LYCÉE MARIE CURIE 2de 2018–2019
Boucle Tant que v
Algorithme d’Euclide
On utilise l’algorithme d’Euclide pour déterminer le PGCD de deux nombres. Le PGCD de deux nombres a et b est le plus grand entier naturel qui divise à la fois a etb.
Exemple Pour calculer le PGCD de 391 et 221, on effectue des divisions euclidiennes.
391 = 221×1 + 170 221 = 170 ×1 + 51 170 = 51×3 + 17
51 = 17 ×3 +0
La première égalité est la division euclidienne de 391 par 221. Le nombre 1 est le quotient et170 est le reste. À chaque étape, on fait la division euclidienne entre le diviseur et le reste précédents.
Le PGCD est le dernier reste non nul obtenu.
Dans l’exemple, le PGCD est donc 17.
Exercice 1
1. En utilisant l’algorithme d’Euclide : (a) Déterminer le PGCD de 493 et377.
(b) Déterminer le PGCD de 527 et314.
2. À partir de l’exemple et des résultats précédents :
(a) Sait-on à l’avance le nombre de divisions euclidiennes nécessaires pour obtenir le PGCD ? (b) À quelle condition doit-on refaire une division ?
Un tel algorithme s’écrit en langage algorithmique avec la boucle « Tant que », dont la syntaxe générale est la suivante :
Tant que condition Faire instructions
Fin Tant que
Les instructions dans cette boucle sont répétées tant que la condition est vraie. La condition est généralement un test d’égalité ou d’inégalité.
À la différence de la boucle « Pour », on ne connaît a priori pas le nombre de fois où l’on va exécuter les instructions de la boucle.
On s’arrête quand la condition est fausse.
Exemple L’algorithme d’Euclide se traduit de la manière suivante :
Saisir a Saisir b
Tant que le reste de la division dea par b est différent de 0 Faire r reste de la division de a par b
a b b r Fin Tant que Afficher b
Exercice 2
On considère l’algorithme ci-contre
1. Exécuter l’algorithme avec les valeurs suivantes dex :
2 3,1 5,7
2. Quel est le rôle de cet algorithme ?
Saisir x N 0
Tant que N + 16x Faire N N + 1
Fin Tant que Afficher N
Exercice 3
On considère l’algorithme ci-contre
1. Exécuter l’algorithme avec les valeurs suivantes :
• N = 40 et n= 6;
• N = 10 et n= 11.
2. Quel est le rôle de cet algorithme ?
Saisir N Saisir n i 0
Tant que N−n×(i+ 1)>0Faire i i+ 1
Fin Tant que Afficher i
Exercice 4
Pierre place 5 000e sur un compte épargne à 2% par an. Chaque année, les intérêts s’ajoutent au capital. Il compte aussi placer 200e de plus par an. Il souhaite savoir au bout de combien d’années son épargne dé- passera 10 000e.
1. Compléter l’algorithme ci-contre pour qu’il per- mette de répondre au problème.
2. Exécuter alors l’algorithme en reproduisant puis en complétant le tableau ci-dessous :
X N
5 000 0 . . . .
X 5 000 N 0
Tant que X Faire
N N + 1 X
Fin Tant que Afficher N
