Diff´erentes formules de Taylor pour une fonction d’une variable r´eelle. Applications

Diff´erentes formules de Taylor pour une fonction d’une variable r´eelle. Applications

Dans toute cette le¸con, I d´esignera un intervalle de R, non vide et non r´eduit `a un point. E d´esignera un K-espace vectoriel norm´e de dimension finie, avec K=RouC.

1 Diff´ erentes formules de Taylor

Th´eor`eme 1.1 (Formule de Taylor avec reste int´egral)

Soitn∈N. Soitf :I→Eune fonction de classe Cⁿ surIet de classeCⁿ⁺¹ par morceaux sur I.

∀a, x∈I, f(x) =

n

X

k=0

(x−a)^k

k! f^(k)(a) + Z x

a

(x−t)ⁿ

n! f⁽ⁿ⁺¹⁾(t)dt.

Th´eor`eme 1.2 (In´egalit´e de Taylor-Lagrange)

Soitn∈N. Soitf :I→Eune fonction de classe Cⁿ surIet de classeCⁿ⁺¹ par morceaux sur I.

∀a, x∈I,

f(x)−

n

X

k=0

(x−a)^k k! f^(k)(a)

6|x−a|ⁿ⁺¹ (n+ 1)! sup

t∈I

f⁽ⁿ⁺¹⁾(t) .

Th´eor`eme 1.3 (Formule de Taylor-Young)

Soitf :I→E une fonction de classeCⁿ surI eta∈I. Alors :

∀x∈I, f(x) =

n

X

k=0

(x−a)^k

k! f^(k)(a) +o((x−a)ⁿ).

Th´eor`eme 1.4 (Formule de Taylor-Lagrange)

Soitn∈N. Soient a, b∈R,a < b. Sif : [a;b]→Rest de classeCⁿ sur[a;b]et (n+ 1)fois d´erivable sur ]a;b[, alors il existe c∈]a;b[tel que

f(b) =

n

X

k=0

(b−a)^k

k! f^(k)(a) +(b−a)ⁿ⁺¹

(n+ 1)! f⁽ⁿ⁺¹⁾(c).

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2 Applications

2.1 Obtention d’in´ egalit´ es

Exemple 2.1

∀x>0, x−x²

2 6ln(1 +x)6x−x² 2 +x³

3

∀x∈[0 ;π

2], x−x³

6 6sinx6x−x³ 6 + x⁵

120.

2.2 D´ eveloppements limit´ es

D´efinition 2.2

Une fonctionf d´efinie sur un intervalleIdeRcontenant 0, sauf peut-ˆetre en z´ero, admet un d´eveloppement limit´e `a l’ordren∈Nau voisinage de 0 s’il existea0, a1, . . . , an∈Ktels que

f(x) =

n

X

k=0

akx^k+o(xⁿ).

La formule deTaylor-Youngpermet d’obtenir les d´eveloppements limit´es usuels.

Exemple 2.3

∀n∈N, 1 1−x =

n

X

k=0

x^k+o(xⁿ).

2.3 Etude de points stationnaires d’arcs param´ etr´ es

Th´eor`eme 2.4

Soit(I, f)un arc param´etr´e de classeC^k,k∈Nett₀∈I. On suppose que parmi lesf⁽ⁿ⁾(t₀),n6k, il en existe deux non colin´eaires.

Soientp= min{n∈N^∗, f⁽ⁿ⁾(t0)6= 0} etq= min{n>p+ 1, f⁽ⁿ⁾(t0)etf^(p)(t0)non colin´eaires}.

L’allure de la courbe au voisinage deM(t₀)est donn´ee par :

pimpair,qpair Point ordinaire

ppair,qimpair Point de rebroussement

de 1`ere esp`ece

ppair,qpair Point de rebroussement

de 2`eme esp`ece

pimpair,qimpair Point d’inflexion Dans tous les cas,f^(p)(t₀)dirige la tangente `a la courbe enM(t₀).

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Exemple 2.5

On s’int´eresse dans cet exemple `a l’arc param´etr´e d´efini par :

∀t∈R,







x(t) = 2−2 cost−cos(2t) y(t) = 2 sint−sin(2t) D´eterminer la nature du point stationnaireM(0) = (−1; 0).

2.4 Fonctions d´ eveloppables en s´ erie enti` ere

D´efinition 2.6

Soitf une fonction d´efinie sur un intervalleI de R, `a valeurs dans C. On dit que f est d´eveloppable en s´erie enti`ere sur ]−r;r[, o`u r > 0 avec ]−r;r[ ⊂I, s’il existe une suite(an)n∈N de nombres complexes telle que pour toutx∈]−r;r[,f(x) =

+∞

X

n=0

a_nxⁿ.

Th´eor`eme 2.7

Soirr >0. Soitf une fonction de classeC^∞sur l’intervalle]−r;r[.f est d´eveloppable en s´erie enti`ere sur ]−r;r[si et seulement si

∀x∈]−r;r[, f(x)−

n

X

k=0

f^(k)(0)

k! x^k−−−−−→

n→+∞ 0.

Remarque 2.8

On peut obtenir des d´eveloppement en s´erie enti`ere de fonctions de classe C^∞ en ´etudiant les restes de Taylor.

Exemple 2.9

∀x∈R,e^x=

+∞

X

k=0

x^k k!.

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2.5 M´ ethode de Newton pour les suites r´ ecurrentes

Th´eor`eme 2.10

Soienta, b∈R,a < b. Soitf ∈ C²([a;b])telle quef(a)f(b)<0,f⁰ ne s’annule pas sur ]a;b[et f⁰⁰est de signe constant sur[a;b].

(i) f admet un unique z´ero sur]a;b[not´eα;

(ii) Soitu0 ∈[α;b[ si (f⁰ >0et f⁰⁰ >0) ou (f⁰ <0 et f⁰⁰ 60),u0 ∈]a;α] si (f⁰ <0 et f⁰⁰>0)ou (f⁰ >0 etf⁰⁰60). La suite (un)_n∈N d´efinie par

∀n∈N, u_n+1=u_n− f(u_n) f⁰(un) est d´efinie et converge verα;

(iii) Soientm1= inf

x∈[a;b]|f⁰(x)|et M2= sup

x∈[a;b]

|f⁰⁰(x)|. On a :

∀n∈N, |un−α|6|u0−α|²ⁿ M2

2m₁ ²ⁿ−1

.

2.6 Valeur approch´ ee d’int´ egrale par la m´ ethode des rectangles

Th´eor`eme 2.11

Soitf une fonction continue sur[a;b], aveca < b. On noteI= Z b

a

f(t)dt. Pourn∈N^∗, on note

R_n=b−a n

n−1

X

k=0

f

a+kb−a n

.

Sif est de classeC¹, on a

|I−R_n|6 (b−a)²

2n sup

x∈[a;b]

|f⁰(x)|.

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