{ Feuille de TD 2 : Congruences TS Spécialité

Feuille de TD 2 : Congruences TS Spécialité

Montrer, en utilisant un produit remarquable, que pour tout n , ∈ ℕ 6ⁿ–1 est un multiple de 5.

En déduire que 6ⁿ2009 est un multiple de 5.

L'égalité a=15q51 correspond-elle à la division euclidienne de a par 15 ? Sinon, écrire l'égalité correspondante.

Effectuer la division euclidienne de 500 par 16. En déduire le reste modulo 17 de 6^500.

A l'aide des congruences, déterminer le reste dans la division euclidienne par 12 du nombre :

A=5²⁰×7⁴⁰×11⁶⁰×13⁸⁰×17¹⁰⁰

Critère de divisibilité par 11

1) Soit x un entier qui s'écrit en base dix : x = a_n...a₂a₁a₀ (les a_i les chiffres ; 0a_i9 et a_n≠0.)

a. Établir que, pour k : ∈ ℕ 10^k≡–1^k11

b. En déduire que : x ≡a₀a₂a₄–a₁a₃a₅11

c. Énoncer un critère de divisibilité par 11.

Application: Déterminer, pour chacun des entiers suivants, le reste de la division euclidienne par 11.

a. 123 456 789 ; b. 10 891 089 ; c. 555...5 ; d. 147 856 103 ; e. 975 318 642 097 531 100 chiffres 5

Les numéros de carte bancaire

Un numéro de carte bancaire est de la forme a_na_{n –1}a₁a₀ où les a_i sont des entiers compris entre 0 et 9.

Sur ces chiffres, on définit l'application m : mx = {^x1²x^{x si}₂si2^02x=10^x9x₁x₂ ^{(avec 0xi9 )}

On impose alors à un numéro de carte de vérifier la règle de Luhn:

a₀ma₁a₂ma₃≡010

1. Fabriquer un numéro de carte bancaire à 16 chiffres.

2. Montrer que si un seul chiffre est erroné, l'erreur est détectée.

Démontrer que 2⁷⁰3⁷⁰ est divisible par 13.

Aide : Examiner le reste dans la division par 13 de 2¹² et celui de la division de 3^{6 par 13.}

2010@My Maths Space 1/1

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