Huit musiciens désignés par A,B,C,..,G,H vont participer au Festival d’été 2019 des musiques vivantes des Monts de la Madeleine qui comporte un certain nombre N de concerts.
N est le plus petit entier qui permet la programmation suivante:
- quatre musiciens participent à chaque concert et forment tous les duos possibles qui exécutent chacun un morceau,
- tous les duos possibles constitués avec les huit musiciens participent à un même nombre de concerts.
Déterminer N et donner une distribution possible des huit musiciens pour ces N concerts.
Si quatre musiciens participent à chaque concert, ils peuvent former 6 duos distincts, et jouent donc 6 morceaux.. Avec huit musiciens, ce sont 28 duos possibles, qui
doivent donc jouer 3 morceaux chacun, pour que le nombre total de morceaux joués soit le plus petit multiple de 6. Il y a alors N=14 soirées de concert, qui peuvent être jumelées, la soirée de rang pair étant organisée avec les musiciens qui n’ont pas joué la soirée de rang impair.
Pour déterminer le programme, on peut placer les points B, C, D, E, F, G, H aux sommets d’un heptagone régulier de centre A ; puisque A doit jouer trois morceaux avec chacun des autres musiciens, on associe A à trois sommets formant un triangle scalène, par exemple B, C et E ; puis l’on fait tourner le triangle d’un septième de tour à chaque fois... On obtient :
ABCE, ACDF, ADEG, AEFH, AFGB, AGHC, AHBD pour les soirées impaires et DFGH, BEGH, BCFH, BCDG, CDEH, BDEF, CEFG pour les soirées paires.
