe représentative, puis on calcule l’aire du plan délimitée par cette courbe et l’axe des abcisses en introduisant une suite d’intégrales. Dans la deuxième partie, on étudie une courbe paramétrée et on la représente après en avoir donné une équation simple en coordonnées polaires. Dans la troisième partie, on étudie un sous-ensembleF deL(R²), et on montre que, muni de la composition des endomorphismes,Fest un groupe isomorphe à(R,+).

• Les deux premières parties du deuxième problème sont consacrées à l’étude de l’endomorphisme f : M 7→ M×A−A×M de M2(R), où A est une matrice fixée. Dans la première partie on montre que le noyau de f est un anneau. Dans la deuxième, on étudie un cas particulier, et on calcule les puis- sancesn-ièmes de certaines matrices avant de résoudre une équation matricielle.

Dans la troisième partie, indépendante des deux premières, on étudie une sy- métrie du plan, et on représente l’image du cercle unité par cette symétrie.

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Indications

Premier problème

3 Montrer quef n’admet pas de limite en⁻∞en considérant deux suites(uk)k∈N

et(vk)k∈Ntendant vers⁻∞et telles que f(uk)

k∈Net f(vk)

k∈Nont des limites différentes.

4 Le coefficient directeur de la tangente à(C)en(t, f(t))estf^′(t).

9 sn est la somme desn+ 1 premiers termes d’une suite géométrique.

12 Écrire−−→

V(t)sous la forme−−→

V(t) = C^te cos(t+θ) sin(t+θ)

! .

13 Remarquer que(−→ı ,−−−−→

OM(t)) =t.

16 Montrer queFt◦Ft^′ = Ft+t^′ en effectuant un produit matriciel.

Deuxième problème 3 Remarquer queK = Kerf.

5 Utiliser l’associativité du produit matriciel.

6 Montrer que c’est un sous-anneau de M2 en rassemblant les résultats des questions précédentes.

8.a Procéder par double inclusion, et utiliser les questions 4 et 7.

8.b Montrer que la famille(I,A)est libre.

9 Calculer les premières puissances deA.

10 Utiliser le binôme de Newton.

11 ExprimerN, puisN², en tant que combinaison linéaire deI et deA.

14 Exprimer les coordonnées dem∈Γen fonction de celles dem^′=s(m).

15 Exprimer−→ I et−→

J en fonction de−→ı et de−→. Pour cela, un dessin peut être utile.

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Premier problème

Partie A 1 Calculons la fonction dérivée def:

∀t∈R f^′(t) =−e^−tcost+e^−t(−sint) =−e^−t(cost+ sint)

Pour étudier le signe de la dérivée, cherchons ses points d’annulation : soitt dans l’intervalle

−π 2 ;3π

2

. Alors

f^′(t) = 0 ⇐⇒cost+ sint= 0

⇐⇒√ 2 cos

t−π 4

= 0 f^′(t) = 0 ⇐⇒t∈n

−π 4, 3π

4 o

Toute expression de la formeacosx+bsinx, oùa et b sont des réels, peut se mettre sous la formeγcos(x−ϕ), ce qui permet d’en étudier facilement le signe et les zéros. En effet,

α= a

√a²+b² et β= b

√a²+b²

satisfont α² +β² = 1, ce qui prouve qu’il existe un unique ϕ ∈ [ 0 ; 2π[ tel que

α= cosϕ et β= sinϕ D’où acosx+bsinx=√

a²+b²(αcosx+βsinx)

=√

a²+b²(cosϕcosx+ sinϕsinx) acosx+bsinx=√

a²+b²cos(x−ϕ) En posantγ=√

a²+b², on a bien la forme annoncée.

Pour avoir le signe def^′ sur chaque intervalle, on prend des valeurs particulières : f^′

−π 2

=e^π/2>0 f^′π 2

=−e^−π/2<0 et f^′3π 2

=e^−3π/2>0 D’où le tableau de variations def sur

−π 2;3π

2

:

−π

2 −π

4

3π 4

3π 2

f^′ + 0 − 0 +

√2

2 e^π/4 0

f ր ց ր

0 −

√2 2 e^−3π/4 Téléchargé gratuitement surwww.Doc-Solus.fr.

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2 Soient kun entier relatif ett∈

−π 2;3π

2

. On a f(t+ 2kπ) =e^−t−2kπcos(t+ 2kπ)

f(t+ 2kπ) =e^−2kπf(t)

Or e^−2kπ est un réel strictement positif ; comme multiplier une fonction par une constante positive ne change pas son sens de variations, les variations de f sur

−π

2 + 2kπ;3π 2 + 2kπ

sont les mêmes que sur

−π 2 ;3π

2

.

On peut remarquer que f(π/2) = 0 et donc, d’après le tableau de variations établi à la question précédente, f est positive sur [−π/2 ;π/2 ] et négative sur [π/2 ; 3π/2 ]. Comme pour tout réelt et tout entier relatifk, f(t+ 2kπ) =e^−2kπf(t), on en déduit que f est positive sur tout intervalle de la forme [−π/2 + 2kπ;π/2 + 2kπ] et négative sur tout intervalle de la forme[−π/2 + (2k+ 1)π;π/2 + (2k+ 1)π].

3 SoitMun point du plan de coordonnées(x, y). Alors M∈(C)∩(C1) ⇐⇒

y =e^−x y =e^−xcosx

⇐⇒

y =e⁻^x cosx= 1

donc M appartient à (C)∩(C1) si et seulement si xest de la forme 2kπ, k ∈ Z, ety=e⁻^x. Les points d’intersection de(C) et de(C1)sont donc les points :

(C)∩(C1) =

(2kπ, e⁻^2kπ)|k∈Z

De la même manière,

M∈(C)∩(C2) ⇐⇒

y =−e^−x y =e^−xcosx

⇐⇒

y =−e^−x cosx=−1

doncMappartient à(C)∩(C2)si et seulement sixest de la forme(2k+ 1)π,k∈Z, ety=−e^−x. Les points d’intersection de (C)et de (C2)sont donc les points :

(C)∩(C2) =

(2k+ 1)π,−e^−(2k+1)π

|k∈Z

Supposons quef admette une limiteℓ∈Ren⁻∞. Alors, si(uk)k∈Nest une suite de réels tendant vers⁻∞, la suite(f(uk))k∈Z tend versℓ.

Soit (uk)k∈N la suite (−2kπ)k∈N. Cette suite tend vers ⁻∞ lorsque k tend vers l’infini. D’après ce qui précède, pour tout entierk,f(−2kπ) =e^2kπ et donc la suite (f(−2kπ))k∈Ntend vers⁺∞. De même, en considérant la suite(−(2k+ 1)π)k∈N qui tend vers⁻∞, on constate que(f(−(2k+ 1)π))k∈Ntend vers⁻∞. Donc on a à la fois ℓ=⁻∞etℓ=⁺∞, ce qui est absurde.

f n’admet pas de limite en⁻∞.