Concours National Commun d Admission aux Grandes Écoles d Ingénieurs

Minist`ere de l’ ´Education Nationale Minist`ere de l’Enseignement

Enseignement Secondaire et Technique Sup´erieur, de la Formation des Cadres et de la Recherche Scientifique

Concours National Commun d’Admission aux

Grandes ´Ecoles d’Ing´enieurs

Session 2002

´E PREUVE DE M ^ATH EMATIQUES ´ I

Dur´ee 4 heures

Concours MP

Cette ´epreuve comporte 5 pages au format A4, en plus de cette page de garde L’usage de la calculatrice estinterdit

L’´enonc´e de cette ´epreuve, particuli`ere aux candidats du concours

MP

comporte 5 pages.

L’usage de la calculatrice est

interdit

Les candidats sont inform´es que la pr´ecision des raisonnements ainsi que le soin apport´e `a la r´edaction seront des ´el´ements pris en compte dans la notation. Les candidats pourront admettre et utiliser le r´esultat d’une question non r´esolue s’ils l’indiquent clairement sur la copie. Il convient en particulier de rappeler avec pr´ecision les r´ef´erences des questions abord´ees.

D´efinitions et notations

Quand on ouvre progressivement un robinet, on assiste `a la superposition d’´etats p´eriodiques (goutte `a goutte) dont les p´eriodes ne sont pas n´ecessairement multiples d’une mˆeme fr´equence, contrairement `a la th´eorie classique des S´eries de FOURIER. L’objet de ce probl`eme est donc de donner un contexte dans lequel on puisse ´etudier des sommes de ph´enom`enes p´eriodiques de p´eriodes quelconques.

On travaille dansR^R, qui est l’espace vectoriel de toutes les fonctions deRdans lui mˆeme ; on notera aussi C⁰(R)(resp. C^p(R), C^∞(R)) le sous-espace vectoriel des fonctions continues (resp. de classesC^p, C^∞).

Soientf ∈R^Retw∈R. On dira quef estw-p´eriodique (ou quewest une p´eriode def) si pour tout r´eelx, f(x+w) =f(x).

On noterak.k∞la norme de la convergence uniforme surR; elle est d´efinie, pour toute fonction r´eellef born´ee surR, par :

kfk_∞= sup

x∈R

|f(x)|.

I.VALEUR MOYENNE D’UNE FONCTION

On appellera valeur moyenned’une fonctionf d´efinie surRla quantit´e suivante, quand elle existe :

µ(f) = lim

A→+∞

1 2A

Z A

−A

f(t)dt.

1. Valeur moyenne d’une fonction p´eriodique

(a) Calculer la valeur moyenne de chacune des fonctions suivantes : C₁ : t7→cost S₂ : t7→sin 2t C₀ : t7→1.

Dans les deux questions suivantes, f d´esigne une fonction continue sur R, `a valeurs r´eelles,w-p´eriodique, avecw >0.

(b) Montrer que la suite de terme g´en´eralun= 1 n

Z nw 0

f(t)dt, pourn>1, est constante.

(c) En d´eduire soigneusement la valeur deµ(f)sous forme d’une int´egrale sur un segment.

2. Transformations

(a) Montrer que l’ensemble des fonctions continues deRdansRet qui admettent une valeur moyenne est un espace vectoriel r´eel, et que l’applicationµ : f 7→ µ(f) est une forme lin´eaire sur cet espace.

(b) On consid`ere un endomorphisme de l’espace vectoriel R^R: τ_a: f 7→τ_a(f) avec τ_a(f) : t7→f(t+a).

Montrer que sif ∈ C⁰(R)est une fonction born´ee ayant une valeur moyenne, alorsτa(f) aussi et que l’on a

µ(τ_a(f)) =µ(f).

(c) Faire une ´etude similaire pour

N_a: f 7→ N_a(f) avec N_a(f) : t7→f(at).

(d) Que peut-on dire de la valeur moyenne d’une fonction impaire.

(e) Donner une expression simplifi´ee de la valeur moyenne d’une fonction paire.

3. Valeur moyenne d’une fonction convergente On consid`ere des fonctions continues deRdansR.

(a) Calculer la valeur moyenne deg: t7→ _1+|t|¹ .

(b) On suppose quef(t)→0quandt→ ±∞. Montrer queµ(f)existe et vaut0.

(c) On suppose quef admet une limite`en+∞et en−∞. Que dire deµ(f)?

(d) On suppose enfin quef converge en+∞et en−∞vers deux limites`+et`−. Exprimer µ(f).

4. Valeur moyenne d’une fonction int´egrable

On suppose quef est int´egrable surR. Montrer queµ(f)existe et donner sa valeur.

5. Valeur moyenne et fonctions born´ees (a) La fonctiont7→p

|t|costest-elle born´ee surR? Calculer sa valeur moyenne.

(b) On d´efinit une fonction paire, continue par morceaux, par

χ(t) =







0 si06t <1,

1 si3^2p6t <3^2p+1pour un certainp∈N, 0 si3^2p−16t <3^2ppour unp∈N^∗.

Calculer3⁻ⁿ Z 3ⁿ

0

χ(t)dtpuis en d´eduire queχn’a pas de valeur moyenne.

II.UN PRODUIT SCALAIRE On veut d´efinir un produit scalaire par la formule

(f|g) =µ(f.g).

Nous allons construire progressivement des espaces de plus en plus gros pour lesquels ce produit scalaire est bien d´efini. Certains exemples de la premi`ere partie prouvent que l’on ne peut pas y faire figurer n’importe quelle fonction.

1. Exemples

On note de fac¸on abr´eg´eeCw : t7→cos(wt)etSη : t7→sin(ηt), pourw>0etη >0donn´es.

(a) Calculer(C_α|C_β). On trouvera trois valeurs distinctes selon les cas.

(b) Donner sans d´emonstration les valeurs de(Sα|S_β)et de(Cα|S_β).

2. Sommes finies de fonctions p´eriodiques

On consid`ere le sous-espace vectorielFdeR^Rengendr´e par lesC_w etS_η pour tous lesw>0 etη >0.

(a) Est-ce que la fonctionh: t7→cost+ cos(πt)est p´eriodique ? (b) Est-ce quehest un ´el´ement deF? Ett7→

+∞

X

n=1

2⁻ⁿcos(3ⁿt)? (c) Montrer que(f, g)7→(f|g)d´efinit un produit scalaire surF.

3. Continuit´e

On consid`ere une suite(f<sub>n</sub>)n∈Nd’´el´ements deFqui tend vers0au sens de la norme uniforme, c’est `a dire que

kf_nk_∞−→

+∞ 0.

Montrer que(fn|f_n)−→

+∞ 0et en d´eduire que, pour toutg∈ F,(fn|g)−→

+∞ 0.

4. Limites uniformes

(a) Produit scalaire et limites uniformes

On consid`ere dans F une suite d’applications (f_n)n∈N (resp. (g_n)n∈N) qui converge uniform´ement sur R vers une fonction continue f (resp. g) . Montrer que la suite

(fn|g_n)

n∈Nest convergente.

(b) Nommer un th´eor`eme qui assure que toute applicationw-p´eriodique continue est limite uniforme surRd’une suite d’´el´ements deF, tousw-p´eriodiques.

5. Une extension de(.|.)

On veut maintenant d´efinir(f|g)pour deux applications continues p´eriodiques (de p´eriodes arbitraires) ; pour cela on consid`ere une applicationw-p´eriodiquef continue et une applica- tionη-p´eriodiquegcontinue elle aussi.

On consid`ere donc dansFune suite d’applicationsw-p´eriodiques(f_n)n∈N(resp.η-p´eriodiques (g_n)n∈N) qui converge versf (resp.g) uniform´ement surR, et on pose

(f|g) = lim

n→+∞(f_n|g_n).

(a) Montrer que cette quantit´e existe, et qu’elle ne d´epend pas du choix des suites(fn)n∈Net (g_n)n∈NdansF.

(b) Montrer que l’expression pr´ec´edente est bilin´eaire par rapport au couple (f, g) et que pourg=f, elle est positive ou nulle.

(c) On suppose que la suite d’applications w-p´eriodiques (f_n)n∈N converge vers f, uni- form´ement surR. Montrer quef estw-p´eriodique et que

(f|f) =µ(f²) = 1 w

Z w 0

f².

(d) Montrer que pour f continue et p´eriodique, on a (f|f) = 0 seulement quand f est la fonction nulle.

6. Groupe des p´eriodes d’une fonction (a) Sous-groupe de(R,+)

On consid`ere un sous-groupeGdeRpour la loi+. On suppose queG6={0}et on pose α= infG∩]0,+∞[.

• Siα >0, montrer queα∈Get queG=αZ(on pourra utiliser le crit`ere de la borne inf´erieure).

• Siα= 0, montrer queGrencontre tout intervalle de la forme]a, b[(a < b) et conclure que Gest dense dansR.

(b) Application au groupe des p´eriodes d’une fonction

Soitf une fonction de RdansR. On noteG_f l’ensemble, ´eventuellement r´eduit `a{0}, des p´eriodes def.

• Montrer queG_f est un sous-groupe additif deR.

• On suppose quef est continue surR, et p´eriodique. Montrer que f poss`ede une plus petite p´eriode strictement positive ou bien quefest constante.

7. Th´eor`eme du m´elange

On consid`ere deux fonctionsf w-p´eriodique etg η-p´eriodique.f etgsont de plus continues.

(a) On suppose quew/η est un nombre rationnel.

Montrer que f et g poss`edent une p´eriode commune τ, en d´eduire l’existence et une expression int´egrale de(f|g).

(b) On suppose quew/η est un nombre irrationnel.

A l’aide d’un r´esultat pr´ec´edemment d´emontr´e dans ce probl`eme, montrer que l’on a` (f|g) =µ(f)µ(g).

III.UNE ALGEBRE DE FONCTIONS PRESQUE` -PERIODIQUES´ On note Al’ensemble des fonctions de la formet 7→

+∞

X

n=0

(α_ncos(w_nt) +β_nsin(w_nt))ou encore

+∞

X

n=0

(α_nC_wn+β_nS_wn), o `u lessuites des amplitudes(α<sub>n</sub>),(β<sub>n</sub>)sont des familles sommables de r´eels, et lasuite des fr´equences(w<sub>n</sub>)est une suite quelconque de r´eels distincts deux `a deux.

1. Structure d’alg`ebre

(a) Que pouvez-vous dire de la convergence de la s´erie de fonctions d´efinissant un ´el´ement deA? Conclure queA ⊂ C⁰(R)et montrer queAest un espace vectoriel r´eel.

(b) Justifier que le produit de deux ´el´ement deA est encore dansA: c’est donc une sous- alg`ebre de l’alg`ebre des applications continues.

2. Structure pr´ehilbertienne

(a) Montrer que le produit scalaire de F se prolonge `a A. On pr´ecisera la valeur du carr´e scalaire de

+∞

X

n=0

(α_nC_wn+β_nS_wn).

(b) Soitf ∈ A. Quelles valeurs peuvent prendre(f|C_−w)et(f|S_−w)quandwvarie dansR? L’´ecriture def =

+∞

X

n=0

(α_nC_wn+β_nS_wn)s’appelle son d´eveloppement en s´erie deFOURIER-BOHR. (c) ´Etant donn´es deux ´el´ementsfetgdeA, calculer(f|g)en fonction des coefficients de leur d´eveloppement de FOURIER-BOHR. On admettra qu’il est possible de prendre pourf et gune mˆeme suite(w_n)des fr´equences.

IV.LA FONCTIONcosx+ cos(x√ 2)

Dans cette derni`ere section, plus exp´erimentale, on ´etudie un exemple c´el`ebre de fonction presque-p´eriodique. On d´efinit une fonction deF, la fonctionB : x7→cosx+ cos(x√

2).

1. Pr`es de√ 2

(a) Montrer que(3 + 2√

2)ⁿ=p_n+q_n√

2d´efinit deux suite d’entiers naturels(p_n)et(q_n).

(b) V´erifier que(3−2√

2)ⁿ=pn−qn

√

2pour toutn∈N.

(c) En d´eduire des expressions dep_n, q_n, p²_n−2q²_n, en tirer un ´equivalent dep_net deq_n. 2. Approximation rationnelle de√

2

Montrer qu’ils existe des fractionsp/qavecqarbitrairement grand et v´erifiant

p q −√

2

6 1

q²√ 2 < 1

q². 3. Maxima deB

Soitε >0donn´e. Montrer qu’il existe des entiers naturelketk⁰arbitrairement grands tels que

|2kπ√

2−2k⁰π|6ε.

En d´eduire que la fonctionB prend une infinit´e de fois des valeurs sup´erieures `a2−ε.

4. Presque p´eriodicit´e-la d´efinition deBOHR

On ´etudie sur cet exemple de la fonction B la d´efinition g´en´erale des applications quasi p´eriodiques.

On fixe unε >0. Avec les notations de la question2., montrer que pourqassez grand on a

∀x∈R |B(x)−B(x+ 2pπ)|6 2π q ⁶ε.

On a ainsi montr´e queBposs`ede des “quasi-p´eriodes”ctelles que

∀x∈R |B(x)−B(x+c)|6ε.

F

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