TD Applications linéaires Exercice 2
:
Monter que si deux vecteurs u et v de l'espace vectoriel E ont même norme alors u+v et u-v sont orthogonaux.
Applications linéaires
Exercice 3
:
Soit f une application linéaire .
1. Monter que ker ( f )⊂ker( f
2) 2.
Exercice 4
:
Soit f l'endomorphisme de ℝ
3définit sur la base canonique (e1, e2, e3) par : f ( x y z ) = ( x y z )
a) Donner la matrice associé a cet endomorphisme sur la base canonique de
ℝ3.
b) Monter que f
3= f ∘ f ∘ f est égale à l'application identité.
d) En déduire que f est bijective et donner son inverse f
−1. c) En déduire le rang et le noyau de f.
Exercice 3
:
Soit f l'endomorphisme de
ℝ
3 définit sur la base canonique (e1, e2, e3) par :f(e1)=
( 0 0 1 )
; f(e2)=( 1 0 0 )
f(e3)=( 0 1 0 )
;a) Donner la matrice associé a cet endomorphisme sur la base canonique de ℝ3 . b) Monter que f3(=fofof) est égale à l'application identité.
c) En déduire que f est bijective et donner son inverse f-1. d) En déduire le rang et le noyau de f.
Exercice 3
:
Soit f : ℝ3→ℝ2 l'application définie pour tout vecteur u =(x, y, z) de ℝ3 par : f(u)=(-x+y+z ; x-2y+z)
a) Montrer que f est une application linéaire.
b) Donner la matrice associé a cet endomorphisme sur les base canonique de
ℝ
3 et deℝ
2 .c) Donner une base de ker(f) et de Im(f) dans les bases canoniques de ℝ3 et de ℝ2 .
Exercice 4
:
Soit f l'endomorphisme de
ℝ
3 définit sur la base canonique (e1, e2, e3) par : f(e1)=−1
3
e1 +2 3
e2+2
3
e3; f(e2)=2 3
e1 +−1 3
e2+2 3
e3;f(e3)=
2 3
e1 +2 3
e2+− 1 3
e3;et Soient E1= { u∈ℝ3 où
f (u )=u
} et E-1={u ∈ℝ
3 oùf ( u )=− u
}a) Monter que E-1 et E1 sont des sous espaces vectoriels de ℝ3 .
b) Montrer que e1 – e2 et e1 – e3 appartiennent à E-1 et que e1 + e2 + e3 appartient a E1. c) Que peut on en déduire sur les dimensions de E1 et de E-1 ?
d) Montrer que
E
1∩ E
−1 =ker(f).e) Calculer f2 (=fof) . En déduire que f est bijective et donner les dimensions de E1 et de E-1 . Transformations
