Fiche de liaison sup-spé Table des matières
1 Résumé du cours 1
1.1 Rappels d’analyse . . . 1
1.1.1 Fonctions usuelles . . . 1
1.1.2 Équations différentielles . . . 2
1.1.3 Suites . . . 3
1.1.4 Séries numériques . . . 4
1.1.5 Fonctions d’une variable réelle . . . 4
1.1.6 Dérivation . . . 5
1.1.7 Intégration . . . 5
1.1.8 Développements limités . . . 6
1.2 Rappels de probabilités . . . 7
1.2.1 Espaces probabilisés . . . 7
1.2.2 Variables aléatoires et lois de probabilités . . . 8
1.3 Rappels d’algèbre . . . 9
1.3.1 Nombres complexes . . . 9
1.3.2 Polynômes . . . 10
1.3.3 Sous-espaces vectoriels . . . 11
1.3.4 Familles libres, liées, génératrices, base . . . 11
1.3.5 Supplémentarité . . . 11
1.3.6 Applications linéaires . . . 12
1.3.7 Projecteurs . . . 12
1.3.8 Matrices . . . 12
1.3.9 Déterminant . . . 13
1.3.10 Systèmes linéaires . . . 14
1.3.11 Espaces euclidiens . . . 14
2 Questions de cours 16 2.1 Fondements . . . 16
2.1.1 Applications . . . 16
2.1.2 Récurrence . . . 16
2.1.3 Trigonométrie . . . 16
2.2 Nombres complexes . . . 16
2.2.1 Forme algébrique - Forme trigonométrique . . . 16
2.2.2 Racines de l’unité - Résolution du trinômes du second degré . . . 16
2.3 Fonctions usuelles . . . 16
2.3.1 Fonctions exponentielle, logarithme et puissances . . . 16
2.3.2 Fonctions trigonométriques . . . 16
2.3.3 Fonctions hyperboliques . . . 16
2.4 Limites usuelles . . . 16
2.5 Dérivées des fonctions usuelles . . . 16
2.6 Équations différentielles . . . 17
2.6.1 Équations différentielles du premier degré . . . 17
2.6.2 Équations différentielles du second degré . . . 17
2.7 Systèmes linéaires . . . 17
2.8 Ensemble des entiers - Combinatoire - Formule du binôme de Newton . . 17
2.8.1 Combinatoire . . . 17
2.8.2 Formule du binôme . . . 17
2.8.3 L’ensemble des réels . . . 17
2.9 Suites réelles . . . 17
2.10 Espaces vectoriels . . . 17
2.11 Fonctions d’une variable réelle . . . 18
2.12 Dimension d’un espace vectoriel . . . 18
2.13 Dérivabilité . . . 18
2.14 Dérivée en un point . . . 18
2.14.1 Dérivée sur un intervalle . . . 18
2.14.2 Applications de la dérivation . . . 18
2.14.3 Dérivées d’ordren . . . 18
2.14.4 Calcul de dérivées . . . 18
2.15 Matrices - Systèmes linéaires - Déterminants . . . 18
2.15.1 Calcul Matriciel . . . 18
2.15.2 Systèmes linéaires . . . 19
2.15.3 Déterminant . . . 19
2.16 Intégration . . . 19
2.17 Développements limités . . . 19
2.18 Polynômes . . . 19
2.19 Séries numériques . . . 19
2.20 Probablités . . . 20
2.20.1 Espaces probabilisés . . . 20
2.20.2 Variables aléatoires et lois de probabilité . . . 20
2.21 Produits scalaires et espaces euclidiens . . . 20
3 Exercices 20 3.1 Nombres complexes . . . 20
3.2 Fonctions usuelles . . . 21
3.3 Équations différentielles . . . 21
3.4 L’ensemble des réels . . . 22
3.5 Ensemble des entiers - Combinatoire - Formule du binôme de Newton . . 22
3.6 Suites réelles . . . 22
3.7 Espaces vectoriels . . . 23
3.8 Fonctions d’une variable réelle . . . 24
3.9 Dimension d’un espace vectoriel . . . 24
3.10 Dérivabilité . . . 25
3.11 Matrices - Systèmes linéaires - Déterminants . . . 26
3.12 Intégration . . . 28
3.13 Développements limités . . . 29
3.14 Polynômes . . . 31
3.15 Probabilités . . . 32
3.16 Séries numériques . . . 33
3.17 Produit scalaire et espaces euclidiens . . . 34
1 Résumé du cours
1.1 Rappels d’analyse 1.1.1 Fonctions usuelles
ln
0 1 2 3 4 5
0
−1
−2
−3
−4 1 2
0 e
x7−→ln(x)
•lnest définie et dérivable surR∗+, à
valeurs dansR.
• ∀x∈R∗
+, ln′x=1/x
•lim0+ln= −∞etlim+∞ln= +∞
•Pour touta,b∈R∗ +:
lnab = lna+lnb lna/b = lna−lnb
lnab = blna
exp
0 1 2 3 4 5
−1
−2
−3
−4 0
−1
−2
−3
−4 1 2 3
0 e
x7−→ln(x) x7−→exp(x)
•expest définie et dérivable surR, à valeurs dansR∗+.
• ∀x∈R, exp′x=expx
•lim−∞exp=0etlim+∞exp= +∞
•Pour touta,b∈R,n∈Z:
exp(a+b) = expaexpb exp(a−b) = expa/expb
exp(na) = ¡ expa¢n
sinetarcsin
0 1
−1
−2 0
−1
−2 1
O π2
π 2
π 2
π 2
x7−→sinx x7−→x x7−→arcsinx
arcsinest :
•définie sur£ [−1, 1]à valeurs dans
−π2,π2¤ .
•impaire.
•dérivable sur]−1, 1[
• ∀x∈]−1, 1[ , arcsin′x= 1 p
1−x2
cosetarccos
0 1 2 3
−1 0
−1 1 2 3
O π
2 π 2
π π
x7−→cosx x7−→arccosx
arccosest :
•définie sur[−1, 1]à valeurs dans [0,π].
•dérivable sur]−1, 1[
• ∀x ∈ ]−1, 1[ , arccos′x = p−1
1−x2
tanetarctan
0 1
−1
−2 0
−1
−2 1
O π2
π 2
π 2
π 2
x7−→tanx x7−→x x7−→arctanx
arctanest :
• définie sur¤ R à valeurs dans
−π2,π2£.
• impaire
• dérivable surR
• ∀x∈R, arctan′x= 1 1+x2
• lim
−∞arctan= −π/2etlim
+∞arctan= +π/2
chetsh
0 1 2
−1
−2
−3 0
−1
−2
−3
−4
−5
−6 1 2 3 4 5 6
O
x7−→chx x7−→shx x7−→e2x
chest :
• définie surRà valeurs dans[1,+∞[.
• paire
• dérivable surR
• ∀x∈]−1, 1[ , ch′x=shx
• lim
±∞ch= +∞
shest :
• définie surRà valeurs dansR.
• impaire
• dérivable surR
• ∀x∈]−1, 1[ , sh′x=chx
• lim
−∞ch= −∞etlim +∞ch= +∞
chx = ex+e−x 2 shx = ex−e−x
2
chx+shx = ex chx−shx = e−x ch2x−sh2x = 1
th
0 1 2
−1
−2
0
−1 1
O
x7−→thx x7−→x
thest :
• définie surRà valeurs dans]−1, 1[
thx=shx chx.
• dérivable surR
• ∀x∈R, th′x= 1
ch2x=1−th2x
• lim
−∞th= −1etlim +∞th=1
Dérivées des fonctions usuelles
Dans chaque ligne,f′est la dérivée de la fonctionf sur l’intervalleI.
f(x) I f′(x)
xα(α∈R) R∗+ αxα−1
lnx ]0,+∞[ 1
x
ex R ex
sinx R cosx
cosx R −sinx
tanx i
−π 2+kπ,π
2+kπh
, k∈Z 1+tan2x= 1 cos2x
arcsin(x) ]−1, 1[ p1
1−x2
arccos(x) ]−1, 1[ p−1
1−x2
arctan(x) R 1
1+x2
ch(x) R sh(x)
sh(x) R ch(x)
th(x) R 1−th2(x)=ch21(x)
Opérations et dérivées
(f+g)′=f′+g′ (f◦g)′=g′×(f′◦g) (λf)′=λf′,λdésignant une constante (un)′=nun−1u′ (n∈N,nÊ2) (f g)′=f′g+f g′
µ1 un
¶′
= −nu′
un+1 (n∈N,nÊ1) µ1
g
¶′
= −g′
g2 (eu)′=u′eu
µf g
¶
=f′g−f g′
g2 (ln|u|)′=u′
u Plus généralement, siu>0:∀a∈R, (ua)′=au′ua−1
Primitives des fonctions usuelles
Dans chaque ligne,Fest une primitive def sur l’intervalleI. Ces primitives sont uniques à une constante près notéeC.
f(x) I F (x)
ax(a∈R∗
+\ {1}) R lna1ax+C xα(a∈R\ {−1}) R∗+ α+11xα+1+C(α∈R)
sh(x) R ch(x)+C
ch(x) R sh(x)+C
1−th2(x)=ch12(x) R th(x)+C p1
1−x2 ]−1, 1[ arcsin(x)+C 1
1+x2 R arctan(x)+C
Opérations et primitives
On suppose queuest une fonction dérivable sur un intervalleI
•Une primitive deu′unsurIestun+1 n+1(n∈N∗)
•Une primitive deu′
u2surIest−1 u.
•Une primitive de u′
unsurIest− 1
(n−1)un−1.(n∈N,nÊ2.
•Une primitive depu′
usurIest2p
u(En supposantu>0surI.)
•Une primitive deu′
u surIestln|u|.
•Une primitive deu′eusurIesteu.
Plus généralement, siu>0surIet sia∈R, une primitive deu′uasurIest : Z
u′ua=
1
a+1ua+1+C sia∈R\ {−1}
lnu+C sia= −1
1.1.2 Équations différentielles
TRED1dansRouC On suppose que :
H1 Iest un intervalle deR.
H2 aest une fonction continue définie surIet à valeurs dansK. Alors les solutions de l’équation différentielle homogène normalisée :
∀t∈I, y′(t)+a(t)y(t)=0 (E) sont données par les fonctions :
ϕα:
½ I −→ R t 7−→ αe−A(t) oùα∈Ket oùAest une primitive deasurI.
SK(E)=©
t7→αe−A(t)|α∈Kª
Variation de la constante
Avec les notations précédentes, on cherche une solution particulière dey′+a y=b
sous la formet7→α(t)e−A(t)avecαqui vérifie :
∀t∈I, α′(t)e−A(t)=b(t) .
TRED2dansR Soita,b,c∈Raveca6=0et(E)l’équation différentielle :
∀t∈R, a y′′(t)+b y′(t)+c y(t)=0.
On note∆le discriminant de l’équation caractéristiqueaX2+bX+c=0associée à(E).
∆ Racines de l’équation caractéristique Solutions de(E)
∆>0 Deux racines simplesr1etr2 ϕα,β:
½R −→ R t 7−→ αer1t+βer2t
∆=0 Une racine doubler0 ϕα,β:
½R −→ R t 7−→ ¡
αt+β¢ er t
∆<0 Deux racines complexes conjuguées r±iω ϕα,β:
½R −→ R t 7−→ £
αcos (ωt)+βsin(ωt)¤ er t oùα,β∈R.
1.1.3 Suites
Théorème d’encadrement
On considère trois suites :(un),(vn)et(wn). On suppose que :
H1 vnÉunÉwnà partir d’un certain rang.
H2 Les deux suites encadrantes(vn)et(wn)convergent vers une même limitel alors la suite(un)converge versl.
De même, si :
H1 vnÉunà partir d’un certain rang.
H2 limvn= +∞
alorslimun= +∞.
Théorème de la limite monotone Soit(un)une suite réelle. On suppose que :
H1 (un)est croissante.
H2 Si(un)est majorée par un réelA∈R alors(un)converge vers une limite finiel∈RetlÉA.
Suites adjacentes
Soient(un)et(vn)deux suites réelles. On dit que(un)et(vn)sontadjacentes lorsque :
H1 (un)est croissante
H2 (vn)est décroissante
H3 vn−un−−−−−→n→+∞0
Ces deux suites sont convergentes et convergent vers la même limitel∈R. De plus :
∀n∈N, unÉlÉvn
Limite d’une suite et continuité
Soientf: I→Reta∈¯I. Soit une suite(un)de points deI. Soitl∈l¯. On suppose que :
H1 un−−−−−→n→+∞a H2 f(x)−−−→x→a l
alorsf(un)−−−−−→n→+∞ l.
Convergence d’une suite géométrique
Soit(un)la suite géométrique de raisona∈Ret de premier terme1:∀n, un= an.
an−−−−−→n→+∞
diverge siaÉ −1 0sia∈]−1, 1[
1sia=1 +∞sia>1
Suites négligeable devant une autre
Définition :Soient(un)et(vn)deux suites. On dit que(un)estnégligeabledevant (vn)lorsqu’il existe une suite(εn)convergent vers 0et un rangN∈Ntels que :
∀nÊN un=εnvn
Si tel est le cas, on note :
un=no
→+∞(vn)
Proposition :Soit(un)et(vn)deux suites. On suppose que(vn)ne s’annule pas à partir d’un certain rang. Alors :
un= o
n→+∞(vn) ⇐⇒ un vn−−−−−→n
→+∞ 0
Croissances comparées Soienta>1,α>0etβ>0alors :
(lnn)β= o n→+∞
¡nα¢
nα= o n→+∞
¡an¢
an= o
n→+∞(n!) n!= o n→+∞
¡nn¢
Suites équivalentes
Définition :Soient(un)et(vn)deux suites. On dit que(un)estéquivalenteà(vn) lorsqu’il existe une suite(αn)convergent vers 1et un rangN∈Ntels que :
∀nÊN un=αnvn
Si tel est le cas, on note :
un ∼ n→+∞vn
Proposition :Soient(un)et(vn)deux suites. On suppose que(vn)ne s’annule pas à partir d’un certain rang. Alors :
un ∼
n→+∞vn ⇐⇒ un vn−−−−−→
n→+∞1
Opérations sur les équivalents On peut effectuer des :
•produits d’équivalents
•quotients d’équivalents.
•puissances d’équivalents.
Par contre, il ne faut pas :
•Sommer des équivalents.
•Composer des équivalents. En particulier, il ne faut par :
•Prendre des logarithmes d’équivalents.
•Prendre des exponentielles d’équivalents.
Équivalents usuels Soit(un)une suite réelle telle que
un−−−−−→
n→+∞0 alors :
1 sinunn→+∞∼ un 2 tanun ∼
n→+∞un 3 ln (1+un)n→+∞∼ un
4 [1−cosun]n→+∞∼ u22n 5 [eun−1] ∼
n→+∞un
6 [(1+un)α−1]n→+∞∼ αun
(α∈R∗).
7 shunn∼
→+∞un
8 1−chun ∼ n→+∞−u22n 9 thun ∼
n→+∞un
Suites définies par récurrence
Soient I un intervalle de R, f : I→R et a ∈I. On suppose que I est un intervalle stable par f. On considère la suite récurrente (un) construite par
(u0=a
∀n∈N, un+1=f(un)
•Sifest croissante surIalors(un)est monotone et : 1. Siu0Éf(u0)alors(un)est croissante.
2. Siu0Êf(u0)alors(un)est décroissante.
•Sif est décroissante surIalors(un)a ses deux sous suites(u2n)et(u2n+1) monotones et de sens contraire.
1.1.4 Séries numériques
Définition d’une série
On considère une suite(un)n∈Nà valeurs réelles (ou complexes). On lui associe la suite dessommes partielles(Sn)n∈Ndéfinie par
∀n∈N, Sn= Xn k=0 uk
— On appellesériede terme généralun, la suite(Sn)de terme généralSnque l’on notePun.
— On dit que lasériePunconvergesi et seulement s’il existeS∈Rtel que Sn−−−−−→n→+∞ S. Sinon, on dit que la sériePundiverge.
— Lorsque la sériePunconverge, on dit queSest lasomme de la sérieet l’on noteS=
+∞X n=0
un.
Critère de comparaison SoientPunetPvndeux séries.
H1 Les deux séries sont àtermes positifs:∀n∈N,unÊ0etvnÊ0.
H2 ∀n∈N,unÉvn. Alors :
a. Si la sériePvnconverge, alors la sériePunconverge également et+∞X
n=0 unÉ +∞X
n=0 vn.
b. Si la sériePundiverge, alors la sériePvndiverge également.
Séries de Riemann Soitα∈R. On appelle série de Riemann la série
+∞X n=1 1 nα
— Siα>1, la série de Riemann converge.
— SiαÉ1, la série de Riemann diverge.
Critère d’équivalence Soient deux sériesPunetPvn. On suppose que :
H1 un ∼ n→+∞vn.
H2 À partir d’un certain rang,vnÊ0.
Alors à partir d’un certain rang,unÊ0et les sériesPunetPvnsont de même nature.
Règle de d’Alembert Soit une sériePun. On suppose que :
H1 ∀nÊn0,un>0.
H2 un+1 un −−−−−→
n→+∞k∈R+(=[0,+∞]).
Alors
a. Si0Ék<1, la sériePunconverge.
b. Sik>1, la sériePundiverge.
c. Sik=1, on ne peut rien dire en général.
Une série absolument convergente est convergente
Soit(un)∈CNune suite complexe (ou réelle). Si la sérieP|un|converge, alors la sériePunest convergente.
1.1.5 Fonctions d’une variable réelle
Théorème de la limite monotone Soient(a,b)∈R2etI=]a,b[.
Sif: ]a,b[→Rest une fonctioncroissantealors il y a deux possibilités :
1. fest majorée et alorsfadmet une limite finie lorsquextend versb. On a alors limb f=sup
I f.
2. fn’est pas majorée et alorsf(x)−−−→
x→b +∞.
Fonction négligeable devant une autre
Définition :Soientf etgdeux fonctions définies au voisinage dea∈R. On dit quef(x)estnégligeabledevantg(x)au voisinage dealorsqu’il existe une fonctionε définie sur un voisinage deatelle que :
f(x)=ε(x)g(x)au voisinage dea et ε(x)−−−→x
→a 0 On note alors :f(x)= o
x→a
¡g(x)¢
Proposition :Soitf etgdeux fonctions définies au voisinage dea∈R. Signe s’annule pas au voisinage dea, alors :
f(x)= o x→a
¡g(x)¢
⇐⇒ f(x) g(x)−−−→x
→a 0
Croissances comparées Soientα,βetγdesréels strictement positifs.
•En+∞:
(lnx)γ=xo
→+∞
¡xα¢
et xα=xo
→+∞
³ eβx´
•En0:
|lnx|γ= o x→0
³1 xα
´ et eβx=x o
→−∞
³1 xα
´
Fonctions équivalentes au voisinage d’un point
Définition :Soientf etgdeux fonctions définies au voisinage dea∈R. On dit quef(x)est équivalent àg(x)au voisinage dealorsqu’il existe une fonctionαdéfinie sur un voisinage deatelle que :
f(x)=α(x)g(x)au voisinage dea et α(x)−−−→
x→a1 On note alors :f(x)x∼
→ag(x)
Proposition :Soitf etgdeux fonctions définies au voisinage dea∈R. Signe s’annule pas au voisinage dea, alors :
f(x)x→a∼ g(x) ⇐⇒ f(x) g(x)−−−→x→a 1
Définition de la continuité
•On dit quefestcontinue ena∈Isi et seulement si f(x)−−−→x
→a l∈R et l=f(a)
•On dit qu’une fonctionfestcontinue sur un intervalleIsi et seulement si la fonctionfest continue en chaque point deI.
Théorème d’opérations sur les fonctions continues
•Sifest continue surIalors¯¯f¯¯est continue surI.
•Une combinaison linéaire de fonctions continues surIest continue surI.
•Le produit de deux fonctions continues surIest continue surI.
•Le quotient de deux fonctions continues surIest (s’il est défini) continue surI.
•La composée de deux fonctions continues est continue.
Théorème des valeurs intermédiaires
SoientIunintervalledeRetf: I→R. Soit(a,b)∈I2tel quea<b. On suppose que :
H1 fest continue sur[a,b].
H2 f(a)É0etf(b)Ê0. Alors il existec∈[a,b]tel que f(c)=0 .
Continue implique bornée
Une fonction réelle continue sur un segment est bornée et atteint ses bornes
1.1.6 Dérivation
Définition
Letaux d’accroissementde la fonctionfau pointaest la fonction∆a,f donnée par :
∆:
½I \ {a} −→ R x 7−→ f(x)−fx−a(a)
f est dérivable au pointasi et seulement si son taux d’accroissement∆possède une limite finie quandxtend versa.
f est dérivable ena⇐⇒∆(x)−−−→x→a l∈R On note f′(a)=l .
Dérivable implique continue
•Sifest dérivable enaalorsfest continue ena.
•Sifest dérivable surIalorsfest continue surI. Théorème de dérivation de la bijection réciproque Soitf: I→R. On suppose que :
H1 fest strictement monotone sur l’intervalleI.
H2 fest dérivable surI.
H3 ∀x∈I, f′(x)6=0
alorsfréalise une bijection de l’intervalleIsur l’intervalleJ=f(I)et son application réciproque,f−1est dérivable surJet
¡f−1¢′
=f′1
◦f−1
Théorème de Rolle Soit f : [a,b]→R. On suppose
que :
H1 fest continue sur[a,b]
H2 fest dérivable sur]a,b[
H3 f(a)=f(b).
Alors il existe c ∈ ]a,b[ tel que f′(c)=0 .
f(a) =f(b)
a c b
Égalité des accroissement finis Soit f : [a,b]→R. On suppose
que :
H1 fest continue sur[a,b]
H2 fest dérivable sur]a,b[
Alors il existec∈]a,b[tel que f(b)−f(a)=f′(c) (b−a)
f(a) f(b) f(c)
a c b
Inégalité des accroissement finis - Version I Soitf: [a,b]→R. On suppose que :
H1 fest continue sur[a,b]
H2 fest dérivable sur]a,b[
H3 Il existe(m, M)∈R2tel que :
∀x∈]a,b[, mÉf′(x)ÉM Alors on a :
m(b−a)Éf(b)−f(a)ÉM (b−a)
Inégalité des accroissement finis - Version II Soitf: [a,b]→R. On suppose que :
H1 fest continue sur[a,b]
H2 fest dérivable sur]a,b[
H3 ¯¯f′¯¯est majorée sur]a,b[:∃α∈R+: ∀x∈]a,b[, ¯¯f′(x)¯¯Éα
Alors on a : ¯
¯f(b)−f(a)¯¯É sup x∈]a,b[
¯¯f′(x)¯¯|b−a|
Fonctions de classeCn On dit quefest de classeCnsurI:
1 sifestnfois dérivable surI.
2 et si la dérivéenieme def:f(n)est continue surI. Théorème d’opération sur les fonctions de classesCn On suppose que :
H1 festgsont de classeCnsurI alors :
•αf+βgest de classeCnsurIpour toutα,β∈R.
• f gest de classeCnsurI.
• fgest de classeCnsurI(là où ce quotient est défini).
• g◦fest de classeCnsurI(là où cette composée est définie).
Formule de Leibnitz
Sifetgsont deux fonctionsnfois dérivables surIalors il en est du même de la fonctionf get on a :
∀x∈I ¡ f g¢(n)
(x)= Xn k=0
Ãn k
!
f(k)(x)g(n−k)(x)
1.1.7 Intégration
Théorème fondamental Si
H1 fest continue le segment[a,b]
alors Rabf(x)dx existe.
Autrement dit, sif est continue sur le segment[a,b]alors elle est intégrable sur [a,b].
Propriétés de l’intégrale oientfetgdeux fonctions continues sur le segment[a,b]
1
fÉg=⇒
Z [a,b]fÉ
Z
[a,b]g 2 Soitc∈]a,b[.
Z [a,b]f=
Z [a,c]f+
Z
[c,b]f
3 Commef est une fonction réelle continue sur le segment[a,b], il existe des réelsmetMtels que∀x∈[a,b] , mÉf(x)ÉM. On a alors :
m(b−a)É Zb
a f(x)dxÉM (b−a)
4 ¯¯¯¯
Zb
a f(x)dx
¯¯
¯¯É Zb
a
¯¯f(x)¯¯dx
5 On a l’inégalité de la moyenne:
¯¯
¯¯ Z
[a,b]f g
¯¯
¯¯Ésup [a,b]
¯¯f¯¯Z [a,b]
¯¯g¯¯
Primitive
Soitfune fonction définie sur une partieIà valeurs dansR. On appelleprimitive def surItoute fonctionF : I→Rtelle que :
H1 Fest dérivable surI.
H2 ∀x∈I, F′(x)=f(x)
Soitf: I→R. SiFetGsont deux primitives defsurIalors il existec∈Rtel que : G=F+c.
Une formule essentielle Z
u′uα=
uα+1
α+1 siα6= −1 ln|u| siα= −1
Théorème fondamental de l’analyse
H1 SoitIun intervalle deR.
H2 Soitfune fonction continue surI Soita∈Ialors la fonction :
F :
½ I −→ R x 7−→ Rx
af(t)dt
est de classeC1surIet est la seule primitive defqui s’annule ena: F′=f et F (a)=0.
Corollaire du TFA Soient :
H1 SoitIun intervalle deR.
H2 Soitfune fonction continue surI alors fadmet une primitiveFsurI .
Autrement dit :toute fonction continue sur un intervalle possède une primitive sur ce segment.
Formule d’intégration par parties SoitIun intervalle deR. On suppose que :
H1 uetvdes fonctions de classeC1surI. On a : alors :
Zb
a
intègre z }| { u′(t) |{z}v(t)
dérive
dt=[u(t)v(t)]ba− Zb
a u(t)v′(t)dt
Changement de variable
✞
✝
☎ Pour calculerRabf(t)dt:✆ 1. On vérifie queϕ:£
α,β¤
→Iest de classeC1sur le segment£α,β¤
et queϕ(α)= a,ϕ¡
β¢
=b. 2. On pose
(x=ϕ(t) d x=ϕ′(t)d t 3. On écrit :Rabf(u)du=Rβ
αf¡ ϕ(t)¢
ϕ′(t)dt
✞
✝
☎ Attention de bien penser à transformer les bornes✆
Formule de Taylor
Soitfune fonction de classeCn+1sur un intervalleIdeR. Si(a,x)∈I2. Alors :
f(x)= Xn k=0
f(k)(a) k! (x−a)k+
Zx
a (x−t)n
n! f(n+1)(t)dt
— Le polynôme Tn(x)=
Xn k=0
f(k)(a)
k! (x−a)k=f(a)+(x−a)1! f′(a)+. . .+(x−a)
n n! f(n)(a) est appelépolynôme de Taylor defde degrén.
— L’intégrale
Rn(x)= Zx
a (x−t)n
n! f(n+1)(t)dt est appeléereste intégral.
Sommes de Riemann
Soit une fonctionfcontinue sur le segment[0, 1]. On définit les suites de termes généraux
Rn=1 n
n−1X k=0 f
µk n
¶ etTn=1
n Xn k=1 f
µk n
¶
Rn−−−−−→n
→+∞
Z1
0 f(x) dxetTn−−−−−→n
→+∞
Z1
0 f(x) dx
O ~ı
~
R6
O ~ı
~
T6
1.1.8 Développements limités
Les petits o...
x→0o (1)=ε(x) et o x→0
¡xn¢
=xnε(x) oùε(x)−−−→x
→00.
Définition
Soient une fonctionf: I→Retx0∈I. Soitn∈N. On dit quefadmet undévelop- pement limité à l’ordrenau voisinage dex0s’il existe :
(un polynômePde degréÉn
une fonctionε: I→Rvérifiantε(x)−−−−→
x→x00 tels que
∀x∈I,f(x)=P (x)+(x−x0)nε(x)
| {z }
=o x→a(xn)
—Pest appelépartie régulièreoupartie principaledu développement limité de fenx0.
—(x−x0)nε(x)est appelérestedu développement limité defenx0. Propriétés
Soitfune fonction admettant un DL d’ordrenen0alors :
•la partie régulière du DL d’ordrenen0defest unique.
•Sifest paire (resp. impaire) sur un voisinage (symétrique) de0alors la partie principale de son DL à l’ordrenen0ne contient que des puissances paires (resp. impaires).
Formule de Taylor-Young
Soientfune fonction de classeCnsur un intervalleIdeReta∈I. Il existe une fonctionεdéfinie surItelle que :
∀x∈I, f(x)= Xn k=0
f(k)(a)
k! (x−a)k+(x−a)nε(x) et
ε(x)−−−→
x→a 0 Autrement dit, on a :∀x∈I, f(x)=Pn
k=0 f(k)(a)
k! (x−a)k+ o
x→a((x−a)n) . Opérations sur les DLs
Soientfetgdeux fonctions réelles définies surIadmettant en0des DL d’ordre n:
∀x∈I, f(x)=P (x)+ o x→0
¡xn¢
et g(x)=Q (x)+ o x→0
¡xn¢ oùPetQsont des polynômes réels de degrénalors
• f+gadmet un Dl d’ordrenen0donné par, pour toutx∈I:
¡f+g¢
(x)=(P+Q) (x)+ o x→0
¡xn¢
• f gadmet un Dl d’ordrenen0donné par, pour toutx∈I:
¡f g¢
(x)=R (x)+ o x→0
¡xn¢
oùR (x)est égal au produitP (x)Q (x)auquel on a retiré tout les terme de degré
>n.
•Si de plus f(x)−−−→x
→00 alorsg◦f admet un DL d’ordrenen0de partie régulière obtenue en ne gardant que les termes de degréÉndans le polynôme G◦F.
•Sigadmet une limite non nulle en0alorsgf admet un DL d’ordrenen0. Comment inverser un DLs
On suppose queg(x)=1+a1x+. . .+anxn+ o
x→0(xn). Alors :
1 g(x) = 1
1−uavecu= − µ
a1x+. . .+anxn+ o x→0
¡xn¢¶
= 1+u+u2+. . .+un+ o x→0
¡un¢
= 1−¡
a1x+. . .+anxn¢ +¡
a1x+. . .+anxn¢2
+. . .+(−1)n¡
a1x+. . .+anxn¢n + o
x→0
¡xn¢
qu’on développe et tronque en ne gardant que les termes de degréÉn. Primitivation
SoitIun intervalle deRcontenant0etf: I→R. Si :
H1 fest dérivable surI.
H2 f′admet un DL d’ordrenen0:
∀x∈I, f′(x)=
P′(x)
z }| {
a0+a1x+. . .+anxn+o x→0
¡xn¢
alorsf admet un DL d’ordren+1en0obtenu en primitivant la partie régulière du DL def′et en ajoutantf(0). Pour toutx∈I:
f(x)=f(0)+a0x+a1
2x2+. . .+an n+1xn+1
| {z }
P(x)
+o x→0
¡xn+1¢
ATTENTION ! ! ! On ne peut pas, en général, dériver un DL Formule de Taylor-Young♥
Soientfune fonction de classeCnsur un intervalleIdeReta∈I. Il existe une fonctionεdéfinie surItelle que :
∀x∈I, f(x)= Xn k=0
f(k)(a)
k! (x−a)k+(x−a)nε(x) et
ε(x)−−−→x
→a 0 Autrement dit, on a :
∀x∈I, f(x)= Xn k=0
f(k)(a)
k! (x−a)k+o(x)a(x−a)n x7→1−1x
♥ 1
1−x = 1+x+x2+ ··· +xn+ o x→0
¡xn¢ 1
1+x = 1−x+x2− ··· +(−1)nxn+ o x→0
¡xn¢ 1
1−x2 = 1+x2+x4···+x2n+ o x→0
¡x2n¢
Fonctions exponentielle et hyperboliques
♥ ex = 1+x+x
2 2!+x
3 3!+ ··· +x
n n!+ o
x→0
¡xn¢
♥ chx = 1+x
2 2!+x
4 4!+ ··· +x
2n (2n)!+ o
x→0
¡x2n+1¢
♥ shx = x+x
3 3!+x
5
5!+ ··· +x2n+1 (2n+1)!+ o
x→0
¡x2n+2¢
tanhx = x−x
3 3+2x
5 15+ o
x→0
¡x6¢
Fonctions trigonométriques
♥ cosx = 1−x
2 2!+x
4
4!− ··· +(−1)n x
2n (2n)!+ o
x→0
¡x2n+1¢
♥ sinx = x−x
3 3!+x
5
5!− ··· +(−1)n x2n+1 (2n+1)!+ o
x→0
¡x2n+2¢
tanx = x+x
3 3+2x
5 15+ o
x→0
¡x6¢
Fonction logarithme ln (1+x) = x−x
2 2+x
3
3− ···+(−1)n+1x
n n+ o
x→0
¡xn¢
♥ ln (1−x) = −
µ x+x
2 2+x
3 3+ ··· +x
n n
¶ + o
x→0
¡xn¢
Fonctionx7→(1+x)αavecα∈R
♥ (1+x)α = 1+αx+ ··· +α(α−1)···(α−n+1) n! xn+ o
x→0
¡xn¢
Cette dernière formule appliquée àα=12etn=2donne : p1+x = 1+x
2−x
2 8+ o
x→0
¡x2¢ p1−x = 1−x
2−x
2 8+ o
x→0
¡x2¢
Fonctions réciproques arctanx = x−x
3 3+x
5
5− ···+(−1)n x2n+1 2n+1+ o
x→0
¡x2n+2¢
arcsinx = x+1 2 x3
3+1·3 2·4 x5
5+1·3·5 2·4·6 x7
7+ ··· + o x→0
¡x2n+2¢
arccosx = π 2−x−1
2 x3
3−1·3 2·4 x5
5−1·3·5 2·4·6 x7
7− ··· + o x→0
¡x2n+2¢
La dernière s’obtient en remarquant quearccosx=π2−arcsinx.
Légende :♥ = à savoir par coeur, = à savoir retrouver rapidemment.
1.2 Rappels de probabilités 1.2.1 Espaces probabilisés
Univers, événement, événement élémentaire SoitΩun ensemble fini.
— On dit queΩest ununivers.
— Un élément deP(Ω)est appelé unévénement.
— Un singleton{ω}deΩest appelé unévénement élémentaire.
— L’événement impossible est∅.
— L’événement certain estΩ
Traduction langage probabiliste-langage ensembliste
Langage probabiliste Notations Langage des ensembles
Univers Ω EnsembleΩ
Ensemble de tous les événements P(Ω) Ensemble des parties deΩ
Épreuve ω∈Ω Élément deΩ
Événement élémentaire {ω} Singleton deΩ
Événement A⊂Ω Partie deΩ
AimpliqueB A⊂B Aest inclus dansB
AouB A∪B Union deAetB
AetB A∩B Intersection deAetB
Événement contraire deA:A AcouΩ\ A Complémentaire deAdansΩ Amais pasB A \ B :=A∩Bc Différence symétrique
Événement impossible ∅ Partie vide
Événement certain Ω
Événements incompatibles A∩B=∅ Parties disjointes
Règles de calcul SoientA, B, C∈P(Ω). Alors :
1 A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C), 2 A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C), 3 A∪Ac=Ω,
4 A∩Ac=∅,
5 (Ac)c=A, 6 Ωc=∅, 7 (A∪B)c=Ac∩Bc, 8 (A∩B)c=Ac∪Bc. Les deux dernières égalités sont connues sous le nom delois de Morgan.
Loi de probabilité
On appelleprobalibilitésur un universΩune applicationP :P(Ω)→[0, 1]telle que :
1 P(Ω)=1,
2 Pour tout couple(A, B)de parties deΩdisjointes, on a : P (A∪B)=P(A)+P(B).
Espace probabilisé, Espace probabilisé fini
On appelleespace probabiliséla donnée d’un couple(Ω, P)oùΩest un univers et P :P(Ω)→[0, 1]est une probabilité surΩ.
Un univers probabilisé(Ω, P)est ditfinisiΩest un ensemble fini.
Règles de calcul avec une probabilité
Soit(Ω, P)un espace probabilisé et soientA, B∈P(Ω)deux événements. Alors : 1 P(∅)=0,
2 Complémentaire :P
³ A
´
=1−P(A) , 3 Croissance : si A⊂B alors
P(A)+P(B \ A)=P(B). En par- ticulierP(A)ÉP(B),
4 Union : P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B) , 5 Union disjointe : Si(Ak)k∈1,n
est une famille finie d’événe-
ments deux à deux incompa- tibles alors
P Ã[n
k=1 Ak
!
= Xn k=1
P(Ak) .
6 Formule du crible (hors pro- gramme) :
P(∪ni=1Ai)=Pn i=1(−1)k+1P
1Éi1<...<ikÉnP(Ai1∩. . .∩Aik .
Probabilité conditionnelle
Soit(Ω, P)un espace probabilisé et soitB∈P(Ω)tel queP(B)>0. On définit une probabilité surΩ, notéePB(A)ouP(·|B), et appeléeprobabilité conditionnelle sachant B, en posant : pour toutB∈P(Ω),
PB(A)=P(A∩B) P(B) .
Système complet d’événements
Soit(Ω, P)un espace probabilisé. On appellesystème complet d’événementstoute partition deΩc’est-à-dire tout famille de sous-ensembles(A1, . . . , An)deΩtelle que
[n i=1
Ai=Ω et ∀i,j∈ 1,n, i6=j =⇒Ai∩Aj=∅.
Formule des probabilités totales
Soit(Ai)i∈1,nun système complet d’événements. On suppose que :
H1 ∀i∈ 1,n, P(Ai)>0
alors on a laformule des la probabilités totales:
∀B∈P(Ω) , P(B)= Xn i=1
P(Ai)PAi(B) .
Formule des probabilités composées
Soit(Ai)i∈1,ndes événements dont l’intersection est de probabilité non nulle. On a laformule des probabilités composées:
P(A1∩A2∩. . .∩An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1∩A2) . . . P(An|A1∩A2∩. . .∩An−1) .
Formules de Bayes
— SoientAetBdeux événements d’un espace probabilisé(Ω, P). On suppose que P(A)>0etP(B)>0alors on a laformule de Bayes:
P(A|B)=P(B|A)P(A)
P(B) .
— Soit(Ai)i∈1,nun système complet d’événements de probabilités non nulles et soitBun événement de probabilité non nulle alors on a la généralisation de la formule de Bayes :
P(Aj|B)= P(B|Aj)P(Aj) Pn
i=1P(B|Ai)P(Ai) .
Événements indépendants
Deux evénementsAetBd’un espace probabilisé(Ω, P)sont ditsindépendantssi et seulement siP(A∩B)=P(A)P(B).
Événements mutuellement indépendants
Les événementsA1, . . . , And’un espace probabilisé(Ω, P)sont ditsmutuellement
indépendantssi et seulement si
∀I⊂ 1,n, P Ã\
i∈I Ai
!
=Y i∈I
P(Ai).
1.2.2 Variables aléatoires et lois de probabilités Variable aléatoire
SoitΩun univers. On appellevariable aléatoire surΩune applicationX :Ω→E oùEest un ensemble. LorsqueE⊂R, la variable aléatoireXest dite réelle.
Loi de probabilité d’une variable aléatoire
Soient(Ω, P)un espace probabilisé et soitX :Ω→Rune variable aléatoire réelle définie surΩ. NotonsΩ′=X(Ω)l’image deΩparX. L’application
PX:
½P¡ Ω′¢
−→ R
A 7−→ P¡
X−1(A)¢
est une loi de probabilité surΩ′appeléeloi de probabilité de la variableX. Par suite,
¡Ω′, PX
¢est un espace probabilisé.
Propriétés des fonctions de répartition
SoitX :Ω→Rune variable aléatoire réelle sur un espace probabilisé(Ω, P)et soit Fsa fonction de répartition d’. Alors :
1.limx→−∞F(x)=0,limx→+∞F(x)=1, 2. Pour touta<b,P(a<XÉb)=F(b)−F(a), 3.Fest croissante,
Espérance d’une variable aléatoire
On appelleespérancede la variable aléatoire réelleX :Ω→Rle réel notéE(X) donné par
E(X)=X ω∈Ω
P(ω)X(ω).
Une propriété de l’espérance SoitXune variable aléatoire eta,b∈R, on a :
E(aX+b)=aE(X)+b .
L’espérance est linéaire sur l’espace vectoriel des variables aléatoires SoientX :Ω→RetY :Ω→Rdeux variables aléatoires réelles etα,β∈Ralors
E(αX+βY)=αE(X)+βE(Y)
Variance et écart type d’une variable aléatoire
On appellevarianced’une variable aléatoireX :Ω→Rle réel notéV(X)donné par :
V(X)=E¡ (X−E(X))2¢
.
L’écart typede la variable aléatoireX, notéσ(X)est alors donné parσ(X)=p V(x) Relation de Kœnig-Huygens
SoitX :Ω→Rune variable aléatoire. On a V(X)=E(X2)−(E(X))2 .
Une propriété de la variance SoientX :Ω→Rune variable aléatoire eta,b∈R. Alors
V(aX+b)=a2V(X) .
Inégalité de Bienaymé-Tchebychef
SoitX :Ω→Rune variable aléatoire. On a l’inégalite de Bienaymé-Tchebychef :
∀ε∈R∗
+, P (|X−E(X)| Êε)É µσ(X)
ε
¶2 .
Loi uniforme
Soitn∈N∗. On dit que la variable aléatoireXsuit laloi uniforme si et seulement
