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tous les duos possibles constitués avec les huit musiciens participent à un même nombre de concerts

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Academic year: 2022

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H155 – Au festival des Monts de la Madeleine [*** à la main]

Huit musiciens désignés par A,B,C,..,G,H vont participer au Festival d’été 2019 des musiques vivantes des Monts de la Madeleine qui comporte un certain nombre N de concerts.

N est le plus petit entier qui permet la programmation suivante:

- quatre musiciens participent à chaque concert et forment tous les duos possibles qui exécutent chacun un morceau,

- tous les duos possibles constitués avec les huit musiciens participent à un même nombre de concerts.

Déterminer N et donner une distribution possible des huit musiciens pour ces N concerts.

Solution proposée par Daniel Collignon

Dans un concert, il y a 4 musiciens, les 4*3/2=6 duos possibles exécutant chacun 1 morceau.

Pour N concerts, il y aura donc 6N morceaux joués.

Chacun des 8*7/2=28 duos aura exécuté m morceaux.

D'où la relation 28m=6N, ou encore 14m=3N, et il existe un entier k tel que m=3k et N=14k.

Pour minimiser N, visons k=1.

14 concerts est atteignable comme le montre l'exemple de programmation suivante : ABCD EFGH

ABEF CDGH ABGH CDEF ACEG BDFH ACFH BDEG ADEH BCFG ADFG BCEH

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