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un même nombre de concerts

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)H155. Au Festival des Monts de la Madeleine Huit musiciens désignés par A,B,C,..,G,H vont participer au Festival d’été 2019 des musiques vivantes des Monts de la Madeleine qui comporte un certain nombre N de concerts. N est le plus petit entier qui permet la programmation suivante: - quatre musiciens participent à chaque concert et forment tous les duos possibles qui exécutent chacun un morceau, - tous les duos possibles constitués avec les huit musiciens participent à un même nombre de concerts. Déterminer N et donner une distribution possible des huit musiciens pour ces N concerts. __________________________________________________________________ 8 musiciens forment Comb(8,2) = 28 duos différents. Dans un concert de 4 musiciens, on forme Comb(4,2) = 6 duos. Il y a une possibilité maximale de Comb(8,4) = 70 concerts de 4 musiciens et c’est une solution : tous les duos s’équivalent par permutation des musiciens. Dans toute solution, si N est le nombre de concerts, r le nombre de répétitions des duos et D le nombre total de duos joués, on a D = 28 x r = 6 x N. Le plus petit r possible est 3, ce qui correspond à 84 duos en tout et 14 concerts. Cherchons une telle solution. Répartissons les 14 concerts en quatre groupes selon la participation des musiciens A et H, et dans les mêmes proportions que dans la solution maximale, ce qui conduit à utiliser le rapport 14/70 = ⅕ : I ​A présent, H présent + 2 autres musiciens : ⅕ x Comb(6,2) = ⅕ x 15 = 3 concerts, II ​A présent, H absent + 3 autres musiciens : ⅕ x Comb(6,3) = ⅕ x 20 = 4 concerts, III ​A absent, H présent + 3 autres musiciens : ⅕ x Comb(6,3) = ⅕ x 20 = 4 concerts, IV ​A absent, H absent + 4 autres musiciens : ⅕ x Comb(6,4) = ⅕ x 15 = 3 concerts. Pour former les concerts d’un même groupe, appuyons-nous sur les rotations pour égaliser les participations des musiciens B à G. Pour équilibrer le tout, exploitons les complémentarités possibles entre ​I ​et​ IV ​et entre​ II ​et​ III ​: I ​BE, CF et DG, soit 1 participation de chaque musicien B à G, II ​BCD, DEF, FGB et CEG, soit 2 participations chacun, III ​EFG, GBC, CDE et FBD, soit 2 participations chacun, IV ​CDFG, DEGB et EFBC, soit 2 participations chacun. Et voilà (cf. tableau en annexe) ! Comme prévu, les participations des musiciens, y compris A et H, sont toutes égales (7 concerts), et de plus chaque duo est joué dans 3 concerts..

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