H155 – Au festival des Monts de la Madeleine [*** à la main]
Huit musiciens désignés par A,B,C,..,G,H vont participer au Festival d’été 2019 des musiques vivantes des Monts de la Madeleine qui comporte un certain nombre N de concerts.
N est le plus petit entier qui permet la programmation suivante:
- quatre musiciens participent à chaque concert et forment tous les duos possibles qui exécutent chacun un morceau,
- tous les duos possibles constitués avec les huit musiciens participent à un même nombre de concerts.
Déterminer N et donner une distribution possible des huit musiciens pour ces N concerts.
Solution proposée par Bernard Vignes
Soit N le nombre de concerts et k le nombre de concerts dans lesquels chaque duo exécute un morceau.
C(n,p) désignant le nombre de combinaisons de n objets pris p à p sans tenir compte de l’ordre, à chaque concert il y a C(4,2) = 6 duos qui exécutent chacun un morceau.
Par ailleurs les huit musiciens pris deux à deux constituent C(8,2) = 28 duos possibles.
En recensant le nombre total d’apparitions de ces duos , on a la relation 28k = 6N ou encore 14k = 3N.
Il en résulte que N est divisible par 14 et l’on a N ≥ 14.
Nous allons construire un diagramme qui montre que la valeur minimale N = 14 est réalisable.
On représente les huit musiciens par les sommets d’un cube. Les 14 concerts sont représentés par :
- les six faces (1,2,3,4), (5,6,7,8), (1,2,5,6), (3,4,7,8), (1,4,5,8), (2,3,6,7),
- les six rectangles transverses (1,3,5,7), (2,4,6,8), (1,2,7,8), (3,4,5,6), (1,4,6,7), (2,3,5,8) - les deux tétraèdres (1,3,6,8), (2,4,5,7).
