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Submitted on 1 Jan 1903
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Démonstration de la loi de Maxwell-Bartoli
H. Pellat
To cite this version:
H. Pellat. Démonstration de la loi de Maxwell-Bartoli. J. Phys. Theor. Appl., 1903, 2 (1), pp.484-490.
�10.1051/jphystap:019030020048401�. �jpa-00240784�
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sel gemme et de l’eau l’est aussi. Mais, d’autre part, la transpa-
rence pour les rayons du bec Auer des métaux et d’autres subs-
tances opaques pour les rayons de Rubens constitue une différence,
en apparence radicale, entre deux espèces de radiations.
DÉMONSTRATION DE LA LOI DE MAXWELL-BARTOLI;
Par M. H. PELLAT.
Comme on le sait, Maxwell a déduit de la théorie électromagné- tique de la lumière, qu’une radiation, en tombant normalement sur une surface, doit produire une pression égale à l’énergie radiante
contenue dans l’unité de volume.
Bartoli et, depuis, plusieurs autres auteurs sont arrivés au même
résultat, en s’appuyant seulement sur les principes de la Thermo- dynamique. La démonstration de Bartoli, reprise par Boltzmann (i),
est assez bizarre et, comme il n’y en a pas d’autres indiquées dans
ce recueil, et qùe cette loi prend de plus en plus d’importance par les applications qu’on en a faites à l’astronomie physique (queue des
comètes, couronne solaire, etc.), je crois ne pas faire oeuvre inutile
en en donnant ici une démonstration rigoureuse.
Cette démonstration est divisée en deux parties: la première, dans laquelle les lois du rayonnement sont seules appliquées, a surtout
pour but de permettre de passer du cas d’un rayonnement en tout
sens au cas du rayonnement normal d’une manière rigoureuse ; la seconde, fondée sur les principes de la thermodynamique, montre
l’existence des pressions produites par les radiations et en donne la
grandeur.
I
’
Considérons deux plans indéfinis parallèles, l’un AA parfaitement noir, l’autre BB opaque et doué d’un pouvoir réflecteur ou diffusii uniforme p à la même température absolue T, et comprenant entre
eux un espace vide d’épaisseur a.
(1) J. de Phys., 2° série, t. p. 52~ ; 1883.
Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphystap:019030020048401
485
Proposons-nous d’abord d’évaluer l’énergie radiante contenue par unité de volume entre ces deux plans.
En désignant par E l’énergie rayonnée dans la direction normale, pendant l’unité de temps, par l’unité de surface du corps noir AA,
un élément de surface 0, d’étendue ds, envoie pendant l’unité de
temps, dans un cône d’ouverture d«) faisant un angle x avec la nor- male, une quantité d’énergie d2U, donnée par
>
Si ds’ est la surface découpée par ce cône en 0’ dans le plan BB,
on a dw = en désignant par r la longueur 00’; d ou :
’
La quantité d’énergie contenue dans le cône 00’ est donnée
par d2U = d2UI -~3 en appelant V la vitesse de la lumière ; d’oii :
En appelant x la distance PO, comme r et 2 ne dépendent que de ~;,
on peut prendre pour l’élément ds’ la couronne et en inté-
486
grant entre x = o et x = ~ , après avoir remplacé cos. x et r par leur expression en ~~, il vient pour l’énergie totale contenue entre les
deux plans et provenant du seul élément ds :
et pour l’énergie provenant d’une étendue S de la surface AA due dia- mètre infini par rapport à a :
Mais, par le fait que le plan BB réfléchit ou diffuse une fraction p de cette énergie, il faut ajouter à l’expression précédente, pour avoir 1 énergie contenue entre les deux plans, la fraction pU = o v ° E as, et, du rait que le corps BB ayant un pouvoir absorbant 1 - p a un
pouvoir émissif qui est la fraction 1
-p de celui du corps noir AA,
il faut ajouter E (1 2013~ aS provenant du rayonnement de BB, ce qui donre
’en tout 2 E v aS pour l’énergie contenue entre une portion S
des deux plans ; d’où, pour l’énergie u contenue par unité de volume :
D’après la loi de Stefan, en appelant A une constante, on a E == AT’, d’où
Revenons à l’élément 0’ frappe par le rayonnement de l’élément 0,
et qui en reçoit la quantité d’énergie d2U1 par unité de temps, fournie par (2). Si cette surface ds’ éprouve de la part de ce rayon-
nement une force F de pression, celle-ci ne peut être due qu’à la com- posante normale du rayonnement ; de façon qu’en désignant pair k
une constante, on a:
487 u, en remplaçant d2Uj par sa valeur (2) :
En désignant par y la distance OP’, en remplaçant r et cos. x par leur valeur en y, ds par la couronne et intégrant depuis
~y = o jusqu’à y = oc , on obtient pour la force de pression produite
par le rayonnement de la totalité du plan AA sur 0’ :
et, par conséquent, pour la pression 1J produite en un point quel-
conique du plan BB :
d’après (6).
Si la surface BB, au lieu de recevoir des radiations dans toutes les
directions, ne reçoit que des radiations normales, en appelant dU~ 1 l’énergie qui tombe pendant l’unité de temps sur la surface ds’, et
la force qui en résulte, on a, d’après (8) : s
En appelant u’ l’énergie contenue alors dans l’unité de volume, provenant tant des radiations incidentes que des radiations réfléchies
ou émises par BB, l’énergie contenue dans l’unité de volume et pro- P
venant seulement de l’onde incidente est ul comme nous l’avons vu.
Par conséquent, on a:
en remplaçant dans ( 12),
et, par conséquent, pour la pression p’ supportée par le plan BB : -.
488
II
’
Nous allons montrer maintenant que le coefficient b n’est pas nul.
et en trouver la valeur.
Pour cela, considérons le système suivant. Un corps de pompe est fermé par une base AA A.’A’, parfaitement noire sur sa face interne AA ; -, un piston sans frottement est constitué par un corps opaque BB B/B
P
doué d’un pouvoir réflecteur ou diffusif uniforme sur sa face interne La base ou le piston peuvent recevoir de la chaleur d’une source exté- rieure au système. Le vide existe entre AA et BB. La température,
est toujours la mêmc pour les deux corps AA A’A’ et BB B’B’;
soit T sa valenr absolue. Des forces extérieures au système équi-
librent la pression que le piston peut recevoir des radiations. Dans
ces conditions, l’état du système ne dépend que de la température T
et du volume v contenu entre AA et BB, que nous prendrons pour variables indépendantes, et celui-ci peut être le siège de transfor- mations réversibles. Nous supposerons enfin que le diamètre du corps de pompe est infini vis-à-vis de la distance de AA à BB.
Si dans ces conditions les radiations exercent une pression p sur BB, en faisant varier le volumes de dv, le système met en jeu un tra-
vail dNV == pdv. D’autre part, désignons, comme ci-dessus, par ti
l’énergie radiante contenue dans l’unité de volume ; l’énergie conte-
nue entre AA et BB est uv ; appelons U, la somme des énergies des
corps AA, A’A’, BB, B’B’ et des parois du corps de pompe. Dans une variation élémentaire (dT, on a pour la variation d’énergie dU du système :
Appelons ~Q la quantité de chaleur fournie par la source pour
cette transformation, on a :
Or, en appelant C la capacité calorifique des corps AA, A’A’, BB~
B’B’ et des parois du corps de pompe on a (1,U, _-__ JC dT ; d’où, pour la
variation d’entropie du système, puisque la transformation est réver-
sible :
489
Appliquons la loi de Carnot en écrivant que la difiérentielle de
l’entropie est une difiérentielle exacte ; il vient, en remarquant que C et it ne sont pas fonction de v [Voir (7)J :
d’où
Cette relation montre que ~~ ne peut pas être nul si u n’est pas nul,
c’est-à-dire qu’elle montre l’existence des pressions produites par les radiations. Pour intégrer, remplaçons it par sa valeur (7) ; il vient :
d’où
La constante d’intégration B doit être nulle pour qu’on puisse
identifier les expressions (21) et (11). Cette identification donne kV 1 d" d l’fi
..1
.d’ d dO.
lkv 1; d’où, en définitive, pour la pression p due à des radiations venant uniformément dans tous les sens et pour la pression p’ due à
des radiations normales, d’après (~.~~ :
Cette dernière relation est bien celle de Maxwell. Nous l’avons obtenue, il est vrai, en supposant que le corps radiant a la même
’
température que le corps qui reçoit la radiation. Si ce dernier corps est parfaitement réfléchissant, peu importe évidemment sa tempéra-
ture ; dans les autres cas, il paraît peu probable aussi que la tempé-
rature puisse avoir une influence sur la pression qu’il reçoit, pour la même énergie radiante contenue dans l’unité de volume ; pourtant ce
n’est pas évident.
°Remarquons que, si l’on admet la relation p’ ~ u’ comme démon-
trée par une autre voie, par la théorie électromagnétique de la lu-.
mière, par exemple, on déduit de (15) et de (11) P 3 En portant
490
cette valeur dans la relation (I9), celle-ci devient
d’où, par intégration:
et, en portant cette valeur dans (6), il vient E - A~I°" ; c’est la loi de Stefan. Ainsi la loi de Maxwell-Bartoli et la loi de Stefan sont une
conséquence l’une de l’autre, d’après les principes de la thermody- namique. Boltzmann avait déjà signalé ce rapprochement (1).
SUR LE COEFFICIENT 03C3 DE POISSON POUR LE CAOUTCHOUC VULCANISÉ;
Par M. H. BOUASSE.
Il est singulier qu’on ait tant écrit sur une question où tout le
inonde est d’accord et oû il suffit de s’entendre sur quelques défini-
tions : c’est ce que je vais prouver dans cet article.
1. Le coefficient c de Poisson se présente sous deux aspects bien
différents. On s’est demandé si, dans les formules de l’élasticité par- faite des corps isotropes, la réduction des coefficients doit se limiter à deux ou à un seul. Appelons avec Larné (Leçons sur l’élasticite)
a et tt ces deux coefficients ; on a ce = y , Saint-Venant veut
.... A p..
que l’on pose, pour tous les corps isotropes, A== u., c = 0,25;
Wertheim préfère la relation À = 2u., 6 = 0,33 ; Lamé admet seule- ment que ), et u, sont deux constantes positives : si p est très grand
devant ),, c - 0; si j. est très petit devant ),, 7 - 0,50 ; a peut prendre
toutes les valeurs comprises entre ces limites. Comme nous ne savons
pas si le caoutchouc obéit à la théorie classique de l’élasticité, quittons pour le moment ce point de vue.
2. Ou peut encore définir le coefficient de Poisson comme le rap-
port de la diminution de l’unité de longueur, dans la section trans- versale, à l’allungement de l’unité de longueur, dans le sens longi-
-
