H155 – Au festival des Monts de la Madeleine [*** à la main]
Huit musiciens désignés par A,B,C,..,G,H vont participer au Festival d’été 2019 des musiques vivantes des Monts de la Madeleine qui comporte un certain nombre N de concerts.
N est le plus petit entier qui permet la programmation suivante:
- quatre musiciens participent à chaque concert et forment tous les duos possibles qui exécutent chacun un morceau,
- tous les duos possibles constitués avec les huit musiciens participent à un même nombre de concerts.
Déterminer N et donner une distribution possible des huit musiciens pour ces N concerts.
Solution proposée par Daniel Collignon
Dans un concert, il y a 4 musiciens, les 4*3/2=6 duos possibles exécutant chacun 1 morceau.
Pour N concerts, il y aura donc 6N morceaux joués.
Chacun des 8*7/2=28 duos aura exécuté m morceaux.
D'où la relation 28m=6N, ou encore 14m=3N, et il existe un entier k tel que m=3k et N=14k.
Pour minimiser N, visons k=1.
14 concerts est atteignable comme le montre l'exemple de programmation suivante : ABCD EFGH
ABEF CDGH ABGH CDEF ACEG BDFH ACFH BDEG ADEH BCFG ADFG BCEH
