3. Loi uniforme

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Terminale S Probabilité 2

Thème 9 – Loi à densité – Loi uniforme

1. Variables aléatoires continues

Définition 1 : Variables aléatoires

Une variable aléatoire est une fonction qui à chaque issue d’une expérience aléatoire associe un nombre.

Exemple : On considère l’expérience aléatoire qui consiste à lancer deux dés. On peut alors définir plusieurs variables aléatoires :

• La variable aléatoire X qui au lancer associe la somme des faces supérieures ;

• La variable aléatoire Y qui au lancer associe le maximum des deux faces supé- rieures ;

• La variable aléatoire Y qui au lancer associe la valeur absolue de la différence des faces supérieures ;

Définition 2 : Variables aléatoires continues

Une variable aléatoire est continue si elle peut prendre toute valeur réelle dans un intervalle I de R. On ne s’intéresse pas alors aux probabilités de la forme P(X = a) mais à celles de la forme P(X>a) ou P(a6X 6b).

Exemple : On considère l’expérience aléatoire qui consiste à appeler le service clientèle d’un opérateur téléphonique et à mesurer le temps d’attente. On définit ainsi une variable aléatoire X que l’on peut considérer comme continue.

2. Loi à densité

Définition 3 : Lois à densité

Soit X une variable aléatoire continue à valeurs dans un intervalle [a, b] de R. S’il existe une fonction f positive ou nulle sur [a, b], et telle que, pour tous réels c et d,

P(c6X 6d) =

Z d c

f(t)dt,

alors on dit que la fonction f est la densité de probabilité de la variableX.

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Illustration : Probabilité selon une loi à densité

Soit X une variable aléatoire donc la loi de densité est donnée ci-dessous.

c d

f

P(c6X 6d) =

Z _d

c f(x)dx

Exercice résolu 1 :

On considère la variable aléatoire X à valeurs dans [0; 2] et de densité de probabilité f oùf est la fonction définie parf(x) = ¹₂x si x∈[0,2] et f(x) = 0 sinon.

1. Représenter la fonctionf. 2. Calculer P(0,56X 61).

3. Calculer P(X >1).

Solution :

P(0,56X 61) =

Z 1 0,5

f(t)dt

P(0,56X 61) = (1−0,5) (f(0,5) +f(1)) 2

P(0,56X 61) = 0,5(0,25 + 0,5) 2

P(0,56X 61) = 0,1875

Illustration :

0.5 1.0

0.5 1.0 1.5 2.0

P(X >1) =

Z 2 1

f(t)dt

P(X >1) = (2−1) (f(1) +f(2)) 2

P(X >1) = 1(0,5 + 1) 2 P(X >1) = 0,75

Illustration :

0.5 1.0

0.5 1.0 1.5 2.0

Remarque : Si X est une variable aléatoire continue à valeurs dans un intervalle [a, b] et f sa densité de probabilité, alors pour tout réel cde [a, b], P(X =c) =P(c6 X 6c) =

R_c

c f(t)dt = 0. On ne s’intéressera donc jamais aux probabilités de cette forme, mais à celles correspondant à des intervalles. On pourra d’autre part utiliser indifféremment des inégalités larges ou strictes : pour tous réels cet d, P(c6X 6d) =P(c < X < d).

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Proposition 1 : Une propriété des fonctions de densité

Si f est la densité de probabilité d’une variable aléatoire à valeurs dans un intervalle [a, b] de R, alors f doit vérifier la propriété ^R_a^bf(t)dt = 1.

Démonstration : Par définition, toutes les valeurs possibles pourXappartiennent à l’intervalle [a, b], donc la probabilitéP(a6X 6b) est égale à 1. Or cette probabilité est égale à l’intégrale R_b

af(t)dt.

Définition 4 : Espérance d’une variable aléatoire suivant une loi à densité

Soit X une variable aléatoire continue à valeurs dans un intervalle [a, b] de R, et de densité de probabilité f. L’espérance de la variable aléatoire est alors le nombre réel

E(X) =

Z _b

a

tf(t)dt.

Remarque :cette définition constitue un prolongement dans le cadre continu de l’espérance d’une variable aléatoire discrète. E(X) = ^Px_ip(X =x_i).

3. Loi uniforme

Définition 5 : Lois uniformes

Une variable aléatoireX suit une loi uniforme sur un intervalle[a, b]deR si, intuitive- ment, la loi de probabilité deX est équirépartie sur l’intervalle [a, b]. Plus précisément, la densité de probabilité de la variable aléatoire X est alors la fonction constante par morceaux égale à _b−a¹ pour x∈[a, b] et à 0 sinon.

Illustration : Densité de probabilité d’une loi uniforme

a b

1 b−a

Remarque :L’intégrale^R_a^bf(t)dtest égale à l’aire d’un rectangle de baseb−aet de hauteur

1

b−a. On a donc ^R_a^bf(t)dt = (b −a)× ¹

b−a = 1, comme il convient pour une densité de probabilité sur un intervalle [a, b].

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Proposition 2 : Calculs de probabilités pour une loi uniforme

Soit X une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur un intervalle [a, b]. Pour tous réels cet d dans l’intervalle [a, b],

P(c6X 6d) = d−c b−a.

Démonstration : Par définition,P(c6X6d) =^R_c^df(t)dt. Or cette intégrale est égale à l’aire d’un rectangle de base d−c et de hauteur _b−a¹ . On a doncP(c6X6d) =^R_c^df(t)dt= ^d−c_b−a. Exemple : Soit X une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur l’intervalle [1; 5]. Sa densité de probabilité est la fonction f constante par morceaux, égale à ₅¹

−1 = ¹₄ pour x ∈ [a, b] et à 0 sinon. On peut par exemple calculer la probabilité P(2 6 X 6 4) =

R4

2 f(t)dt= ⁴₅⁻²

−1 = ¹₂.

Proposition 3 : Espérance d’une variable aléatoire suivant une loi uniforme

Si X est une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur un intervalle [a, b] de R, alors son espérance est

E(X) = a+b 2 .

Démonstration : Par définition de la loi uniforme et de l’espérance d’une variable continue, E(X) =^R_a^bt_b−a¹ dt. La représentation graphique de la fonctiont7→t_b−a¹ est la droite D passant par l’origine et de coefficient directeur _b−a¹ . Cette droite passe par les points de coordonnées (a,_b−aâ ) et (b,_b−a^b ). L’intégrale ^R_a^bt_b−a¹ dt est égale à l’aire de la zone délimité par la droite D, l’axe des abscisses et les droites d’équations x =aet x =b. Cette zone est un trapèze, et son aire est égale à ¹₂(b−a)×(_b−aâ +_b−a^b ) = ¹₂(b−a)×â⁺^b

b−a = ¹₂(a+b), par conséquentE(X) = ^a⁺₂^b. Exemple : L’espérance d’une variable aléatoire X suivant la loi uniforme sur [1; 5] est E(X) = ¹⁺⁵₂ = 3.