H155. Au festival des Monts de la Madeleine ***
Huit musiciens désignés parA,B,C,...,G,Hvont participer au Festival d’été 2019 des musiques vivantes des Monts de la Madeleine qui comporte un certain nombreN de concerts.
Nest le plus petit entier qui permet la programmation suivante :
— quatre musiciens participent à chaque concert et forment tous les duos possibles qui exécutent chacun un morceau,
— tous les duos possibles constitués avec les huit musiciens participent à un même nombre de concerts.
DéterminerNet donner une distribution possible des huit musiciens pour cesN concerts.
Solution de Claude Felloneau
Soitnle nombre de concerts auxquels participe chaque duo. Le nombre total de morceaux joués par tous les duos est donc8×7
2 n=28n. Chaque concert comporte 6 morceaux joués les 6 duos donc 28n=6N soit 14n=3N.
Comme 14 et 3 sont premiers entre eux, 14 diviseNet 3 divisen. On a ainsiN>14.
PourN=14, la liste suivante de 14 concerts convient.
ABC D,AB E F,ABG H,AC EG,AC F H,ADE H,ADF G, BC DE,BC F G,B DG H,B E F H,C DF H,C EG H,DE F G. Chaque duo jouera 3 morceaux.
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