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SOLUTION – 48

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Academic year: 2022

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SOLUTION – 48.

Parmi le 5040 entiers qu’on peut écrire avec les chiffres 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 chacun utilisé une seule fois, démontrer qu’il n’y en a pas deux dont l’un est multiple de l’autre.

L’entier 1234567 est de la forme 9k + 1. Il en est donc de même de tous les entiers qu’on peut écrire avec ces 7 chiffres (dans le principe de la preuve par 9, seule la somme des chiffres intervient, pas leur ordre).

Si on avait deux de ces entiers disons A, B avec A ≠ B et A = c . B c entier, c devrait lui-même être de la forme 9k + 1 (toujours le principe de la preuve par 9 dans la multiplication c × B).

On aurait donc c = 9k + 1 avec k ≠ 0 donc c ≥ 10.

Or ceci est impossible car c = B

A est au plus égal à 6,2 1234567

7654321 ≈ CQFD.

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